2022-2023学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期末数学试卷及参考答案

这是一份2022-2023学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期末数学试卷及参考答案，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各图表示y是x的函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）一元二次方程x2﹣4x＝5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，5B．0，﹣4，﹣5C．1，﹣4，5D．1，﹣4，﹣5
3．（3分）某校八年级进行了三次1000米跑步测试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差s2分别为＝3.8，＝5.5，＝10，＝6，那么这四名同学跑步成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（ ）
A．60°B．45°C．120°D．135°
5．（3分）下列各组数中，能构成勾股数的是（ ）
A．1，1，B．1，，2C．6，8，10D．5，12，15
6．（3分）已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m的值为（ ）
A．0B．2C．﹣2D．4
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
8．（3分）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A．x（x﹣6）＝864B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864D．x（x+12）＝864
9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A．B．3C．D．
10．（3分）已知，一次函数y1＝mx+n和y2＝﹣x+a的图象交于点A（3，2），且直线y1＝mx+n交x轴于点B（2，0）．则0＜mx+n≤﹣x+a的解集（ ）
A．2＜x≤3B．0＜x≤2C．x≥2D．x≤3
二、填空题（6×3＝18分）
11．（3分）已知正比例函数y＝kx图象经过二、四象限，则k 0．
12．（3分）若方程（m+3）+mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m等于 ．
13．（3分）把直线y＝2x﹣1向上平移2个单位，所得直线的解析式是 ．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝ ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，点E是CD的中点，连接OE，则OE的长度为 ．
16．（3分）一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），点C，D分别是OA，AB的中点，P是OB上一动点．当△DPC周长最小时，点P的坐标为 ．
三、解答题（6+6+6+8+8+9+9+10+10＝72分）
17．（6分）解方程：2x2﹣6x+1＝0．
18．（6分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
19．（6分）已知一次函数的图象经过A（﹣1，3）和B（3，﹣1）两点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积．
20．（8分）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．
（1）试确定a的值及测评成绩的中位数k，a＝ ，k＝ ；
（2）记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值，m＝ ，n＝ ；
（3）在（2）的条件下，若全校共800人，求全校良好及以上的学生人数．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；
（2）若此方程的两根互为倒数，求的值．
22．（9分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，E为CD上一点，连接AE，OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数．
23．（9分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了618年中大促，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某正方形的两个顶点，且该正方形的边均与某条坐标轴平行（含重合），则称P，Q互为“正方形点”（即点P是点Q的“正方形点”，点Q也是点P的“正方形点”）．下图是点P，Q互为“正方形点”的示意图．
（1）已知点A的坐标是（2，3），下列坐标中，与点A互为“正方形点”的坐标是 ．（填序号）
①（1，2）；②（﹣1，5）；③（3，2）．
（2）若点B（1，2）的“正方形点”C在y轴上，求直线BC的表达式；
（3）点D的坐标为（﹣1，0），点M的坐标为（2，m），点N是线段OD上一动点（含端点），若点M，N互为“正方形点”，求m的取值范围．
25．（10分）已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边AD的中点．
（1）如图1，连接BP并延长，与CD的延长线交于点F，问：线段CF上是否存在点Q，使得△PFQ为等腰三角形，若存在，请求出DQ的长，若不存在，请说明理由．
（2）如图2，把矩形ABCD沿直线MN折叠，使点B落在点D上，直线MN与AD、BD、BC的交点分别为M、H、N，求折痕MN的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，以点A为原点，分别以矩形ABCD的两条边AD、AB所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，若点R在x轴上，在平面内是否存在点S，使以R、M、N、S为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图4，若点E为CD边上的一个动点，连结PE，以PE为边向下方作等边△PEG，连结AG，则AG的最小值是 ．（请直接写出答案）
2022-2023学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（10×3＝30分）
1．（3分）下列各图表示y是x的函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定哪个图象是函数图象．
【解答】解：A、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；
B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；
C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；
D、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
2．（3分）一元二次方程x2﹣4x＝5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，5B．0，﹣4，﹣5C．1，﹣4，5D．1，﹣4，﹣5
【分析】一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2称为二次项，a为二次项系数，bx称为一次项，b为一次项系数，c为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，﹣4，﹣5，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2称为二次项，a为二次项系数，bx称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．
