第14讲 可化为一元一次方程的分式方程（核心考点讲与练）-【暑假衔接】六升七数学讲与练（沪教版）

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第14讲 可化为一元一次方程的分式方程（核心考点讲与练）
【知识梳理】
一、分式方程、根与增根
1.分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未
知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
2.分式方程的根、增根及检验
分式方程的解也叫作分式方程的根．
在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为O，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根．
要点诠释：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
二、分式方程的解法
1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
2.分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
三、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
要点诠释：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【核心考点精讲】
一．分式方程的定义（共2小题）
1．（2019秋•黄浦区校级期末）x＝﹣1是下列哪个分式方程的解（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，
A.中，的分母等于0，分式无意义，A不合题意；
B.中，x2﹣1＝0，分母等于0，分式无意义，B不合题意；
C.中，的分母等于0，分式无意义，C不合题意；
D.中，，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况．
2．（2019秋•嘉定区期末）下列关于x的方程：+x＝1，＝，＝，＝2中，分式方程的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由分式方程的定义可知：＝不是分式方程．
【解答】解：＝不是分式方程，是整式方程，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的定义；熟练掌握分式方程的定义，能够准确判断分式方程是解题的关键．
二．分式方程的解（共2小题）
3．（2019秋•浦东新区校级月考）如果关于x的方程﹣＝0无解，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．
【解答】解：方程的两边都乘以（x﹣2），得
﹣m﹣（1﹣x）＝0
解得x＝m+1
当x＝2时，原分式方程无解，
所以m+1＝2
解得m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解法．注意分式方程的增根．分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
4．（2021秋•宝山区期末）如果关于x的方程无解，那么k＝ 2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
【解答】解：去分母得：x+2x﹣4＝k，
由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：k＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
三．解分式方程（共6小题）
5．（2022春•宝山区校级月考）＝1．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：＝1，
﹣＝1，
3﹣x＝x（x﹣3），
解得：x＝3或x＝﹣1，
检验：当x＝3是，x（x﹣3）＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
当x＝﹣1时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
6．（2021秋•宝山区期末）解方程：＝﹣1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程变形得：＝﹣﹣1，
去分母得：3＝﹣4﹣（x﹣2），
去括号得：3＝﹣4﹣x+2，
解得：x＝﹣5，
检验：把x＝﹣5代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣5．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7．（2021秋•北海期末）解方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4+x（x+3）＝x2﹣9，
去括号得：4+x2+3x＝x2﹣9，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．（2021秋•浦东新区期末）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣1﹣x2﹣x＝2x﹣2，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．（2020秋•虹口区期末）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4﹣2（x﹣3）＝﹣8，
去括号得：4﹣2x+6＝﹣8，
移项合并得：﹣2x＝﹣18，
解得：x＝9，
检验：把x＝9代入得：x﹣3≠0，
∴x＝9是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
10．（2021秋•普陀区期末）解方程：1+＝．
【分析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【解答】解：1+＝，
1﹣x2+1＝x（1﹣x），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，1﹣x2≠0，
∴x＝2是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
四．分式方程的增根
11．（2018秋•浦东新区期末）关于y的方程：＝+1有增根，求m的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出m的值即可．
【解答】解：分式方程变形得：＝+1，
两边同时乘以（y﹣2）得：﹣3＝4+m+y﹣2，
整理得：m+y＝﹣5，
∵方程有增根，∴y＝2，
∴m+2＝﹣5，
∴m＝﹣7．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12.（川中南2020期末16）若关于的分式方程有增根，则__________．
【答案】-2;
【解析】解：∵分式方程有增根，∴x-1=0，∴x=1．把两边都乘以x-1，得a+1=x-2，∴a+1=1-2，∴a=-2．故答案为：-2．
13.若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．
【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【答案与解析】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根为x=±2，
∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．
把x=﹣2代入整式方程，得m=6．
综上，可知m=﹣4或6．
【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.如果方程有增根，那么增根是________．
【答案】；
提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母或可得．所以增根是．
15.（1）若分式方程有增根，求值；
（2）若分式方程有增根，求的值．
【答案与解析】解：（1）方程两边同乘，得．
∴ ．∴ ．
由题意知增根为或，
∴ 或．
∴ 或．
（2）方程两边同乘，得．
∴ ．
∴ ．
∵ 增根为，
∴ ．
∴ ．
【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．
16.是否存在实数x，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．
【答案】解：根据题意得：﹣=1+，
去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4+4x+8，
移项合并得：8x=﹣16，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，
所以不存在这样的实数x，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．
五、分式方程的应用
17.（浦东四署2020期末26）书店老板去图书批发市场购买某种图书. 第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完. 由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本. 当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书. 试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
【答案】赚了；共赚了520元;
【解析】解：设第一次购书的单价为x元，第二次购书的单价为1.2x元. 根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解. 所以第一次购书为：（本），第二次购书为240+10=250（本），第一次赚钱为元，第二次赚钱：
=40元，故两次一共赚钱：480+40=520元. 答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元.
