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高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.4正弦定理、余弦定理的应用(真题测试)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.4正弦定理、余弦定理的应用(真题测试)(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.（2023·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，csA=－，则=（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
3．(2023·山东·高考真题（理））在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·福建省华安县第一中学高三期中）在非钝角中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
5．(2023·上海奉贤·二模）在中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知：，：，则是的（ ）．
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．既非充分又非必要条件．
6．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ）
A．B．C．D．
7.（2023·全国·高考真题（文））在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A．B．2C．4D．8
8．（2023·北京·高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4csβB．4β+4sinβC．2β+2csβD．2β+2sinβ
二、多选题
9．(2023·全国·高三专题练习）在中，若，则角的值可以为（ ）
A．B．C．D．
10.（2023·江苏·南京市第五高级中学高三阶段练习）已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的命题是 （ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
11．(2023·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且（ ）
A．若，，则
B．若，，则的面积为
C．若，则的最大值为
D．若，则周长的取值范围为
12．(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．(2023·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
14．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
15．（2023·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________.
16．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
18.(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
19．（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
20．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
21．（2023·全国·高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
22．（2023·全国·高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
专题6.4 正弦定理、余弦定理的应用（真题测试）
一、单选题
1.（2023·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，csA=－，则=（ ）
A．6B．5C．4D．3
答案：A
【解析】
分析：
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
2．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
答案：A
【解析】
分析：
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
3．(2023·山东·高考真题（理））在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
所以，选A.
4．（2023·福建省华安县第一中学高三期中）在非钝角中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
答案：C
【解析】
分析：
由已知利用正弦定理可得，由于，可求，可得，进而可求，即可判定得解的形状为等边三角形．
【详解】
解：在非钝角中，，
由正弦定理可得：，
，
，可得：，
，，
，，
，
，的形状为等边三角形．
故选：C．
5．(2023·上海奉贤·二模）在中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知：，：，则是的（ ）．
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．既非充分又非必要条件．
答案：C
【解析】
分析：
利用定义法直接判断.
【详解】
充分性：由正弦定理.因为，可得.故充分性满足；
必要性：由正弦定理.因为，可得.故必有性满足.
故是的充要条件.
故选：C
6．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由正弦定理化边为角，得出，结合已知求出，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积．
【详解】
因为，由正弦定理得，所以（舍去），
三角形周长为5，，则，，
由等腰三角形性质知边上的高为，
所以三角形面积为．
故选：A．
7.（2023·全国·高考真题（文））在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A．B．2C．4D．8
答案：C
【解析】
分析：
先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求
【详解】
设
故选：C
8．（2023·北京·高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4csβB．4β+4sinβC．2β+2csβD．2β+2sinβ
答案：B
【解析】
分析：
由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.
【详解】
观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+
.
故选B.
二、多选题
9．(2023·全国·高三专题练习）在中，若，则角的值可以为（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
利用余弦定理边化角可整理得到，结合可得结果.
【详解】
，，
又，或.
故选：BC.
10.（2023·江苏·南京市第五高级中学高三阶段练习）已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的命题是 （ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
答案：AC
【解析】
分析：
对于A．利用正弦定理证明△ABC是等边三角形，故A正确；
对于B，利用正弦定理化简得△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，利用正弦定理和三角恒等变换化简得△ABC是等腰三角形，故C正确；
对于D，利用余弦定理化简得角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．
【详解】
对于A．若，则，，即，即△ABC是等边三角形，故A正确；
对于B，若，则由正弦定理得，
，则或，即或，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若，则即，则△ABC是等腰三角形，故C正确；
对于D，△ABC中，∵，∴，所以角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．
故选：AC．
11．(2023·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且（ ）
A．若，，则
B．若，，则的面积为
C．若，则的最大值为
D．若，则周长的取值范围为
答案：ACD
【解析】
分析：
由正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角形三边关系及基本不等式可求解.
【详解】
因为，所以.
对于A，B，若，则，
，解得，
的面积，A正确，B错误.
对于C，若，则，
，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，C正确.
对于D，若，则根据三边关系可得即解得，则，的周长为，故周长的取值范围为，D正确.
故选：ACD
12．(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】
解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
三、填空题
13．(2023·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
答案：##
【解析】
分析：
运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】
根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
14．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
答案：
【解析】
分析：
由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】
由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
15．（2023·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________.
答案：
【解析】
分析：
在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【详解】
，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
16．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
答案：##
【解析】
分析：
设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
答案：(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
分析：
（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
(1)
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
18.(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
(1)
由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)
由正弦定理得：，则，则，.
19．（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】
（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
20．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
答案：(1) ;(2).
【解析】
分析：
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】
(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
21．（2023·全国·高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.
