高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.2复数的三角表示(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.2复数的三角表示(知识点讲解)(原卷版+解析)，共13页。


【核心素养】
1.通过方程的解，认识复数，凸显数学抽象的核心素养．
2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
4.考查复数三角形式的运算，与三角函数相结合，凸显数学运算的核心素养．
【知识点展示】
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up14(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)=
r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1cs θ1＋isin θ1,r2cs θ2＋isin θ2)
＝eq \f(r1,r2) [cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
【常考题型剖析】
题型一：复数的辐角与辐角主值
例1.(2023·全国·高一课前预习）复数1＋i的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
例2.(2023·重庆·高一阶段练习）复数的辐角主值是（ ）
A．B．C．D．
例3.(2023·全国·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.
题型二：复数代数形式与三角形式互化
例4．(2023·全国·高一课时练习）复数化成三角形式，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例5.(2023·全国·高一课前预习）复数的三角形式为（ ）
A．B．
C．D．
例6.(2023·全国·高一课前预习）将复数z＝化为代数形式为________．
【规律方法】
1.复数的代数形式化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模.
（2）决定辐角所在的象限.
（3）根据象限求出辐角.
（4）求出复数的三角形式.
2.复数的三角形式z＝r（cs θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角.如（2）小题.
题型三：复数三角形式的乘除运算
例7.(2023·全国·高一专题练习）复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
例8.(2023·全国·高一专题练习）计算：_________．(用代数形式表示)
例9. (2023·黑龙江·佳木斯一中三模（理））任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______.
【总结提升】
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
拓广：
(1)有限个复数相乘，结论亦成立．
即z1·z2…zn＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)…rn(cs θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cs(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．
(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn(cs nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．
题型四 复数运算的几何意义
例10.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
例11.【多选题】(2023·辽宁大连·高一期末）设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（ ）
A．B．C．D．
例12.(2023·全国·高一课时练习）如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．
例13.(2023·福建省德化第一中学高一阶段练习）在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.
(1)求点C对应的复数；
(2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z.
例14. 在复平面内，把复数3－eq \r(,3)i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq \f(π,3)，求所得向量对应的复数．
【规律方法】
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))， eq \(OZ2,\s\up14(→))，然后把向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把 eq \(OZ1,\s\up14(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量 eq \(OZ,\s\up14(→))， eq \(OZ,\s\up14(→))表示的复数就是积z1z2.
专题13.2 复数的三角表示（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.通过方程的解，认识复数，凸显数学抽象的核心素养．
2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
4.考查复数三角形式的运算，与三角函数相结合，凸显数学运算的核心素养．
【知识点展示】
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up14(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)=
r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1cs θ1＋isin θ1,r2cs θ2＋isin θ2)
＝eq \f(r1,r2) [cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
【常考题型剖析】
题型一：复数的辐角与辐角主值
例1.(2023·全国·高一课前预习）复数1＋i的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：将代数形式化为三角形式，即可得结果.
【详解】由，故辐角主值为.
故选：C
例2.(2023·重庆·高一阶段练习）复数的辐角主值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值．
【详解】复数
，
所以复数的辐角主值是．
故选：D
例3.(2023·全国·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．
【详解】解：，
因为，
所以，所以，
所以该复数的辐角主值为．
故选：B.
【总结提升】
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.
题型二：复数代数形式与三角形式互化
例4．(2023·全国·高一课时练习）复数化成三角形式，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：求出复数的模与辐角主值，从而即可求解.
【详解】解：设复数的模为，则，，
所以复数的三角形式为．
故选：A.
例5.(2023·全国·高一课前预习）复数的三角形式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：首先求出复数在复平面内所对应的点，即可求出和辐角，从而得解；
【详解】解：复数在复平面内所对应的点为位于第四象限，
则，，所以，即
所以．
故选：D
例6.(2023·全国·高一课前预习）将复数z＝化为代数形式为________．
答案：1－i
分析：计算出三角函数值后化简即可.
【详解】z＝．
故答案为：1－i
【规律方法】
1.复数的代数形式化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模.
（2）决定辐角所在的象限.
（3）根据象限求出辐角.
（4）求出复数的三角形式.
2.复数的三角形式z＝r（cs θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角.如（2）小题.
题型三：复数三角形式的乘除运算
例7.(2023·全国·高一专题练习）复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：由复数三角形式的乘法运算可直接得到结果.
【详解】.
故选：D.
例8.(2023·全国·高一专题练习）计算：_________．(用代数形式表示)
答案：
分析：由复数三角形式的除法运算直接求解即可.
【详解】.
故答案为：.
例9. (2023·黑龙江·佳木斯一中三模（理））任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______.
答案：1
分析：将化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简，即可得结果.
【详解】由，
所以，
而，
所以.
故答案为：1
【总结提升】
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
拓广：
(1)有限个复数相乘，结论亦成立．
即z1·z2…zn＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)…rn(cs θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cs(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．
(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn(cs nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．
题型四 复数运算的几何意义
例10.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
分析：根据题意，设复数，，计算可得，即可选出答案.
【详解】因为单位向量分别对应复数，
设复数，，
因为，所以，即，
所以，
故选：AD.
例11.【多选题】(2023·辽宁大连·高一期末）设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
分析：A根据的几何意义判断；B由即可判断；C由即可判断；D由并结合向量数量积的运算律即可判断.
【详解】A：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符合；
B：等价于，即共线，不符合；
C：等价于，但不一定有，不符合；
D：等价于，两边平方并应用数量积的运算律可得，即，符合.
故选：AD
例12.(2023·全国·高一课时练习）如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．
答案：##
分析：向量可由向量逆时针旋转得到，然后由复数的三角形式的乘法运算可得再由向量的加法可得，最后根据复数的几何意义可得.
【详解】∵A，B所表示的复数分别是和2，所表示的复数为，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为，+，即点C对应的复数是．
故答案为：
例13.(2023·福建省德化第一中学高一阶段练习）在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.
(1)求点C对应的复数；
(2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z.
答案：(1)
(2)或
分析：（1）利用复数的几何意义和复数的乘法运算求解；
（2）根据题意，由向量对应的复数或求解.
(1)解：因为点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°，
所以；
(2)因为点B对应的复数z满足，且，
所以向量对应的复数，
或，
∴或，
∴或.
例14. 在复平面内，把复数3－eq \r(,3)i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq \f(π,3)，求所得向量对应的复数．
答案：-2eq \r(,3)i.
【解析】因为3－eq \r(,3)i＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)－\f(1,2)i))＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))，
所以2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(13,6)π＋isin\f(13,6)π))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))
＝3＋eq \r(,3)i
2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))))
＝2eq \r(,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))))＝2eq \r(,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π))＝－2eq \r(,3)i.
故把复数3－eq \r(,3)i对应的向量按逆时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为3＋eq \r(,3)i，按顺时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为－2eq \r(,3)i.
【规律方法】
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))， eq \(OZ2,\s\up14(→))，然后把向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把 eq \(OZ1,\s\up14(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量 eq \(OZ,\s\up14(→))， eq \(OZ,\s\up14(→))表示的复数就是积z1z2.