2022-2023学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知的半径是，，则点与的位置关系是(    )

A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定

3. 已知为锐角，且，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，为的直径，是的弦，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 在中，弦所对的圆心角的度数为，则弦所对的圆周角的度数为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6. 如图，圆规两脚，张开的角度为，，则两脚张开的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在下列命题中，正确的是(    )

A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 相等的弧所对的弦相等 D. 圆周角的度数等于圆心角度数的一半

8. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点是矩形对角线上的一点，经过点，且与边相切于点，若，，则的半径长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 在中，，是斜边上的中线，，，则的值是______．
12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．
13. 已知是锐角，，则______
14. 一条上山直道的坡度为：，沿这条直道上山，每前进米所上升的高度为______米．
15. 如图，正五边形和正都是的内接多边形，则______．

16. 如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点、、为圆心，以长为半径，作、、，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若，则此曲边三角形的面积为______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，若点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，则点的坐标为______．

18. 如图，已知正方形的边长为，点在弧上，，则的面积为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共9小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    在中，，、、的对边分别是、、，
    ，，求、．
    ，，求的周长．
21. 本小题分
    如图，在中，是直径，弦，垂足为，连结．
    若，求的长；
    若，，求的长度．

22. 本小题分
    请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母．
    已知，作，使圆心到、边的距离相等，且经过、两点．
    如图，四边形是直角梯形，作，使与、、边都相切．

23. 本小题分
    如图，在中，，，，求的值．

24. 本小题分
    如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与、分别交于点、，且．
    判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若：：，，求的长．

25. 本小题分
    端午节赛龙舟，小红在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，她在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；她登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？结果精确到，参考数据：，，，

26. 本小题分
    如图，平行四边形中，，，，点在对角线上运动点不与点重合，以为圆心，为半径作．
    当与边相切时，______．
    当与边相切时，求的值．
    随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化．请根据的取值范围探索与平行四边形四边的公共点的个数．

27. 本小题分
    把两个直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，将绕点顺时针旋转．
    当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标；
    当旋转至、、三点在一条直线上时，求的长；
    当旋转至的度数最大时，则的面积为______．
     
28. 本小题分
    如图，已知与坐标轴分别交于，，，经过点的直线与轴交于点．
    ______；点的坐标为______；
    当直线与相切时，求的值；
    当时，点为直线除点外上的动点，且，请直接写出满足条件的点的横坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故点与的位置关系是点在圆内．
故选：．
点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径．
本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
又一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，
，
故选：．
判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，再得出选项即可．
本题考查了锐角三角函数的增减性，能判断所给函数值在最接近的哪两个锐角的正切之间是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
；
又，
．
故选：．
由圆周角定理得出，由圆周角定理可知，则和互余，由此得解．
本题主要考查的是圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如下图，

当点在优弧上时，
由圆周角定理得，，
当点在劣弧上时，
四边形是的内接四边形，
，
弦所对的圆周角的度数为或，
故选：．
根据题意画出图形，根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，，
，，
在中，，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
C、相等的弧所对的弦相等，正确，符合题意；
D、同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半，故原命题错误，不符合题意．
故选：．
利用等狐的定义、圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质和圆心角与圆周角的关系求出，根据平行线的性质即可求出的度数．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，作于点，则，
与边相切于点，
，
四边形是矩形，，，
，，
设的半径为，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
整理得，
解得或不符合题意，舍去，
的半径长为，
故选：．
连接、，作于点，设的半径为，先证明四边形是矩形，则，，再证明∽，推导出，即可根据勾股定理列方程，解方程求出符合题意的值即可．
此题重点考查矩形的判定与性质、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：
过点作，垂足为，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
在中，，
，
，
，
在中，，，
，
和，，
∽，


，
，

．
，
，
．
故选：．
利用解直角三角形、三角形相似求得、的长，利用面积公式求解即可．
本题考查的是三角形的面积，解题的关键是解直角三角形求边长、三角形相似求边长．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，是斜边上的中线，，
，
，
由勾股定理得，．
，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，
圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系以及扇形面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
利用特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设前进米所上升的高度为米，
斜坡的坡度为：，
前进的水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：负值舍去，
则设前进米所上升的高度为米，
故答案为：．
设前进米所上升的高度为米，根据坡度的概念用表示出前进的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，
五边形是正五边形，
，
是正三角形，
，
，
，
故答案为：．
连接，分别求出正五边形和正三角形的中心角，结合图形计算即可．
本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：扇形的面积为，
三角形的面积为，
弓形的面积为，
曲边三角形的面积为．
故答案为：．
此三角形是由三段弧组成，先求弓形的面积．那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积加上三个弓形的面积．
本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积三角形的面积三个弓形的面积．
 

17.【答案】或或 

【解析】解：由勾股定理得：，
是的外心，
，
点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，
点的坐标为或或，
故答案为：或或．
根据勾股定理求出，根据题意求出点的坐标．
本题考查了三角形的外接圆、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握勾股定理求出外接圆的半径是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接交于，连接，，延长交于，过点作于，如图：

四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为：．
如图，取的中点，连接交于，连接，，延长交于，过点作于，首先证明，四边形是平行四边形，想办法求出，，可得结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先算乘方，乘法，再算减法即可；
先算零指数的幂和负整数指数幂，再算加减即可．
本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，
，
；