18、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种
60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．
【答案与解析】解：设甲班每小时种棵树，则乙班每小时种棵树．由题意可，得
，
解这个方程，得．
经检验是原方程的根且符合题意．
所以(棵)．
答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．
【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．
19.在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？
【答案】解：设原来每天改造管道x米，由题意得：
+=27，
解得：x=30，
经检验：x=30是原分式方程的解，
（1+20%）x=1.2×30=36．
答：引进新设备前工程队每天改造管道36米．
20、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队
来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的
天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)
的方案有几种?请你帮助设计出来．
【答案与解析】解：(1)设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设米．
根据题意，得．解得．
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．
(2)设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米．
由题意，得 解得500≤≤700．
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米．
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．
所以分配方案有3种．
【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力.
21．一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，慢车比快车早出发2小时，在离A地276公里处快车追上了慢车，慢车的速度是快车的，求慢车、快车的速度．
【答案】解：设快车速度为 ，则慢车速度为
依题意，得，
去分母，得276×2＝276×3－4，所以，
经检验知是原方程的解，所以，
答：慢车、快车的速度分别为46 、69．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】去分母根据的是等式的性质2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程．
【详解】方程的两边同乘，得：，即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的性质和解分式方程，注意：去分母时，不要漏乘不含分母的项．
2．（2019·上海市复旦实验中学七年级月考）若方程有一个根是x=1，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，即可求出m的值.
【详解】将x=1代入方程得: ,
解得.
故选D.
【点睛】本题考查解分式方程，由分式的解得到关于m的分式方程是解题的关键.
3．（2020·上海宝山·七年级期末）去分母解关于x的方程产生增根，则m的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】先把分式方程化为整式方程，由于原分式方程有增根，则有x−2＝0，得到x＝2，即增根只能为2，然后把x＝2代入整式方程即可得到m的值．
【详解】解：方程两边乘（x−2）得，x−3＝m，
∵分式方程有增根，
∴x−2＝0，即x＝2，
∴2−3＝m，
∴m＝−1．
故选：D．
【点睛】本题考查了根据分式方程有增根，求方程中的参数，掌握增根的定义是解题关键．
4.（2019浦东四署12月考5）如果关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A. - 1； B.1； C.0； D.2.
【答案】B；
【解析】解：去分母得，得，依题可知为方程的增根，故即.
5.（卢湾中学2020期末4）是下列哪个分式方程的解（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
【解析】解:当时，A.中，的分母等于0，分式无意义，A错误；B.中，，分母等于0，分式无意义，B错误；C.中，的分母等于0，分式无意义，C错误；D.中，，D正确.故答案是：D.
二、填空题
6．（2021·上海浦东新·七年级期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是__________．
【答案】
【分析】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据甲车比乙车多用了20分钟的等量关系列出方程即可．
【详解】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出速度，以时间差作为等量关系列方程．
7．（2019·上海市控江初级中学七年级月考）已知，则x应满足__________.
【答案】
【分析】解方程即可得解
【详解】解：去分母得，
解得
经检验是原分式方程的解，故x应满足，
故答案为.
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意解分式方程一定要检验.
8．（2019·上海市毓秀学校七年级期中）若关于x的方程有增根，则a=______________
【答案】-3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据方程有增根得到x的值，将x的值代入方程求出a的值即可.
【详解】把方程整理为，
根据方程有增根，得到3-x=0，即x=3，
将x=3代入得，-a=3,
∴a=-3.
故答案为：-3.
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟记分式方程有增根即最简公分母等于0是解决此类问题的关键．
9.（西南模2019期中12）若关于x的方程有增根，则m＝ ．
【答案】；
【解析】解：＝，∴m＝2x2﹣25，
∵方程有增根，∴x＝3或x＝4，∴m＝﹣7或m＝7，故答案为±7．
三、解答题
10．（2020·上海市中国中学七年级月考）解方程：
【答案】x=-5.
【分析】根据解分式方程的一般步骤求出x的值即可.
【详解】解：去分母得，10+5x=2x-5
移项，得：5x-2x=-5-10
合并同类项得：3x=-15
系数化为1，得：x=-5.
经检验x=-5是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x=-5.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解分式方程时注意要检验.
