2023-2024学年浙江省杭州市重点学校高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市重点学校高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|x=kπ2+π4,k∈Z}，N={x|x=kπ4+π2,k∈Z}，则( )
A. M=NB. M⊃NC. M⊂ND. M∩N
2.点P从(0,−1)出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π3弧长到达点Q，则点Q的坐标为( )
A. ( 32,12)B. (12, 32)C. (−12, 32)D. (− 32,12)
3.已知α∈(π2,π)，若cs(π6−α)=− 24，则sin(α+5π6)的值为( )
A. − 24B. 24C. − 144D. 144
4.中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角θ时，可把折扇考虑为从一圆形(半径为r)分割出来的扇形，使扇形的面积S1与圆的面积的乘积等于剩余面积S2的平方.则扇形的圆心角θ为( )
A. ( 5−1)π2B. ( 5−2)πC. (3− 5)πD. ( 5+1)π4
5.若奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=3x+x3+2，则f(1)+g(0)=( )
A. 73B. 83C. 193D. 163
6.已知函数f(x)=lg12(x2+ax−2a)在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1)B. [−2,+∞)C. [−2,1)D. (−∞,−2]
7.已知tanα=13,tanβ=−17，且α，β∈(0,π)，则2α−β=( )
A. π4B. −π4C. −3π4D. −3π4或π4
8.对于函数f(x)，若f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的“不动点”；若f(f(x0))=x0，则称x0为函数f(x)的“稳定点”.如果函数f(x)=x2+a(a∈R)的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是( )
A. (−∞,14]B. (−34,+∞)C. (−34,14]D. [−34,14]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集为R，在下列条件中，满足B⊆A的充要条件的有( )
A. A⋂B=AB. (∁RA)∩B=RC. ∁RA⊆∁RBD. A⋃(∁RB)=R
10.函数f(x)=xln(x+π)−1的零点所在的区间可能为( )
A. (−3,−2)B. (−2,−1)C. (0,1)D. (1,2)
11.在△ABC中，sinA= 55,sinB= 1010，则sin(A−B)的值可能是( )
A. − 210B. 210C. − 22D. 22
12.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是( )
A. ω的取值范围是[134,174)B. f(x)的最小正周期可能是2
C. f(x)在区间(0,π)上可能恰有4个零点D. f(x)在区间(0,π12)上可能单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.对任意a>0且a≠1，函数f(x)=ax+1+1的图象都过定点P，且P在角θ的终边上，则csθ= ______ ．
14.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcs(πx+β)+x，且f(2022)=0，则f(2023)= ______ ．
15.若关于x的不等式22x+1−(m+1)⋅2x+18≤0在[0,1]上有解，则实数m的最小值为______ ．
16.已知f(x)=sin(ωx+φ+π3)(ω>0)同时满足下列三个条件：①T=π；②y=f(x−π3)是奇函数；③f(0)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知关于x的不等式x2− ab⋅x+b−14≤0．
(1)当a=1，b=4时，求不等式的解集；
(2)若不等式仅有一个解，求4a+b的最小值．
18.(本小题12分)
某商品近一个月内(30天)预计日销量y=f(t)(件)与时间t(天)的关系如图1所示，单价y=g(t)(万元/件)与时间t(天)的函数关系如图2所示，(t为整数)
(1)试写出f(t)与g(t)的解析式；
(2)求此商品日销售额的最大值？
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=3cs(π3−2x)−2．
(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；
