第05讲 平方差公式（核心考点讲与练）-【暑假衔接】六升七数学讲与练（沪教版）

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第05讲 平方差公式（核心考点讲与练）
【知识梳理】
1.平方差公式：
【核心考点精讲】
一．平方差公式（共8小题）
1．（2021秋•黄浦区期中）计算（x+5）（x﹣5）+（x﹣3）（3﹣x）．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式以及合并同类项法则计算．
【解答】解：原式＝（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣3）（x﹣3）
＝x2﹣25﹣x2+6x﹣9
＝6x﹣34．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
2．（2019秋•浦东新区校级月考）1001×999﹣9992
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：原式＝（1000+1）（1000﹣1）﹣9992
＝10002﹣1﹣9992
＝（1000+999）（1000﹣999）﹣1
＝1999﹣1
＝1998．
【点评】本题主要考查了平方差公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
3．（2019秋•长宁区校级月考）简便计算：．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：
＝
＝﹣
＝﹣（10000﹣）
＝．
【点评】本题主要考查了平方差公式，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
4．（x+y）（x﹣y）（x2+y2）（x4+y4）
【分析】根据平方差公式从左到右依次计算即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣y2））（x2+y2）（x4+y4）
＝（x4﹣y4）（x4+y4）
＝x8﹣y8．
【点评】本题考查了平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
5．（2020秋•肇源县期末）利用乘法公式计算：20202﹣2019×2021．
【分析】根据平方差公式计算2019×2021即可求解．
【解答】解：20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝1．
【点评】本题主要考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
6．（2020秋•普陀区期中）利用公式计算：101×99﹣972
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式计算即可．
【解答】解：原式＝（100+1）（100﹣1）﹣（100﹣3）2
＝1002﹣1﹣1002+600﹣9
＝590．
【点评】本题主要考查了乘法公式的应用，熟记完全平方公式以及平方差公式是解答本题的关键．
7．（2019秋•嘉定区校级月考）（2x﹣y﹣1）（2x+y﹣1）
【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，即可得出答案．
【解答】解：原式＝[（2x﹣1）﹣y][（2x﹣1）+y]
＝（2x﹣1）2﹣y2
＝4x2﹣4x+1﹣y2．
【点评】本题考查了平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：平方差公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
8．（2021秋•青浦区月考）请阅读以下材料：
[材料]若x＝12349×12346，y＝12348×12347，试比较x，y的大小．
解：设12348＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．
因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，
所以x＜y．
我们把这种方法叫做换元法．
请仿照例题比较下列两数大小：x＝997657×997655，y＝997653×997659．
【分析】令a＝997653，b＝997655，分别根据x、y的式子列出关于a、b的整式，根据整式的减法即可得解．
【解答】解：令a＝997653，b＝997655，
则x＝（a+4）b＝ab+4b，y＝a（b+4）＝ab+4a，
∵x﹣y＝（ab+4b）﹣（ab+4a）＝4（b﹣a）＝4×2＝8＞0，
∴x＞y．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，熟记单项式乘单项式是解题的关键．
二．平方差公式的几何背景（共3小题）
9．（2017秋•黄浦区校级期中）将正方形的四周剪去四个面积相等的小正方形，制作成一块“十字型”纸板（如图所示）．
（1）写出纸板的面积；
（2）请画出一个和这块纸板面积相等的长方形；
（3）此长方形的长为 m+2n ，宽为 m﹣2n ．
【分析】（1）根据题意，纸板的面积就是大正方形的面积减去4个小正方形的面积；
（2）根据平方差公式的几何背景画出一个和这块纸板面积相等的长方形即可；
（3）根据图象可得长方形的长为：m+2n，宽为：m﹣2n．
【解答】解：
（1）纸板的面积为：m2﹣4n2；
（2）
（3）此时长方形的长为：m+2n，宽为：m﹣2n；
故答案为：m+2n，m﹣2n．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，难度不大．
10．（2020秋•黄浦区期末）如图，从边长为（2a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为2a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么长方形的面积为（ ）
A．4a2+6aB．6a+9C．12a+9D．12a+15
【分析】根据裁剪拼图可知，所拼成的长方形的长为（2a+3）+2a＝4a+3，宽为（2a+3）﹣2a＝3，由长方形面积的计算方法即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，
所拼成的长方形的长为（2a+3）+2a＝4a+3，宽为（2a+3）﹣2a＝3，
所以长方形的面积为（4a+3）×3＝12a+9，
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼成长方形的长、宽是解决问题的关键．
11．（2020秋•普陀区期中）如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．
【解答】解：左边阴影面积为a2﹣b2
右边梯形面积为
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故选：A．
【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共3小题）
1．（2021春•市中区期末）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（x+y）（﹣x﹣y）B．（2x+3y）（2x﹣3z）
C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（m﹣n）（n﹣m）
【分析】平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，看看每个选项是否符合公式即可．
【解答】解：A、不能用平方差公式，故本选项错误；
B、不能用平方差公式，故本选项错误；
C、能用平方差公式，故本选项正确；
D、不能用平方差公式，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对平方差公式的应用，注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
2．（2021秋•杨浦区期中）下列整式的乘法中，不能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y）B．（﹣x﹣y）（﹣x+y）
C．（﹣x﹣y）（x+y）D．（﹣x+y）（x+y）
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A、原式＝x2﹣y2，不符合题意；
B、原式＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，不符合题意；
C、原式＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，符合题意；