11．（2019·上海市毓秀学校七年级期中）解方程：
【答案】x=
【分析】观察可得方程的最简公分母为(x-1)(x+2)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验.
【详解】
去分母得，，
解得，x=,
经检验，x=是原方程的解，
∴原方程的解为：x=.
【点睛】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定要验根.
12．（2019·上海奉贤·七年级期末）解方程：．
【答案】
【分析】按照解分式方程的步骤，先去分母，再解整式方程，最后检验即可.
【详解】解： ，
方程两边同时乘得，
，
解得，，
检验：当时，，所以，原分式方程的解为.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，要注意分式方程需要检验.
13．（2019·上海市控江初级中学七年级月考）当m为何值时，关于x的方程，无解。
【答案】或
【分析】先将分式方程化为整式方程，然后分未知数的系数为0和不为0两种情况讨论
【详解】解:去分母，
整理得，
当即时，此方程无解；
当时，，
由题意知方程有增根，且增根为，
解得，
综上所述，当或时，原方程无解.
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题时要注意原方程无解既可能是有增根，也可能是整式方程无解.
14.（浦东四署2020期末22）解分式方程：.
【答案】x=2；
【解析】解：去分母得：，解得，经检验x=2是分式方程的解，所以，原方程的解是x=2.
15.（延安初中2020期末27）解方程:
【答案】x=0；
【解析】解:去分母得:3-x(x+3)=-(x2+2x-3)，去括号,得:3- x2-3x=-x2-2x+3，移项合并同类项得:x=0.
经检验x=0是原分式方程的解,∴原分式方程的解为x=0.
16．（2019·上海市控江初级中学七年级月考）解分式方程：
【答案】.
【分析】将方程两边变形，先消去分子中的未知数然后进一步求解.
【详解】解：
由于
解得
经检验是原方程的解.
【点睛】本题考查了解分式方程，对于较复杂的分式方程，要想办法进行化简，一般不要直接去分母把方程化成高次数方程求解.
17.（浦东南片2020期末25）已知，求的值.
【答案】；
【解析】解：∵， 左边=，
右边=，所以，解得：. 把，代入，．
18．（2020·上海市中国中学七年级月考）为了防止雾霾，某口罩生产企业需要在若干天内加工2400个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的1.5倍，从而提前2天完成任务，问该企业原计划每天生产多少个口罩？
【答案】400.
【分析】根据题意找出等量关系为：原计划所用天数-实际所用天数=2，把相关数值代入整理即可.
【详解】解：设该企业原计划每天生产x个口罩，依题意得：

解之得：x=400.
答：该企业原计划每天生产400个口罩.
【点睛】考查列分式方程；得到原计划所用天数与实际所用天数的等量关系是解决本题的关键．
19．（2020·上海同济大学实验学校七年级期中）学生小李为使跳绳200次所用的时间减少10秒，必须把每秒钟的跳绳次数增加10%，问小李原来跳绳200次所用的时间是多少秒？
【答案】小李原来跳绳200次所用的时间为110秒．
【分析】由题意设小李原来跳绳200次所用的时间为x秒，根据单位跳绳次数×时间＝总次数列出方程求解即可．
【详解】解：设小李原来跳绳200次所用的时间为x秒．
根据题意得 ．
解得： x＝110．
经检验：x＝110是原方程的根．
答：小李原来跳绳200次所用的时间为110秒．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是仔细审题并从中找到等量关系．
20．（2020·上海宝山·七年级期末）小丽乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高50%，因此能比路线一节省10分钟到达．那么选走路线二去体育场需要多少时间?
【答案】小丽选走路线二去体育场需要小时
【分析】设小丽走路线一的平均速度是x千米/小时，则小丽走路线二的平均速度是x（1+50%）千米/小时，根据走路线二比走路线一少用10分钟建立方程求出x，即可求出结论．
【详解】解：设小丽走路线一的平均速度是x千米/小时，则走路线二的平均速度是x（1+50%）千米/小时，
由题意，得，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解且符合题意．
故选走路线二去体育场需要=(小时)．
答：小丽选走路线二去体育场需要小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据条件找到等量关系建立方程是关键，解分式方程要验根是必不可少的步骤．
21．（2019·上海市控江初级中学七年级月考）A、B两地相距20千米，甲骑自行车自A地出发向B地方向行进30分钟后，乙骑自行车自B地出发向A地驶去，甲乙二人在B地12千米的C地相遇，若乙的速度是甲的速度的3倍，求甲乙两人各自的速度。（要求列分式方程求解）
【答案】甲的速度为8千米/时，乙的速度为24千米/时.
【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为3x千米/时，根据题中等量关系列出分式方程即可求解.