(2)若定义在区间[−π6,π4]上的函数h(x)=af(x)+b的最大值为6，最小值为−3，求实数a、b的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgab+x2−x是奇函数，且f(1)=−1．
(1)求实数a、b的值；
(2)求函数y=f(2x)在(3−lg25,1)的值域；
(3)若f(t2−3)+f(1−t)>0，求实数t的取值范围．
21.(本小题12分)
若关于x的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(m,n)和(1n,1m)，则称这两个不等式为“对偶不等式”．
(1)已知x2−4csθ⋅x+2<0与ax2−4 3sinθ⋅x+1<0为对偶不等式.求a、θ的值；
(2)若( 2+1)x2−2 2tanα⋅x+1<0与bx2−2 2tanβ⋅x+ 2−1<0为对偶不等式，且α、β∈(0,π2).求α−β的最大值．
22.(本小题12分)
若函数f(x)满足：对任意x∈R,f(x)=f(3π2−x)=f(3π2+x)，则称f(x)为“M函数”．
(1)判断f1(x)=sin(43x+π2),f2(x)=|tan23x|是不是M函数(直接写出结论)；
(2)已在函数f(x)是M函数，且当x∈[0,3π4]时，f(x)=sinx.求f(x)在[32π,3π]的解析式；
(3)在(2)的条件下，x∈[0,6π]时，关于x的方程f(x)=a(a为常数)有解，求该方程所有解的和S．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
首先分析M、N的元素，变形其表达式，使分母相同，观察分析其分子间的关系，即可得答案．
本题考查集合的包含关系的判断，注意先化简元素的表达式，进而找其间的关系．
【解答】
解：对于M的元素，有x=2k+14π，其分子为π的奇数倍；
对于N的元素，有x=k+24π，其分子为π的整数倍；
分析易得，M⊂N；
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：点P从(0,−1)出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π3弧长到达点Q，
则点Q的坐标为(cs(−8π3−π2),sin(−8π3−π2))，
即点Q的坐标为(− 32,12)．
故选：D．
结合三角函数的定义求解．
本题考查了三角函数的定义，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设θ=π6−α，则csθ=− 24，α=π6−θ，
则sin(α+5π6)=sin(π6−θ+5π6)=sin(π−θ)=sinθ，
∵α∈(π2,π)，∴θ∈(−5π6,−π3)，
则sinθ=− 1−(− 24)2=− 144，
故选：C．
利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式，利用换元法是解决本题的关键．难度不大．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意得：θ2π⋅πr2⋅πr2=(2π−θ2π⋅πr2)2，解得θ=(3− 5)π或(3+ 5)π(舍去)．
故选：C．
根据条件可得出：θ2π⋅πr2⋅πr2=(2π−θ2π⋅πr2)2，然后解出θ的值即可．
本题考查了扇形面积的求法，圆的面积公式，扇形圆心角的范围，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，f(x)+g(x)=3x+x3+2①，
则有f(−x)+g(−x)=3−x−x3+2，
又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则有−f(x)+g(x)=3−x−x3+2②，
联立①②，解可得g(x)=3x+3−x2+2，f(x)=3x−3−x2+x3；
则有f(1)=73，g(0)=3；
故f(1)+g(0)=163．
故选：D．
根据题意，由函数的奇偶性可得f(x)+g(x)=3x+x3+2和−f(x)+g(x)=3−x−x3+2，联立两个式子可得f(x)、g(x)的解析式，计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若函数f(x)=lg12(x2+ax−2a)在[1,+∞)上单调递减，
则需要t=x2+ax−2a在[1,+∞)上单调递增且大于0恒成立，
即−a2≤112+a−2a>0，解得−2≤a<1．
∴实数a的取值范围是[−2,1)．
故选：C．
问题转化为t=x2+ax−2a在[1,+∞)上单调递增且大于0恒成立，进一步得到关于a的不等式组求解．
本题考查复合函数的单调性及其求法，考查化归与转化思想，是中档题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了二倍角的正切函数公式，正切函数的性质，两角差的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