D、原式＝y2﹣x2，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．（2014秋•鼓楼区校级期末）如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】根据图①中阴影部分的面积和图②的面积，可以列出等式，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
图①中阴影部分的面积是：a2﹣b2，
图②中矩形的面积是：（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是明确题意，找出其中的等量关系．
二．填空题（共7小题）
4．（2021秋•徐汇区校级月考）已知（x﹣ay）（x+ay）＝x2﹣16y2，那么a＝ ±4 ．
【分析】根据平方差公式把左边展开进行解答．
【解答】解：∵x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y），
∴a＝±4，
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方差公式，关键是利用公式展开求出a的值．
5．（2021秋•金山区期中）计算：（2a﹣b）（2a+b）＝ 4a2﹣b2 ．
【分析】根据平方差公式解决此题．
【解答】解：（2a﹣b）（2a+b）＝4a2﹣b2．
故答案为：4a2﹣b2．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
6．（2021•奉贤区三模）计算：（2a+b）（2a﹣b）＝ 4a2﹣b2 ．
【分析】根据平方差公式，即可解答．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，
故答案为：4a2﹣b2．
【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
7．（2020秋•浦东新区期末）在括号内填入适当的整式：（2a+b）（ b﹣2a ）＝b2﹣4a2．
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：（2a+b）（b﹣2a）＝b2﹣4a2．
故答案为：b﹣2a．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8．（2021秋•金山区期中）计算：99.82﹣0.22＝ 9960 ．
【分析】根据平方差公式得到原式＝（99.8+0.2）（99.8﹣0.2），然后先计算括号得到原式＝100×99.6，这样易得到结果．
【解答】解：原式＝（99.8+0.2）（99.8﹣0.2）
＝100×99.6
＝9960．
故答案为9960．
【点评】本题考查了平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
9．（2020春•马鞍山期末）如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，那么S阴＝ 3 ．
【分析】设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得b2﹣a2＝6．再根据图形写出S阴的表达式，将b2﹣a2＝6整体代入计算即可．
【解答】解：设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得：
b2﹣a2＝6．
由图形可得：
S阴＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）
＝ab﹣a2+b2﹣ab
＝（b2﹣a2）
＝×6
＝3．
故答案为：3
【点评】本题考查了整式的乘法在几何图形面积计算中的应用，根据图形正确列出算式是解题的关键．
10．（2017•孝感）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为 ．
【分析】首先表示S1＝a2﹣1，S2＝（a﹣1）2，再约分化简即可．
【解答】解：＝＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平方公式的几何背景和分式的化简，关键是正确表示出阴影部分面积．
三．解答题（共9小题）
11．（2021秋•宝山区期末）计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．
【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2
＝x2﹣（4y2﹣12y+9）
＝x2﹣4y2+12y﹣9．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．（2021秋•普陀区期中）用乘法公式计算：100×99．
【分析】首先把100×99化为（100+）（100﹣）这个形式，再用平方差公式计算．
【解答】解：100×99
＝（100+）（100﹣）
＝10000﹣
＝9999．
【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式，把两数积的形式化为（a+b）（a﹣b）的形式是解题的关键．
13．（2021秋•普陀区期中）计算：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）．
【分析】根据（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，这个公式计算．
【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）
＝（9x2﹣4）（9x2+4）
＝81x4﹣16．
【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的应用，用平方差公式的条件，两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，是解题的关键．
14．（2021秋•杨浦区期中）计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2．
【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则计算即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【解答】解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2
＝x2﹣4﹣6x2+18x+5x2
＝18x﹣4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
15．（2021秋•浦东新区期中）用乘法公式计算：100×99．
【分析】先变形，再运用平方差公式进行简便运算．
【解答】解：100×99
＝
＝
＝10000﹣
＝9999．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
16．（2021秋•普陀区校级月考）计算：（﹣x2y﹣x2y2）•（﹣xy）2﹣（﹣2x2y2﹣3）•（﹣3+2x2y2）．
【分析】利用平方差公式及单项式乘多项式法则求解即可．
【解答】解：原式＝（﹣x2y﹣x2y2）•x2y2﹣[（﹣3）2﹣（2x2y2）2]
＝﹣x4y3﹣x4y4﹣9+4x4y4
＝﹣x4y3+x4y4﹣9．
【点评】此题考查了平方差公式及单项式乘多项式，熟记平方差公式及单项式乘多项式法则是解题的关键．
17．（2021秋•徐汇区校级月考）（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则计算，最后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣5x2﹣4x
＝﹣x2﹣4x﹣9．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2021秋•青浦区月考）计算：（1﹣2a）（1+2a）（a﹣3）．
【分析】先根据平方差公式展开，再根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝[12﹣（2a）2]（a﹣3）
＝（1﹣4a2）（a﹣3）
＝a﹣3﹣4a3+12a2．
【点评】本题考查了完全平方公式、多项式乘多项式，能熟练地运用公式和法则进行计算是解此题的关键．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
19．（2013•义乌市）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【分析】（1）利用正方形的面积公式和梯形的面积公式即可求解；
（2）根据（1）所得的两个式子相等即可得到．
【解答】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴S1＝a2﹣b2．
S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）根据题意得：
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键，是一道基础题．