2023-2024学年浙江省杭州市联谊学校高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市联谊学校高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z−3i=4−i，则z的虚部为( )
A. 2B. 4C. −2D. 2i
2.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为( )．
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m/​/α，则m⊥βB. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
C. 若m/​/α，n⊥α，则m⊥nD. 若m⊥n，m/​/α，则n⊥α
4.已知向量a，b满足|a|=2，b=(3,0)，|a−b|= 10，则向量a在向量b方向上的投影向量为( )
A. (16,0)B. (13,0)C. (12,0)D. (1,0)
5.函数y=sinxcsx+ 3cs2x− 32的最小正周期等于( )
A. πB. 2πC. π4D. π2
6.已知关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为(−∞,m)∪(4m,+∞)，其中m<0，则ba+4b的最小值为( )
A. −4B. 4C. 5D. 8
7.已知圆锥的轴截面为△PAB，P为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为12π，若∠APB=60°，则该圆锥的体积为( )
A. 9 3πB. 12 3πC. 18 3πD. 27 3π
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccsA+acsC=6，AC边上的高为3 3，则∠ABC的最大值为( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数2−2i对应的点在第二象限
B. 若i为虚数单位，则i2023=−i
C. 在复数集C中，方程x2+x+1=0的两个解分别为−12+ 32i和−12− 32i
D. 复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆
10.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，则下列叙述正确的是( )
A. 若bcsC+ccsB=b，则△ABC是等腰三角形
B. 若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yAC且x+2y=1，则a=c
C. 若a=2，b=3，∠A=30°，则解此三角形的结果有一解
D. “△ABC为锐角三角形”是“sinA>csB”的充分不必要条件
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是( )
A. 三棱锥A−D1PC的体积不变
B. 直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为[π4,π2]
C. 直线AP与平面ACD1所成角的大小不变
D. 二面角P−AD1−C的大小不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若3a=12，b=lg412，则1a+1b= ______．
13.从某果树上随机摘下11个水果，其直径为12，13，14，14，16，20，20，21，22，23，25(单位：cm)，则这组数据的第六十百分位数为______．
14.已知函数y=2sin(ωx−π3)(ω>0)在区间(π3,π)上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=3，点E为线段PD的中点．
(1)求证：PB/​/平面AEC；
(2)求证：AE⊥平面PCD；
(3)求三棱锥A−PEC的体积．
16.(本小题12分)
已知m>0，n>0，如图，在△ABC中，点M，N满足AM=mAB,AN=nAC,D在线段BC上且BC=4BD，点E是AD与MN的交点，AD=3AE．
(1)分别用AB,AC来表示AD和AE；
(2)求m+2n的最小值．
17.(本小题12分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，已知向量m=(csC,2cs2B2−1),n=(b,c−4a)且m⋅n=0，D为边AC上一点，BD=2 5且CD=2AD．
(1)求cs∠ABC；
(2)求△ABC面积的最大值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，AD=2．
(1)证明：AM⊥平面PCD；
(2)若二面角M−BC−D为π6，求异面直线AB与PC所成角的正切值．
答案
1.A
2.C
3.C
4.C
5.A
6.C
7.A
8.B
9.BC
10.ABD
11.ABD
12.1
13.20
14.(13,1)∪(43,73]
15.解：(1)证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，
如图示：
∵O是正方形ABCD对角线交点，∴O为BD的中点，
由已知E为线段PD的中点，∵PB//OE，
又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
∴PB/​/平面ACE；
(2)证明：∵PA=AD，E为线段PD的中点，∴AE⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，又PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，
∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD；
(3)∵AE⊥平面PCD，∴三棱锥A−PCE的体积
V=13S△PCE⋅AE=13×12PE⋅CD⋅AE=13×12×32 2×3×32 2=94．
16.解：(1)因为BC=4BD，
所以AD=AB+BD=AB+14BC=AB+14(AC−AB)=34AB+14AC，
因为AD=3AE，
所以AE=13AD=13(34AB+14AC)=14AB+112AC；
(2)由(1)知，AE=14AB+112AC，
因为AM=mAB,AN=nAC，m>0，n>0，
所以AE=14AB+112AC=14mAM+112nAN，
因为M，E，N三点共线，
所以14m+112n=1，m>0，n>0，
所以m+2n=(m+2n)(14m+112n)=512+n2m+m12n≥512+2 n2m×m12n=512+ 66，
当且仅当n2m=m12n，即m= 6n=3+ 612时等号成立，
故m+2n的最小值为512+ 66．
17.解：(1)由m⋅n=0可得，bcsC+(c−4a)(2cs2B2−1)=0，
则sinBcsC+(sinC−4sinA)csB=0，
即sinBcsC+csBsinC−4sinAcsB=0，
所以sin(B+C)=4sinAcsB，即sinA=4sinAcsB，
又sinA≠0，
所以csB=14，即cs∠ABC=14；
(2)由于D为边AC上一点，CD=2AD，
则BD=23BA+13BC，
又BD=2 5，
所以20=49c2+19a2+49accsB=19(a2+4c2+ac)≥19(4ac+ac)=59ac，
所以ac≤36，当且仅当a=2c时取等号，
又sinB= 1−cs2B= 154，
所以S△ABC=12acsinB≤12×36× 154=9 152．
所以△ABC面积的最大值为9 152．
18.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，由底面ABCD为矩形，得CD⊥AD，
由侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
得CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，则CD⊥AM，
又侧面PAD是正三角形，M是PD的中点，则PD⊥AM，
又PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD．
(2)如图，

在平面PAD内，过点M作MH⊥AD，垂足为H，显然MH= 32，
由侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，得MH⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
则BC⊥MH，过H作HN⊥BC，垂足为N，连接MN，显然MH∩HN=H，
MH，HN⊂平面MNH，则BC⊥平面MNH，而MN⊂平面MNH，
因此BC⊥MN，
则∠MNH即为二面角M−BC−D的平面角，其大小为π6，
在Rt△MHN中，tan∠MNH=MHNH= 33，则NH=32，
由NH//CD，DH//CN，得四边形CDHN为平行四边形，则CD=32，
由AB/​/CD，得∠PCD(或其补角)为异面直线AB与PC所成角，
由(1)知CD⊥平面PAD，则△PCD为直角三角形，tan∠PCD=PDCD=232=43，
所以异面直线AB与PC所成角的正切值为43．