利用二倍角的正切函数公式可求tan2α=34>0，利用正切函数的性质可求范围2α−β∈(−π,0)，利用两角差的正切公式可求tan(2α−β)=1，即可求解2α−β的值．
【解答】
解：因为tanα=13>0，且α∈(0,π)，
所以α∈(0,π2)，则2α∈(0,π)，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×131−(13)2=34>0，
则2α∈(0,π2)，
因为tanβ=−17<0，且β∈(0,π)，
所以β∈(π2,π)，所以2α−β∈(−π,0)，
又tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=34−(−17)1+34×(−17)=1，
所以2α−β=−3π4．
故本题选C．
8.【答案】D
【解析】解：x0为函数f(x)的“不动点”，则方程f(x)=x，即x2+a−x=0有实根，故Δ=1−4a≥0，∴a≤14，
如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根x0为方程f(f(x))=x，即x2+a=x的实根，
方程f(f(x))=x可化为：(x2+a)2+a=x，即(x2+a)2−x2+x2+a=x，利用平方差公式分解因式得，
∴(x2+a+x)(x2+a−x)+(x2+a−x)=0，∴(x2+a−x)(x2+x+a+1)=0，
∵函数f(x)=x2+a(a∈R)的“稳定点”恰是它的“不动点”，∴方程x2+x+a+1=0无实数根，
∴1−4(a+1)<0，∴a>−34，
当a=−34时，x2+x+a+1=x2+x+14=0解得x=−12，此时x2+a−x=x2−x−34=0的解为x1=−12，x2=32，两方程具有相同的实根，能同时满足x2+a−x=0有实根且(x2+a−x)(x2+x+a+1)=0有实根，因此a=−34满足题意．
综上，−34≤a≤14，
故选：D．
x0为函数f(x)的“不动点”，则方程f(x)=x，即x2+a−x=0有实根，故Δ=1−4a≥0，得a≤14，
由方程f(f(x))=x，化为：(x2+a)2+a=x，即(x2+a)2−x2+x2+a=x，利用平方差公式分解因式得，(x2+a−x)(x2+x+a+1)=0，
由函数f(x)=x2+a(a∈R)的“稳定点”恰是它的“不动点”，得方程x2+x+a+1=0无实数根，再解出a的范围．
本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了二次方程根的相关知识．
9.【答案】CD
【解析】解：因为A⋂B=A时，A⊆B，不满足题意，故选项A错误；
若(∁RA)∩B=R，显然只有A=⌀，B=R时成立，不满足题意，故选项B错误；
若∁RA⊆∁RB，则B⊆A，同时若B⊆A时，∁RA⊆∁RB，满足题意，故选项C正确；
当A∪(∁RB)=R时，则B⊆A，同时B⊆A，则A∪(∁RB)=R满足题意，故选项D正确．
故选：CD．
根据集合的运算性质及集合间的关系逐项判断即可．
本题考查集合的包含关系的应用，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由f(x)=xln(x+π)−1=0，得ln(x+π)=1x，
在同一平面直角坐标系内作出函数y=ln(x+π)与y=1x的图象如图：
由图可知，函数f(x)=xln(x+π)−1有两个零点．
又函数f(x)=xln(x+π)−1是(−π,+∞)上的连续函数，
∵f(−3)=−3ln(π−3)−1>0，f(−2)=−2ln(π−2)−1<0，f(−1)=−ln(π−1)−1<0，
∴在(−3,−2)内函数存在零点；
又f(0)=xln(x+π)−1=−1<0，f(1)=ln(π+1)−1>0，
f(2)=2ln(2+π)−1>0，
∴函数f(x)=xln(x+π)−1在区间(0,1)内存在零点．
故选：AC．
由函数f(x)=xln(x+π)−1是(−π,+∞)上的连续函数，再由图象结合函数零点判定定理得答案．
本题考查函数零点的判定及应用，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：当A，B均为锐角时，
因为sinA= 55,sinB= 1010，
所以csA= 1−sin2A=2 55,csB= 1−sin2B=3 1010，
所以sin(A−B)=sinAcsB−csAsinB= 55×3 1010−2 55× 1010= 210；
当A为钝角，B为锐角时，
此时sinA=sin(π−A)>sinB，且0<π−A<π2,0所以π−A>B，
即A+B<π，符合要求，
所以csA=− 1−sin2A=−2 55,csB= 1−sin2B=3 1010，
sin(A−B)=sinAcsB−csAsinB= 55×3 1010−(−2 55)× 1010= 22；
当A为锐角，B为钝角时，
此时sinA>sin(π−B)=sinB，且0<π−B<π2,0所以π−B即A+B>π，
