高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.3二项分布、超几何分布与正态分布(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.3二项分布、超几何分布与正态分布(真题测试)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·全国·高三专题练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
3．(2023·湖北·高考真题（理））设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
4．(2023·山东·高考真题（理））已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
．）
A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%
5．(2023·山西·忻州一中高三阶段练习）在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
7．（2023·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2B．1C．3D．4
8．(2023·重庆·高三阶段练习）设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98B．1.99C．2.00D．2.01
二、多选题
9．（2023·福建·福州十八中高三开学考试）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）.
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．
从中随机取一件，．
A．
B．
C．长度误差落在内的概率为0.1359
D．长度误差落在内的概率为0.1599
10．（2023·湖南·高三阶段练习）一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为，则（ ）
A．随机变量服从二项分布B．随机变量服从超几何分布
C．D．
11．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩．下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（附：若随机变量，则，，）
A．甲地数学的平均成绩比乙地的低B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C．D．若，则
12．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）给出下列命题，其中错误命题是（ ）
A．若样本数据（数据各不相同）的平均数为3，则样本数据，，…，的平均数为2
B．随机变量的方差为，则
C．随机变量服从正态分布，，则
D．随机变量，若，，则
三、填空题
13．(2023·全国·高考真题（理））一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．
14．(2023·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
15．（2023·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
16．(2023·河北·高三阶段练习）进入冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为p（），且每人是否感染这种病毒相互独立.记100个人中恰有5人感染病毒的概率是，则的最大值点的值为___________；为确保校园安全，某校组织该校的6000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测6000次，但实际上在检测时都是随机地按k（）人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测.如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次.当p取时，检测次数最少时k的值为___________.
参考数据：，，，，,，，，
四、解答题
17．(2023·北京·高考真题（理））为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
18．（2023·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
19．（2023·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与 的大小．（结论不要求证明）
20．(2023·天津·高考真题（理））已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
21．(2023·全国·高考真题（理））某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
22．(2023·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
专题12.3 二项分布、超几何分布与正态分布（真题测试）
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据超几何分布的概率公式求解即可
【详解】由题意，
故选：A
2．（2023·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
答案：D
分析：由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
3．(2023·湖北·高考真题（理））设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
答案：C
【详解】由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称，因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以对任意正数，．
考点：正态分布密度曲线．
4．(2023·山东·高考真题（理））已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
．）
A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%
答案：B
【详解】试题分析：由题意故选B．
5．(2023·山西·忻州一中高三阶段练习）在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：利用正态分布曲线的特点求出，然后再求恰有2名学生的成绩不低于85的概率即可.
【详解】因为学生成绩服从正态分布，且，所以，，，
所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是.
故选：A.
6．(2023·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
答案：B
【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．
或
，
,可知
故答案选B.
7．（2023·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2B．1C．3D．4
答案：C
分析：根据古典概型概率计算方法，求出ξ的分布列，并求出，则.
【详解】的可能取值为.
，，.
∴的分布列为：
于是，
故.
故选：C.
8．(2023·重庆·高三阶段练习）设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98B．1.99C．2.00D．2.01
答案：C
分析：根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】随机变量，则，
因最大，则有，
即，，
整理得，解得，
而，则，所以.
故选：C
二、多选题
9．（2023·福建·福州十八中高三开学考试）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）.
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．
从中随机取一件，．
A．
B．
C．长度误差落在内的概率为0.1359
D．长度误差落在内的概率为0.1599
答案：BC
分析：根据正态分布的性质，结合图像、题中所给公式逐一判断即可.
【详解】由图中密度函数解析式，可得；
又由图像可知，则长度误差落在内的概率为：
．
故选：BC
10．（2023·湖南·高三阶段练习）一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为，则（ ）
A．随机变量服从二项分布B．随机变量服从超几何分布
C．D．
答案：BCD
分析：由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可
【详解】由题意，知随机变量服从参数为10，4，4的超几何分布，即，故A错误，B正确；
随机变量的取值范围为，
，，，
，，
故，故C，D正确．
故选：BCD．
11．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩．下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（附：若随机变量，则，，）
A．甲地数学的平均成绩比乙地的低B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C．D．若，则
答案：AD
分析：从图像的对称轴可以读出平均分大小关系，从图像的离散程度可分析出方差的关系，选项C利用正态曲线的对称性判断，选项D可以通过计算得出.
【详解】观察图像可以看出，甲的平均分为，小于乙的平均分，A选项正确；图像中还可以看出乙地数据更加集中，故乙地方差更小，B错误；根据对称性，，C选项错误；时，根据题干数据，，根据对称性，，另有，根据对称性，，于是，D选项正确.
故选：AD.
12．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）给出下列命题，其中错误命题是（ ）
A．若样本数据（数据各不相同）的平均数为3，则样本数据，，…，的平均数为2
B．随机变量的方差为，则
C．随机变量服从正态分布，，则
D．随机变量，若，，则
答案：ABD
分析：选项A利用性质求解，选项B利用求解，选项C利用正态曲线的对称性求解，选项D利用二项分布的期望方差公式求解.
【详解】对于选项A，根据得：，故选项A错误；
对于选项B，根据得：，故选项B错误；
对于选项C，因为，所以，又因为，则，由正态分布的对称性可得：，故选项C正确；
对于选项D，随机变量，根据二项分布的期望和方差公式：，解得，故选项D错误.
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·全国·高考真题（理））一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．
答案：1.96
分析：根据二项分布，由公式得到结果.
【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布，,填1.96
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．(2023·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
答案：##．
分析：根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
15．（2023·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
答案：
分析：根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.
故答案为：；.
16．(2023·河北·高三阶段练习）进入冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为p（），且每人是否感染这种病毒相互独立.记100个人中恰有5人感染病毒的概率是，则的最大值点的值为___________；为确保校园安全，某校组织该校的6000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测6000次，但实际上在检测时都是随机地按k（）人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测.如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次.当p取时，检测次数最少时k的值为___________.
参考数据：，，，，,，，，
答案： 0.05 5
分析：根据独立重复事件的概率公式可得,利用导数求解其最大极值点即可，根据均值的公式，分别将代入比较大小即可求解.
【详解】依题意，100个人中恰有5人感染病毒的概率是，且.
因此，
令，解得.
则当时，；当时，.
所以的最大值点为
设每个人需要检测的次数为X，若混合样本成阴性，则；若混合样本成阳性，则，则，，
∴，
当k分别取2，3，4，5，6，7，8，9，10时，的值分别为0.597，0.476，0.436，0.426，0.432，0.445，0.462，0.481，0.501，故当时检测次数最少.
故答案为:，5
四、解答题
17．(2023·北京·高考真题（理））为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
答案：（1）0.3（2）见解析（3）服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
【详解】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
故的期望.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
18．（2023·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
分析：(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
19．（2023·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与 的大小．（结论不要求证明）
答案：（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；
（Ⅱ）,（Ⅲ）
分析：（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；
（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；
（Ⅲ）先求，再根据频率估计概率，即得大小.
【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，
该校女生支持方案一的概率为；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为：;
（Ⅲ）
20．(2023·天津·高考真题（理））已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
答案：（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．
【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
21．(2023·全国·高考真题（理））某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
答案：（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.
分析：（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
【详解】（1）件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.
所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
22．(2023·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
答案：（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
分析：（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差，即为的估计值.
【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的原则，审清题意，细心计算，属中档题.
ξ
0
1
2
P
0
1
2

0
1
2
3
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
X
0
1
2
3
P
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95