高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题7.2   等差数列及其前n项和

【知识清单】

知识点一．等差数列的有关概念

1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.

2.等差数列的通项公式：；

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.

3.等差中项的概念：

定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .

，，成等差数列.

4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．

知识点二．等差数列的前n项和

等差数列的前和的求和公式：.

知识点三．等差数列的相关性质

1.等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，  如：，，，，……；，，，，……；

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.

（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.

（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．

（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．

2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.

3.,则,.

4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．

5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.

6．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．

【考点分类剖析】

考点一 ：等差数列的基本运算

【典例1】（2020·全国高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．

【答案】

【解析】

是等差数列，且，

设等差数列的公差

根据等差数列通项公式：

可得

即：

整理可得：

解得：

根据等差数列前项和公式：

可得：

.

故答案为：.

【典例2】（2019·江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.

【答案】16.

【解析】

由题意可得：，

解得：，则.

【典例3】（2021·上海民办南模中学高三三模）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________.

【答案】5

【解析】

若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其单减性，求得最小值.

【详解】

若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，

故为正整数，关于d单减，

则当时，，当时，，不符；

故的最小值为5，

故答案为：5

【规律方法】

1．活用方程思想和化归思想

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．

2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.

3.等差数列的前n项和公式

若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.

【变式探究】

1..数列是等差数列，，，则（    ）

A． 16    B． -16    C． 32    D．

【答案】D

【解析】

因为，所以，

又因为，所以，

可得 ，故选D.

2.（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a7+a10=9，S14-S3=77，则使Sn取得最小值时n的值为____.

【答案】5

【解析】

设等差数列{an}的公差为d，根据a4+a7+a10=9，S14-S3=77，求得即可.

【详解】

设等差数列{an}的公差为d，

因为a4+a7+a10=9，S14-S3=77，

所以，

解得

所以，

所以当时，Sn取得最小值，

故答案为：5

3.（2018·北京高考真题（理））设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．

【答案】

【解析】

考点二：等差数列的判定与证明

【典例4】（2021·全国高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】答案见解析

【解析】

选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列.

【详解】

选①②作条件证明③：

设，则，

当时，；

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，所以.

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列.

选②③作条件证明①：

设，则，

当时，；

当时，；

因为，所以，解得或；

当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；

当时，，不合题意，舍去.

综上可知为等差数列.

【典例5】（2019·浙江高考模拟）设Sn为数列an的前n项和，且 S2＝8，．

（I）求a1，a2并证明数列{ }为等差数列；

（II）若不等式对任意正整数 n 恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（I），，见证明（II）

【解析】

（I），，得 .

，则，

两式相减得，

即   ①

  ②

②①得，

即，

故数列为等差数列.

（II）由（I）可得 ，

由得对任意正整数恒成立，，

令，

，

， 

.

【规律方法】

1.等差数列的四种判断方法

(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；

(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;

(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;

(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;

(5)是等差数列⇔是等差数列.

2.提醒：（1）判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.

（2）若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可．

（3）形如an＋1＝的数列可转化为等差数列求解：可用列举观察法求解；也可用变形构造法（倒数差）求解（）见【变式探究】2）.

【变式探究】

1. （2020·全国高三其他（理））数列中，，，则（    ）

A．2019 B．2020 C．4039 D．4040

【答案】B

【解析】

分析：

根据题中所给的条件，类比着写出，两式相减可得，从而可得数列隔项成等差数列，即其偶数项成等差数列，利用题中条件求得，利用通项公式求得，得到结果.

详解：

∵①，

∴②，

②①得，

∴数列的偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.

∴.

故选：B.

2．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知数列的前项和为，满足(，为常数)，且，则___________；设函数，，则数列的前17项和为___________.

【答案】    17   

【解析】

化简函数解析式得，由可得是首项为，公差为的等差数列，又，所以，即，再首尾相加求和即可得解.

【详解】

当时，.

又当时，，满足，所以，

所以数列为等差数列，故.

由题意得，所以

，

同理，，…，.又易得，

所以数列的前17项和为.

故答案为：①；②17

考点三  等差数列的性质及应用

【典例6】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知数列是等差数列，若，，则（    ）

A．5 B．4 C．9 D．7

【答案】A

【解析】

本题可设等差数列的公差为，然后根据、求出，最后通过即可得出结果.

【详解】

设等差数列的公差为，

则，，

故，

故选：A.

【典例7】（2021·北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.

【详解】

由已知条件可得，则，因此，.