不符合要求；
显然A，B不可能同为钝角，
综上可知sin(A−B)的值可能是 210， 22．
故选：BD．
讨论A，B分别为钝角、锐角的情况，然后根据同角的三角函数关系式以及两角差的正弦公式求解出sin(A−B)的可能值．
本题考查了同角的三角函数关系式，重点考查了两角差的正弦公式，属中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：由f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)，
令ωx+π4=π2+kπ,k∈Z，则x=(1+4k)π4ω,k∈Z，
因为函数在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，
即0≤(1+4k)π4ω≤π有四个整数k符合，
由0≤(1+4k)π4ω≤π，得0≤(1+4k)4ω≤1⇒0≤1+4k≤4ω，
则k=0，1，2，3，即1+4×3≤4ω<1+4×4，
所以134≤ω<174，故A正确；
若函数的最小正周期为2，则ω=π∉[134,174)，故B错误；
当x∈(0,π)时，ωx+π4∈(π4,ωπ+π4)，
又ωπ+π4∈[7π2,9π2),
当ωx+π4∈(π4,7π2)时，f(x)有三个不同的零点；
当ωx+π4∈(π4,9π2)，f(x)有四个不同的零点，
则f(x)在区间(0,π)上可能恰有4个零点，故C正确；
当x∈(0,π12)时，ωx+π4∈(π4,ωπ12+π4)，
因为134≤ω<174，
所以ωπ12+π4∈(25π48,29π48)，
而25π48>π2，所以f(x)在区间(0,π12)上不单调递增，故D错误．
故选：AC．
令ωx+π4=π2+kπ,k∈Z，则x=(1+4k)π4ω,k∈Z，结合题中条件可得0≤(1+4k)π4ω≤π有四个整数k符合，可求出ω的取值范围，再根据三角函数的性质逐项分析即可．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
13.【答案】− 55
【解析】解：令x+1=0，
解得x=−1，
所以f(−1)=2，
所以函数f(x)=ax+1+1(a>0,a≠1)的图象经过定点P(−1,2)，
所以点P在角θ的终边上，
则csθ=−1 (−1)2+22=− 55．
故答案为：− 55．
令x+1=0，即可求出定点P的坐标，再根据三角函数的定义计算可得．
本题考查了三角函数的定义，属基础题．
14.【答案】4045
【解析】解：因为f(x)=asin(πx+α)+bcs(πx+β)+x，
所以f(2022)=asin(2022π+α)+bcs(2022π+β)+2022=asinα+bcsβ+2022=0，得到asinα+bcsβ=−2022，
又f(2023)=asin(2023π+α)+bcs(2023π+β)+2023=asin(π+α)+bcs(π+β)+2023，
故f(2023)=−asinα−bcsβ+2023=−(−2022)+2023=4045，
故答案为：4045．
根据条件，利用诱导公式即可求出结果．
本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：∵关于x的不等式22x+1−(m+1)⋅2x+18≤0在[0,1]上有解，
∴关于x的不等式m+1≥22x+1+182x=2x+1+182x在[0,1]上有解，
即m+1≥(2x+1+182x)min，x∈[0,1]，
∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，令t=2x，则t∈[1,2]，
2x+1+182x=2t+18t=2(t+9t)，
令f(x)=x+9x，x∈[1,2]，
∵对勾函数f(x)=x+9x在[1,2]上单调递减，则f(x)min=f(2)=132，
∴2x+1+182x≥13，当且仅当x=1时取等号，
∴m+1≥13，则m≥12，即实数m的最小值为12．
故答案为：12．
参变分离得到关于x的不等式m+1≥2x+1+182x在[0,1]上有解，利用对勾函数的性质求出(2x+1+182x)min，即可求出m的取值范围．
本题考查不等式恒成立问题的求解方法，训练了利用换元法及对勾函数的单调性求最值，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】(5π6,11π12]
【解析】解：由函数的周期T=2πω=π，
∴ω=2，
由y=f(x−π3)是奇函数可知y=f(x)的图象关于(−π3,0)对称，
所以sin(φ−π3)=0，即φ−π3=kπ，k∈Z，
所以即φ=π3+kπ，f(x)=sin(2x+2π3+kπ)，
因为f(0)当k为偶数时显然不成立，故k为奇数，f(x)=sin(2x+2π3+kπ)=sin(2x−13π)，
由x∈[0,t)可得2x−π3∈[−π3,2t−π3),
因为f(x)在[0,t)上没有最小值，
所以2t−π3∈(4π3,3π2],
解可得，5π6故答案为：(5π6,11π12].
