高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.2等差数列及其前n项和(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.2等差数列及其前n项和(真题测试)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2023·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
2．（2023·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
3．（2023·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5.(2023·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2023·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
7．(2023·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
8．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（ ）
A．d＜0B．a10＝0C．S18＜0D．S8＜S9
10．(2023·江苏·南京市宁海中学模拟预测）定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前n项和为，下列关于数列的描述正确的有（ ）
A．数列为等差数列
B．数列为递增数列
C．
D．，，成等差数列
11．(2023·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则D．若，则也为等差数列，且公差为
12．(2023·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（ ）
A．B．C． D．
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
14．（2023·江苏·高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.
15．（2023·福建省华安县第一中学高三期中）已知数列的前n项和为，，（），则的值为________，的值为________.
16．（2023·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，当时，.求证：数列是等差数列.
18．（2023·北京·高考真题（文））设{}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）记{}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
19．(2023·全国·高考真题（文））等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
20．(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
21．(2023·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知，数列的前n项和为，点在曲线上（）且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，且满足，确定的值使得数列是等差数列.
22．（2023·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
专题7.2 等差数列及其前n项和（真题测试）
一、单选题
1．(2023·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
答案：D
【解析】
分析：
设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】
设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
2．（2023·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
答案：C
【解析】
分析：
设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
3．（2023·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
答案：C
【解析】
分析：
第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】
设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
分析数列的单调性，计算、，即可得出结论.
【详解】
因为，，则，故数列为递增数列，
因为，，
且当时，，所以，当时，，
所以，满足当时，的最大值为.
故选：C.
5.(2023·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】
分析：
设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
6．（2023·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
答案：C
【解析】
分析：
使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．
【详解】
若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
7．(2023·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
答案：C
【解析】
分析：
根据等差数列的前项和的性质及等差数列通项公式化简可得.
【详解】
因为，又，
所以，
所以，即，
设等差数列的公差为，
则，
所以，又，
所以，
所以．
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项
答案：B
【解析】
分析：
由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC； ，得，，
可判断D.
【详解】
对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项，
∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵，且，
∴，，
∴，，
则使的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵，，
∴，，
故中最大，故选项C正确；
对于选项D，∵，，
∴，，
故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（ ）
A．d＜0B．a10＝0C．S18＜0D．S8＜S9
答案：BC
【解析】
分析：
由，得 ，判断出A,B选项，再结合，判断C选项，再根据等式性质判断D选项
【详解】
， ，所以B正确
又 , , ,所以A错误

，故C正确
,故D错误
故选：BC
10．(2023·江苏·南京市宁海中学模拟预测）定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前n项和为，下列关于数列的描述正确的有（ ）
A．数列为等差数列
B．数列为递增数列
C．
D．，，成等差数列
答案：ABC
【解析】
分析：
由新定义可得，利用该递推关系求出数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】
由已知可得，
所以，
所以时，，
得时，，
即时，，
当时，由知，满足．
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B正确，
所以，所以
故，故C正确．
，，，，，不是等差数列，故D错误，
故选：ABC．
11．(2023·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则D．若，则也为等差数列，且公差为
答案：ABD
【解析】
分析：
对于A，利用化简可得答案；
对于B，利用化简可得答案；
对于C，利用化简可得答案；
对于D，根据可得答案.
【详解】
对于A，因为为等差数列，所以，
即，所以，
化简得，所以，故A正确；
对于B，因为为等差数列，所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C，因为为等差数列，所以，
所以，
化简得，所以或，故C不正确；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以，
所以也为等差数列，且公差为，故D正确.
故选：ABD
12．(2023·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（ ）
A．B．C． D．
答案：ABD
【解析】
分析：
由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，，…，，即可求解判断D选项.
【详解】
由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，
设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；
，故B正确；
所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；
，对应点的坐标为，，…，，所以
，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
答案：4.
【解析】
分析：
根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】
因，所以，即，
所以．
14．（2023·江苏·高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.
答案：16.
【解析】
分析：
由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.
【详解】
由题意可得：，
解得：，则.
15．（2023·福建省华安县第一中学高三期中）已知数列的前n项和为，，（），则的值为________，的值为________.
答案： 99 4950
【解析】
分析：
利用数列的递推关系可知数列的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，偶数项是首项为，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求解.
【详解】
将代入得，
由①得②，
②①得，
所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，
，
，
故答案为：99 ; 4950.
16．（2023·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
答案：
【解析】
分析：
首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】
因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，当时，.求证：数列是等差数列.
答案：证明见解析
【解析】
分析：
利用定义法证明出数列是等差数列.
【详解】
当时，，因，显然，否则，由此可得，矛盾，
两边同时除以，得，而=1，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
18．（2023·北京·高考真题（文））设{}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）记{}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
分析：
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
19．(2023·全国·高考真题（文））等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）24.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.
试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意有.
解得.
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
当n=1,2,3时，；
当n=4,5时，；
当n=6,7,8时，；
当n=9,10时，.
所以数列的前10项和为.
20．(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
答案：(1)
(2)见解析
【解析】
分析：
（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
(1)
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)

∴
21．(2023·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知，数列的前n项和为，点在曲线上（）且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，且满足，确定的值使得数列是等差数列.
答案：(1)
(2)1
【解析】
分析：
（1）根据点在曲线上（），得到，即，利用等差数列的定义求解；
（2）由（1）化简得到，利用等差数列的定义得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解.
(1)
解：因为，且点在曲线上（），
所以，即，
所以是以1为首项，以4为公差的等差数列，
所以，即；
(2)
由（1）知：，即为，
整理得：，
所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，
则，即，
当时，，
若是等差数列，则适合上式，
令，得，解得.
22．（2023·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】
解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】
(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.