【详解】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为3x千米/时，则有
解得：x=8
经检验x=8是原方程的解，
则3x=24．
答：甲的速度为8千米/时，乙的速度为24千米/时．
【点睛】本题考查用分式方程解决行程问题；关键是根据时间得到相应的等量关系．
22．（2019·上海奉贤·七年级期末）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，两队分别每天安装几台空调？
【答案】甲队每天安装22台空调，乙队每天安装20台空调．
【分析】设乙队每天安装x台空调，则甲队每天安装（x+2）台空调，然后根据等量关系“两队同时开工且恰好同时完工”列出分式方程并解答即可．
【详解】解：设乙队每天安装x台空调，则甲队每天安装（x+2）台空调，
根据题意得：，解得x=20，
经检验，x=20是原方程的根
∴甲队每天安装x+2=20+2=22（台），乙队每天安装20台空调．
答：甲队每天安装22台空调，乙队每天安装20台空调．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程并正确求解成为解答本题的关键．
23.（川中南2020期末28）多多果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，由于水果畅销，很快售完，第二次用1430元购买了一批水果，每千克的进价比第一次提高了，所购买的水果的数量比第一次多20千克，求第一次购买水果的进价是每千克多少元？
【答案】5元;
【解析】解：设第一次购买水果的进价是每千克x元，依题意得：，解之得：，
经检验，是原方程的解并符合题意，所以，原方程的解是．答：第一次购买水果的进价是每千克5元．
24.（延安初中2020期末29）甲、乙两车同时从相距千米的地到地，甲比乙晚出发分钟，结果乙比甲晚到分钟，已知甲车平均速度是乙车平均速度的倍，求甲车的平均速度.
【答案】45千米/时;
【解析】解: 设乙车的平均速度为x千米/时,则甲车的平均速度为1.5x千米/时,依题意得:
解得,x=30.经检验x=30是原方程的解,∴甲车的平均速度是1.5x=1.530=45(千米/时)，答: 甲车的平均速度是45千米/时.
25．（2019·上海市闵行区莘松中学七年级期中）一水果店主分两批购进某一种水果，第一批所用资金为2400元，因天气原因，水果涨价，第二批所用资金是2700元，但由于第二批单价比第一批单价每箱多10元，以致购买的数量比第一批少25%．
（1）该水果店主购进第一批这种水果的单价是多少元？
（2）该水果店主计两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了不低于1716元，求a的最大值．
【答案】（1）水果店主购进第一批这种水果的单价是20元；（2）a的最大值是30．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以得到关于a的不等式，从而可以求得a的最大值．
【详解】（1）设第一批水果的单价是x元，
，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
答：水果店主购进第一批这种水果的单价是20元；
（2）由题意可得，
，
解得，a≤30，
答：a的最大值是30．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用分式方程和不等式的性质解答．
26．（2018·上海松江·七年级期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）2-；（2）x=2或0
【分析】（1）根据题意，把分式，分子化为“”，再进行化简，写成整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【详解】（1）由题可得，==2-；
（2）==x+1+，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x-1=±1，
∴x=2或0．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
27.（莘松中学2019期中26）一水果店主分两批购进某一种水果，第一批所用资金为2400元，因天气原因，水果涨价，第二批所用资金是2700元，但由于第二批单价比第一批单价每箱多10元，以致购买的数量比第一批少25%．
（1）该水果店主购进第一批这种水果的单价是多少元？
（2）该水果店主计两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了不低于1716元，求a的最大值．
【答案】（1）水果店主购进第一批这种水果的单价是20元；（2）a的最大值是30；
【解析】解：（1）设第一批水果的单价是x元，，解得，x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，答：水果店主购进第一批这种水果的单价是20元；（2）由题意可得，
，解得，a≤30，答：a的最大值是30．
28.（嘉定区2020期末27）A、B两地相距80千米，甲与乙开车都从A地前往B地，甲开车从A地出发小时后，乙出从A地出发，已知乙开车速度是甲开车速度的1.5倍，结果乙比甲提前10分钟到达B地，求甲开的速度.
【答案】80千米/小时；
【解析】解:设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为千米/小时, 由题意得：
整理得：, 方程两边同乘以，得：, 解得：,经检验：是原方程的解，且符合题意. 答：甲的速度为80千米/小时.
29.（浦东四署2020期末27）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一. 所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.
例：已知：，求代数式的值.
解：因为，所以即，所以.
根据材料回答问题（直接写出答案）：
（1），则= .
（2）解分式方程组，解得方程组的解为 .
【答案】（1）3；（2）；
【解析】（1）由得，所以即；
（2）原方程组可化为，即，令，则得，解之得，故.