由已知结合周期公式可求ω，由函数图象的平移可得函数的对称中心，结合③进而可求f(x)，最后结合正弦函数的单调性即可求解．
本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档试题．
17.【答案】解：(1)当a=1，b=4时，不等式可化为x2−2x+34≤0，即4x2−8x+3≤0，
整理得(2x−3)(2x−1)≤0，解得12≤x≤32，即不等式的解集为[12,32]；
(2)若不等式x2− ab⋅x+b−14≤0仅有一个解，则Δ=(− ab)2−(b−1)=0，
即ab=b−1⇒b=ab+1>0，a>0，由ab−b+1=0，两边除以b得a+1b=1，
则4a+b=(4a+b)(a+1b)=5+4ab+ab≥5+2 4ab×ab=9，
当且仅当ab=4ab，即a=23,b=3时，等号成立，
故4a+b的最小值为9．
【解析】(1)根据题意，把a=1，b=4代入，解不等式即可；
(2)根据条件利用根的判别式列式，化简可得a+1b=1，且ab>0，再利用基本不等式算出4a+b的最小值．
本题主要考查一元二次方程根的判别式、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(t)是一次函数，过两个点(30,5)，(0,35)
∴f(t)=35−t (0≤t≤30,t∈Z)，…(2分)，
g(t)是分段函数，当0≤t≤20时，是一次函数，过两个点(20,8)，(0,3)，此时g(t)=14t+3
当20∴g(t)=14t+3,0≤t≤20,t∈Z20−35t,20(2)设日销售额L(t)是天数t的函数，则有
L(t)=f(t)⋅g(t)=(35−t)(14t+3),0≤t≤20,t∈Z(35−t)(20−35t),20当0≤t≤20时，L(t)=14[− (t−232)2+22094]，
当t=11或12时，L(t)最大值为138万元．
当20故L(t)∵138>120
∴0≤t≤30时，当t=11或12时，L(t)最大值为138万元． …(13分)
答：第11天与第12天的日销售额最大，最大值为138万元． …(14分)
【解析】(1)f(t)是一次函数，g(t)是分段函数，根据图象中点的坐标，可得函数解析式；
(2)f(t)⋅g(t)即为日销售额，建立销售额的函数模型，分段研究函数的最大值，从而确定商品日销售额的最大值．
本题以函数图象为载体，考查函数模型的构建，考查分段函数的最值，解题的关键是构建分段函数模型．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=3cs(π3−2x)−2=3cs(2x−π3)−2，
所以函数的最小正周期为T=π，
令2x−π3=π2+kπ,k∈Z，
得x=5π12+kπ2,k∈Z，
所以函数的对称中心为(5π12+kπ2,−2),k∈Z，
令2kπ≤2x−π3≤π+2kπ,k∈Z，
得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
故函数的减区间为[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z．
(2)h(x)=af(x)+b=3acs(2x−π3)−2a+b，
又当x∈[−π6,π4]时，2x−π3∈[−2π3,π6]，
则−12≤cs(2x−π3)≤1，
若a>0，
则有3a−2a+b=6−3a2−2a+b=−3，解得a=2b=4，
当a<0时，
3a−2a+b=−3−3a2−2a+b=6，解得a=−2b=−1，
又a=0明显不符合题意，
故a=2b=4或者a=−2b=−1．