故选：B.

【温馨提醒】

等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n项和公式求解．

【变式探究】

1．(2019·武汉调研)在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7－S2＝45，则a5＝(　　)

A．7   B．9

C．14   D．18

【答案】B

【解析】

解法一　因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9，故选B.

解法二　设等差数列{an}的公差为d，因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，

所以，

整理得a1＋4d＝9，

所以a5＝9，

故选B.

2.（2021·全国高二课时练习）设数列{an}是等差数列，且a2=-6，a8=6，Sn是数列{an}的前n项和，则（    ）

A．S4<S5 B．S4=S5 C．S6<S5 D．S6=S5

【答案】B

【解析】

(方法一)利用首项和公差求解；(方法二)利用等差数列的性质求解.

【详解】

(方法一)设该等差数列的首项为a1，公差为d，

则有解得

从而有S4=-20，S5=-20，S6=-18.

从而有S4=S5.

(方法二)由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0，

所以a5=0，从而有S4=S5.

故选：B

考点四  等差数列的前n项和公式的综合应用

【典例8】【多选题】（2021·全国高三其他模拟）等差数列的前项和为，已知，，则（    ）

A．

B．的前项和中最小

C．的最小值为-49

D．的最大值为0

【答案】BC

【解析】

由已知条件先计算出和，然后计算的值对A进行判断；求出的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出的表达式对D进行判断.

【详解】

设数列的公差为d，则
解得，，A错误；
，当n=5时取得最小值，故B正确；
，设函数，
则，当时，，
当时，，
所以，，且，，
所以最小值为-49，C正确；

，没有最大值，D错误．

故选：BC

【典例9】（2019·北京高考模拟（文））等差数列满足，则a5=______；若，则n=______时，{an}的前n项和取得最大值．

【答案】4    6   

【解析】

等差数列满足，

所以，即，

，所以，所以．

令，解得，所以的前6项和取得最大值．

故填：4，6．

【典例10】（2021·全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【答案】(1)；(2)7.

【解析】

(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】

(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：.

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为.

【规律方法】

1.要注意等差数列前n项和公式的灵活应用，

如等．

2．求等差数列前项和的最值，常用的方法：

（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.

（2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；

3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.

4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.

【变式探究】

1.（2020·浙江湖州�高一期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，________．

【答案】3    4   

【解析】

因为是等差数列，所以 ，解得 ，

所以，

因为的图象开口向上，对称轴为，

由，所以当时，取最小值.

故答案为:;.

2.（2019·浙江高三期末）记等差数列的前n项和为，若，，则______；当取得最大值时，______．

【答案】0    1009或1008   

【解析】

，，

，

，

，，

，

，

，

故当取得最大值时，或，

故答案为：0，1009或1008．

3.（2021·湖北省直辖县级行政单位·高三其他模拟）已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前n项和最大.则当时，___________.

【答案】

【解析】

首先根据题意求出，再根据等差数列的前n项即可求解.

【详解】

解：由题意可知，，解得，又，则，

所以，.由，得，

解得或(舍)，故

故答案为：20.

考点五  等差数列与传统文化

【典例11】（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

【答案】C

【解析】

设第n环天石心块数为，第一层共有n环，

则是以9为首项，9为公差的等差数列，，

设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为，因为下层比中层多729块，

所以，

即

即，解得，

所以.

故选：C

【典例12】（2021·重庆高三三模）我国古代著名的数学专著《九章算术》有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，行程一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日减半里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，则二马（    ）日后相逢．

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【解析】

根据题意通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论．

【详解】

由题可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差的等差数列，

驽马每日行程构成一个首项为97，公差为的等差数列，

则，，

则数列与数列的前n项和为，

又数列的前n项和为，

数列的前n项和为，

，

整理得：，

当时，，

当时，，

所以大12日相逢．

故选:C．

【变式探究】

1．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，讲的是关于整除的问题（如7被3除余1：1被2除余1）.现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列各项的和为（    ）

A．736 B．816 C．833 D．29800

【答案】C

【解析】

根据给定信息确定出这个数列的通项公式，再由最大数不超过100，确定出项数即可作答.

【详解】

被2除余1且被3除余1的整数即被6除余1，这些整数由小到大依次排成一列构成的数列通项为，

由得，而，即，于是得符合条件的数列有17项，这17项和为，

所以数列各项的和为833.

故选：C

2.（2020·浙江平阳�高三其他）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.

【答案】       

【解析】

设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，即，，所以，，故

故答案为：；