【详解】
（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
【整体点评】
本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.
22．（2023·全国·高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
1.（2023·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，csA=－，则=（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
3．(2023·山东·高考真题（理））在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·福建省华安县第一中学高三期中）在非钝角中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
5．(2023·上海奉贤·二模）在中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知：，：，则是的（ ）．
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．既非充分又非必要条件．
6．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ）
A．B．C．D．
7.（2023·全国·高考真题（文））在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A．B．2C．4D．8
8．（2023·北京·高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4csβB．4β+4sinβC．2β+2csβD．2β+2sinβ
二、多选题
9．(2023·全国·高三专题练习）在中，若，则角的值可以为（ ）
A．B．C．D．
10.（2023·江苏·南京市第五高级中学高三阶段练习）已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的命题是 （ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
11．(2023·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且（ ）
A．若，，则
B．若，，则的面积为
C．若，则的最大值为
D．若，则周长的取值范围为
12．(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．(2023·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
14．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
15．（2023·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________.
16．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
18.(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
19．（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
20．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
21．（2023·全国·高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
22．（2023·全国·高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
专题6.4 正弦定理、余弦定理的应用（真题测试）
一、单选题
1.（2023·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，csA=－，则=（ ）
A．6B．5C．4D．3
答案：A
【解析】
分析：
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
2．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
答案：A
【解析】
分析：
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
3．(2023·山东·高考真题（理））在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
所以，选A.
4．（2023·福建省华安县第一中学高三期中）在非钝角中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
答案：C
【解析】
分析：
由已知利用正弦定理可得，由于，可求，可得，进而可求，即可判定得解的形状为等边三角形．
【详解】
解：在非钝角中，，
由正弦定理可得：，
，
，可得：，
，，
，，
，
，的形状为等边三角形．
故选：C．
5．(2023·上海奉贤·二模）在中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知：，：，则是的（ ）．
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．既非充分又非必要条件．
答案：C
【解析】
分析：
利用定义法直接判断.
【详解】
充分性：由正弦定理.因为，可得.故充分性满足；
必要性：由正弦定理.因为，可得.故必有性满足.
故是的充要条件.
故选：C
6．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由正弦定理化边为角，得出，结合已知求出，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积．
【详解】
因为，由正弦定理得，所以（舍去），
三角形周长为5，，则，，
由等腰三角形性质知边上的高为，
所以三角形面积为．
故选：A．
7.（2023·全国·高考真题（文））在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A．B．2C．4D．8
答案：C
【解析】
分析：
先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求
【详解】
设
故选：C
8．（2023·北京·高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4csβB．4β+4sinβC．2β+2csβD．2β+2sinβ
答案：B
【解析】
分析：
由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.
【详解】
观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+
.
故选B.
二、多选题
9．(2023·全国·高三专题练习）在中，若，则角的值可以为（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
利用余弦定理边化角可整理得到，结合可得结果.
【详解】
，，
又，或.
故选：BC.
10.（2023·江苏·南京市第五高级中学高三阶段练习）已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的命题是 （ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
答案：AC
【解析】
分析：
对于A．利用正弦定理证明△ABC是等边三角形，故A正确；
对于B，利用正弦定理化简得△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，利用正弦定理和三角恒等变换化简得△ABC是等腰三角形，故C正确；
对于D，利用余弦定理化简得角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．
【详解】
对于A．若，则，，即，即△ABC是等边三角形，故A正确；
对于B，若，则由正弦定理得，
，则或，即或，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若，则即，则△ABC是等腰三角形，故C正确；
对于D，△ABC中，∵，∴，所以角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．
故选：AC．
11．(2023·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且（ ）
A．若，，则
B．若，，则的面积为
C．若，则的最大值为
D．若，则周长的取值范围为
答案：ACD
【解析】
分析：
由正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角形三边关系及基本不等式可求解.
【详解】
因为，所以.
对于A，B，若，则，
，解得，
的面积，A正确，B错误.
对于C，若，则，
，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，C正确.
对于D，若，则根据三边关系可得即解得，则，的周长为，故周长的取值范围为，D正确.
故选：ACD
12．(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】
解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
三、填空题
13．(2023·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
答案：##
【解析】
分析：
运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】
根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
14．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
答案：
【解析】
分析：
由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】
由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
15．（2023·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________.
答案：
【解析】
分析：
在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【详解】
，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
16．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
答案：##
【解析】
分析：
设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
答案：(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
分析：
（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
(1)
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
18.(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
(1)
由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)
由正弦定理得：，则，则，.
19．（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】
（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
20．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
答案：(1) ;(2).
【解析】
分析：
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】
(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
21．（2023·全国·高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.
【详解】
（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
【整体点评】
本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.
22．（2023·全国·高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
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