【解析】(1)根据函数解析式，结合函数周期、对称中心、单调区间的求法，直接计算即可；
(2)分类讨论a的范围，列出方程组，解出即可．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=lgab+x2−x为奇函数，
所以f(x)+f(−x)=0，即lgab+x2−x+lgab−x2+x=0，
则b+x2−x⋅b−x2+x=1，所以b2−x2=22−x2，所以b=±2，
当b=−2时，f(x)=lga−2+x2−x=lga(−1)无意义，
当b=2时，f(x)=lga2+x2−x，则2+x2−x>0，解得−2所以函数的定义域为(−2,2)，且f(−x)=lga2−x2+x=lga(2+x2−x)−1=−lga2+x2−x=−f(x)，
符合题意，
又f(1)=−1，所以lga2+12−1=−1，则a−1=3，所以a=13，
综上可得a=13、b=2．
(2)由(1)可得f(x)=lg132+x2−x=lg13(−1+−4x−2)，
因为y=−4x−2在(−2,2)上单调递增，y=lg13x在定义域上单调递减，
所以f(x)在(−2,2)上单调递减，且f(x)的值域为R，
当x∈(3−lg25,1)，则2x∈(85,2)，又f(85)=lg132+852−85=−2，
所以函数y=f(2x)在(3−lg25,1)的值域为(−∞,−2)．
(3)由(1)(2)可知f(x)为定义在(−2,2)上单调递减的奇函数，
不等式f(t2−3)+f(1−t)>0，即f(t2−3)>f(t−1)，
等价于t2−3所以实数t的取值范围为(1,2)．
【解析】(1)根据奇函数的性质得到f(x)+f(−x)=0，求出b的值，再代入检验，最后由f(1)=−1求出a；
(2)首先判断函数的单调性，由x的取值范围，求出2x的取值范围，从而求出函数的值域；
(3)根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式(组)，解得即可．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设x2−4csθ⋅x+2<0的解集为(m,n)，ax2−4 3sinθ⋅x+1<0的解集为(1n,1m)，
所以m+n=4csθmn=21n+1m=4 3sinθa1nm=1a，
所以a=2，
所以1n+1m=2 3sinθ=4csθ2=m+nmn，
所以 3sinθ=csθ，
所以tanθ= 33，
所以θ=kπ+π6，k∈Z；
(2)已知( 2+1)x2−2 2tanα⋅x+1<0与bx2−2 2tanβ⋅x+ 2−1<0为对偶不等式，
又α、β∈(0,π2)，
设( 2+1)x2−2 2tanα⋅x+1<0的解集为(x1,x2)，x1，x2∈(0,+∞)，
则bx2−2 2tanβ⋅x+ 2−1<0的解集为(1x2,1x1)，
所以x1+x2=2 2tanα 2+1x1x2=1 2+1= 2−11x2+1x1=2 2tanβb1x1x2= 2−1b，
所以b=( 2−1)2，
所以1x2+1x1=2 2tanβ( 2−1)2=2 2tanα 2+1 2−1=x1+x2x1x2，
所以tanβ=( 2−1)2tanα，
因为α、β∈(0,π2)，tanβ=( 2−1)2tanα所以0<β<α<π2，
所以0<α−β<π2，
所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=(2 2−2)tanα1+( 2−1)2tan2α=21( 2−1)tanα+( 2−1)tanα，
所以tan(α−β)≤22 1( 2−1)tanα×[( 2−1)tanα]=1，