，
，
，
，
，
解得：负数舍去，
即，
由勾股定理得：，
的周长为． 

【解析】求出，再根据勾股定理即可求出，根据锐角三角函数的定义求出，再求出即可；
根据锐角三角函数的定义求出，根据三角形的面积求出，求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

21.【答案】解：连接，
设的半径为，则，
是直径，弦，
，
在中，，即，
解得：，
；
是直径，弦，
，
，
的长为：． 

【解析】连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程求出，进而求出；
根据圆周角定理求出，根据弧长公式该计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理、弧长的计算，掌握垂径定理、勾股定理、弧长公式是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示，即为所求：


如图所示，即为所求：

 

【解析】作线段的垂直平分线，再作的角平分线交于，再以为圆心，以为半径作圆即可；
分别作、的角平分线，二者交于，过点作于，以为圆心，以为半径画圆即可．
本题主要考查了复杂尺规作图作角平分线、作线段垂直平分线、作圆，熟练掌握相关作图方法是解题关键．
 

23.【答案】解：过点作交的延长线于点，

，，，
，
为等腰直角三角形，
设，则，，，
在中，，

解得，舍去，
． 

【解析】利用勾股定理列式求出即可．
本题考查了解直角三角形，主要利用了锐角三角函数和勾股定理．
 

24.【答案】解：是的切线．
理由：连接．
点在上，
，
．
，
．
，
．
，，
．
点在上，
是的切线．
连接．
是的直径，
，．
又，
∽．
．
：：，
：：．
：：，
，
． 

【解析】连接，先利用角间关系说明，再利用切线的判定方法得结论；
连接，先说明∽，再利用相似三角形的性质得结论．
本题考查了圆的切线和相似三角形，掌握圆的切线的判定方法和三角形的判定与性质是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：如图，根据题意得，，，，，
在中，，
解得：，
在中，，
解得：，
，
答：两次观测期间龙舟前进了． 

【解析】如图，根据题意得，，，，，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是利用三角函数的知识，求出，．
 

26.【答案】 

【解析】解：平行四边形中，，，，
，，
，即，
当与边相切时，切点即为点，则此时是的直径，
，
故答案为：．
如图所示，当与边相切时，设切点为点，连接，

，，
，
是的切线，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
；
由的解可知，当时，与相切，此时与平行四边形四边的公共点的个数为个；
如图所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为个；

由可知当时，与相切，此时与平行四边形四边的公共点的个数为个；
如图 所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为个；

如图所示，当恰好经过点时，此时与平行四边形四边的公共点的个数为个，

连接，设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
如图所示，当，时，与平行四边形四边的公共点的个数为个；

如图所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为个；

综上所述：
当时，与平行四边形四边的公共点的个数为个；
当时，与平行四边形四边的公共点的个数为个；
当时，与平行四边形四边的公共点的个教为个；
当时，与平行四边形四边的公共点的个数为个；
当时，与平行四边形四边的公共点的个数为个．
先利用勾股定理求出，再证明，当与边相切时，切点即为点，此时 是的直径，由此求解即可；
如图所示，当与边相切时，设切点为点，连接，由切线长定理求出的长进而求出的长，即可利用勾股定理求出答案；
分别讨论当与  相切前， 与  相切时，与  相切后到与  相切前，与相切时，与相切后未经过点时，经过点  后，画出对应的图形求解即可．
本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：过点作轴交于点，
，，
，，
；
，，
，，
，，
，，
，
，，
，
∽，
，
在中，，，
，
，
过点作交于点，
在中，，
，，
在中，，
，
；
当时，最大，
在中，，，
，
过点作交于点，
，
，
由知∽，
，
过点作交于点，
，
，
，
故答案为：．
过点作轴交于点，再由直角三角形的性质求解即可；
证明∽，可得，过点作交于点，在中，求出，，在中，求出，则；
当时，最大，过点作交于点，利用等积法求出，由知∽，过点作交于点，则有，求出，再求的面积即可．
本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形旋转的性质，相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
 

28.【答案】   

【解析】解：如图，连接，

，，
，，
，
，
；
故答案为：．
如图，连接，，，，过点作轴于点，轴于点，

由得：，
，
，，，
，，，
，，
轴，
，
，
同理，
点的坐标为；
故答案为：．
如图，直线与相切，

，
，即，
，
，
，
，
∽，

即，
解得：，
点的坐标为，
即；
如图，连接，，，延长交直线于点，

，，，
，，，
，
，
，
，
当点与点重合时，点满足条件，此时点的横坐标为；
当点在直线的下方时，
点，即，
，
，
，
，，
，
即．
，
此时满足条件的点和点关于直线对称，即点为的中点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
 解得：，
直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
联立得：，
解得：，
即点的横坐标为 ，
此时点的横坐标为；
綜上所述，满足条件的点的坐标为或．
连接，根据题意可得，，可得，再根据圆周角定理，即可求解；
连接，，，，过点作轴于点，轴于点，根据题意可得，，再由垂径定理可得，，即可求解；
证明∽，可得，即可求解；
连接，，，延长交直线于点，根据勾股定理逆定理可得；再由圆周角定理可得，从而得到当点与点重合时，点满足条件，再证得，可得满足条件的点和点关于直线对称，分别求出直线和直线的解析式，可得到点的横坐标，即可求解．
本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的图象和性质，解直角三角形，垂径定理，勾股定理及其逆定理的应用等知识，熟练掌握上述知识，并利用数形结合的思想解答是解题的关键．