2023-2024学年江苏省无锡市惠山区天一实验学校九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市惠山区天一实验学校九年级（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了下列方程中是一元二次方程是，已知，下列变形错误的是，如图，在中，，，，则的值是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程中是一元二次方程是
A．B．C．D．
2．（3分）已知，下列变形错误的是
A．B．C．D．
3．（3分）若一元二次方程的两个根是，，则的值是
A．3B．C．D．4
4．（3分）如图，在中，，，，则的值是
A．B．C．D．
5．（3分）某网络学习平台2020年的新注册用户数为100万，2022年的新注册用户数为178万，设新注册用户数的年平均增长率为，根据题意所列方程正确的是
A．B．
C．D．
6．（3分）下列说法正确的是
A．等弧所对的圆心角相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．过三点一定可以确定一个圆
D．垂直于半径的直线是圆的切线
7．（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点、，量出半径，弦，则直尺的宽度为
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在中，，，过点作的垂线交于点，平分交于点．若，则的长为
A．3B．4C．D．
9．（3分）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是
A．，B．，C．，D．，
二.填空题（共8小题，每小题3分共计24分）
11．（3分）在比例尺为像的地图上，相距的两地，的实际距离
为 ．
12．（3分）已知圆锥的底面半径是，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ．
13．（3分）如图，点把线段的黄金分割点，且．如果，那么 （结果保留小数）．
14．（3分）如图，是的直径，、在上，若，则的度数
为 ．
15．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数和的图象分别交于点，，若，则 ．
16．（3分）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
17．（3分）若实数，，满足，，则代数式的最大值为 ．
18．（3分）如图，平分等边的面积，折叠得到，分别与，相交于，两点．若，，用含，的式子表示的长是 ．
三.解答题（共10小题，共计96分）
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
20．（8分）计算：
（1）；
（2）．
21．（8分）如图，中，是边上的高，且．
（1）求证：.
（2）求的大小．
22．（10分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，、、．
（1）经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点与的位置关系．点在 （填内、外、上）；
（4）在方格中，连接，，，将以原点为位似中心，缩小为原来的，请画出缩小后的图形△．
24．（10分）如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切.
（2）若，，求的长．
25．（10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，，，边与轴交于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接．
①当时，求直线的函数表达式；
②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标．
27．（12分）如图，正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于，交于．
（1）当为中点时，求证；
（2）若线段满足．
①求证：；
②求的值．
28．（12分）【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则 ．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形中，，，求的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图4①，已知矩形，，，为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 ．
②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长．
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区天一实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
19．解：（1），
，
或，
解得，.
（2），
，
，
，
，
，．
20．解：（1）
.
（2）
．
21．（1）证明：是边上的高，
，
，.
（2）解：，.
在中，，
，
，即．
22．（1）证明：
，
方程有两个不相等的实数根.
（2），解得，，
即，的长为，，
当时，即，三角形三边长分别为5、5、4；
当时，三角形三边长分别为5、5、6.
综上所述，的值为4或5．
23.解：（1）
如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，则点即为经过，，三点的圆弧所在圆的圆心，点的坐标为．
（2）
如图，连接，由勾股定理，得，这个圆的半径为．
（3）内
如图，连接，由勾股定理得，，，点在内．
（4）如图，△即所求．
24.（1）证明：如图，连接，
，，
.
，.
又，
.
是的直径，，
，
，即.
是半径，是的切线.
（2）解：在中，设半径为，即，则，
，
，.
在中，，，
，．
25．（1）解：设每千克核桃应降价元．
根据题意，得．
化简，得 解得，．
答：每千克核桃应降价4元或6元．
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：（元，
设按原售价的折出售，则，解得
答：该店应按原售价的九折出售．
26．解：（1）点的坐标为，．
矩形中，，
，，，．
，，.
（2）①点，．
，．
．
，或．
或．
，或，．
或
解得或
直线的函数表达式为或.
②设的中点为，过点作于点，延长交于点，则，如图，
由题意：以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线相交．
以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线可能相切．
Ⅰ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，
则．
设，则．
．
，，，
．
，
为梯形 的中位线．
．
，解得．
经检验，是原方程的根，
，；
Ⅱ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，
则．
，，，
．
，
为梯形的中位线．
．
，解得．
经检验，是原方程的根，
，．
综上，当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，点的坐标为，或，．
27．（1）证明：四边形为正方形，
，．
点关于直线的对称点为，
，．
为中点，，
．
，，
，，
.
（2）①证明：，
．
，
，．
，.
点关于直线的对称点为，
垂直平分，
，，
．
在和中，
，.
②解：由①知：，
．
设正方形的边长为，则，设，
，
，，
，
（负数不合题意，舍去），
，．
．
28.解：（1）45
（2）如图，取的中点，连接，．
，
，，
，
点，，，共圆，.
，.
（3）作图如下：
由图知，；同理．
（4）①
在上截取，连接，以为直径，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆．于，过作的切线交于交于，如图所示：
，，的半径为，即，，，，，，，即.
②方法一：如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接，，．
，．
在中，，
．
，为圆心，
，．
在中，，，
．
在中，，，
，．
方法二：如图，延长至，使，延长至，使，易证是等腰直角三角形，
由可知，，
，．
方法三：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
，
为等腰直角三角形，
可证明，
，，
，，
，．
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2
3
4
5
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8
9
10
D
B
A
D
B
A
C
D
D
D
11.750 12. 13.1.2 14.20 15. 16.9 17. 18.