当且仅当1( 2−1)tanα=( 2−1)tanα，即tanα= 2+1tanβ= 2−1时取等号，
所以tan(α−β)≤1，
解得0<α−β≤π4，
所以(α−β)max=π4．
【解析】(1)根据一元二次不等式的解集得到一元二次方程对应的韦达定理形式，根据韦达定理结合三角函数求解出a、θ的值；
(2)先根据对应韦达定理列出关于tanα，tanβ，b的方程组，然后求解出b的值并得到tanα，tanβ的关系式，结合tan(α−β)的公式以及基本不等式求解出α−β的最大值．
本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
22.【答案】解：(1)f1(x)=sin(43x+π2)是M函数，证明如下：
因为f1(x)=sin(43x+π2)=cs43x，又f1(3π2−x)=cs43(3π2−x)=cs(2π−43x)=cs43x，f1(3π2+x)=s43(3π2+x)=cs(2π+43x)=cs43x，
所以f1(x)=f1(3π2−x)=f1(3π2+x)，故f1(x)=sin(43x+π2)是M函数，
f2(x)=|tan23x|是M函数，证明如下：
因为f2(3π2−x)=|tan23(3π2−x)|=|tan(π−23x)|=|−tan23x|=|tan23x|，f2(3π2+x)=|tan23(3π2+x)|=|tan(π+23x)|=|tan23x|，
所以f2(x)=f2(3π2−x)=f2(3π2+x)，故f2(x)=|tan23x|是M函数．
(2)因为f(x)=f(3π2+x)，所以函数f(x)的周期为T=3π2，又f(x)=f(3π2−x)，所以函数f(x)关于直线x=3π4对称，
因为x∈[32π,3π]时，所以x−3π2∈[0,3π2]，
当x−3π2∈[0,3π4]，即x∈[3π2,9π4]时，f(x)=f(x−3π2)=sin(x−3π2)=csx，
当x−3π2∈[3π4,3π2]，即x∈[9π4,3π]时，f(x)=f(x−3π2)=f[3π2−(x−3π2)]=f(3π−x)，
又x∈[9π4,3π]时，3π−x∈[0,3π4]，所以f(x)=f(x−3π2)=f[3π2−(x−3π2)]=f(3π−x)=sin(3π−x)=sinx，
综上，f(x)在[32π,3π]上的解析式为f(x)=csx,x∈[3π2,9π4]sinx,x∈[9π4,3π]；
(3)由(2)知，当x∈[3π4,3π2]时，3π2−x∈[0,3π4]，所以f(x)=f(3π2−x)=sin(3π2−x)=−csx，得到f(x)=sinx,x∈[0,3π4]−csx,x∈[3π4,3π2]，
又函数f(x)的周期为T=3π2，所x∈[0,6π]时，f(x)的图像如图，

由图知，当a=0时，f(x)=a有5个解，其和为S=3π2+3π+9π2+6π=15π，
当0当a= 22时，f(x)=a有12个解，由对称知，其和为S=3π4+3π2+9π4+9π2+15π4+15π2+21π4+21π2=36π，
当 22当a=1时，f(x)=a有8个解，由对称知，其和为S=π2+π+2π+5π2+7π2+4π+5π+11π2=24π，
综上，方程所有解的和S=15π,a=024π,0【解析】(1)根据题设，直接检验f(x)=f(3π2−x)=f(3π2+x)是否成立，即可判断出结果；
(2)根据条件得出函数f(x)的周期为T=3π2，关于直线x=3π4对称，再根据条件，利用周期性和对称性即可求出结果；
(3)由(2)可得出f(x)=sin,x∈[0,3π4]−csx,x∈[3π4,3π2]，再利用周期性作出x∈[0,6π]的图像，再结合图像即可求出结果．
本题考查了函数与方程的综合运用，难题．