3．（3分）某校八年级进行了三次1000米跑步测试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差s2分别为＝3.8，＝5.5，＝10，＝6，那么这四名同学跑步成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为＝3.8，＝5.5，＝10，＝6，方差最小的为甲，
所以这四名同学跑步成绩最稳定的是甲．
故选：A．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（ ）
A．60°B．45°C．120°D．135°
【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠B＝2∠A，
∴3∠A＝180°，
∴∠C＝∠A＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（3分）下列各组数中，能构成勾股数的是（ ）
A．1，1，B．1，，2C．6，8，10D．5，12，15
【分析】根据勾股数的定义进行逐一判定即可：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．
【解答】解：A、∵不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
B、∵不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵62+82＝102，
∴这一组数能构成勾股数，符合题意；
D、∵52+122≠152，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的概念．
6．（3分）已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m的值为（ ）
A．0B．2C．﹣2D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣3m＝1，再把2m2﹣6m表示为2（m2﹣3m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，
∴m2﹣3m＝1，
∴2m2﹣6m＝2（m2﹣3m）＝2×1＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法以及平行四边形的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本项是真命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本项是假命题；
C、平行四边形的对角线互相平分，故本项是假命题；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本项是假命题；
故选：A．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握菱形，矩形以及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
8．（3分）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A．x（x﹣6）＝864B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864D．x（x+12）＝864
【分析】依据它的宽比长少12步．也就是长比宽多12步，设宽为x步，则长为（x+12）步，然后根据长方形面积公式列出方程即可．
【解答】解：依据它的宽比长少12步．也就是长比宽多12步，设宽为x步，则长为（x+12）步，
由题意得，x（x+12）＝864，
故选：D．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】在Rt△BCE中，由BE2＝CE2+BC2，得到x2＝（4﹣x）2+32，即可求解．
【解答】解：设AE＝BE＝x，则CE＝4﹣x，
在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2，
即x2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是翻折变换（折叠问题），明确AE＝BE是本题解题的关键．
10．（3分）已知，一次函数y1＝mx+n和y2＝﹣x+a的图象交于点A（3，2），且直线y1＝mx+n交x轴于点B（2，0）．则0＜mx+n≤﹣x+a的解集（ ）
A．2＜x≤3B．0＜x≤2C．x≥2D．x≤3
【分析】要求0＜mx+n≤﹣x+a说明两个函数必须在x上方，且y2在y1的上方，根据函数图象可直接解答．
【解答】解：由图可知：0＜mx+n≤﹣x+a的解集为：2＜x≤3．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数与不等式的关系，从个函数的大小关系可以从交点处分开分别观察、确定不等式解集是解答本题的关键．
二、填空题（6×3＝18分）
11．（3分）已知正比例函数y＝kx图象经过二、四象限，则k ＜ 0．
【分析】对于正比例函数y＝kx，当k＞0时，函数图象经过一、三象限；当 k＜0时，函数图象经过二、四象限；由此判断即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx图象经过二、四象限，
∴k＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查正比例函数图象的性质，理解正比函数图象的性质与比例系数之间的关系是解题关键．
12．（3分）若方程（m+3）+mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m等于 3 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可得到m2﹣7＝2，并且m+3≠0，即可求得m的值．
【解答】解：∵方程（m+3）+mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，
∴，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
13．（3分）把直线y＝2x﹣1向上平移2个单位，所得直线的解析式是 y＝2x+1 ．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣1向上平移2个单位，所得直线解析式是：y＝2x﹣1+2，即y＝2x+1．
故答案为：y＝2x+1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝ 6 ．
【分析】过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，证明∠BEA＝∠AH′D，由AAS证得△BAE≌△ADH′，得出BE＝AH′，易证四边形AH′HG是平行四边形，得出GH＝AH′，即可得出结果．
【解答】解：过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，如图所示：
∵ABCD是正方形，
∴AG∥H′H，BA＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴∠H′AD+∠AH′D＝90°，
∵GH⊥BE，AH′∥GH，
∴AH′⊥BE，
∴∠H′AD+∠BEA＝90°，
∴∠BEA＝∠AH′D，
在△BAE和△ADH′中，，
∴△BAE≌△ADH′（AAS），
∴BE＝AH′，
∵AG∥H′H，AH′∥GH，
∴四边形AH′HG是平行四边形，
∴GH＝AH′，
∴GH＝BE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，点E是CD的中点，连接OE，则OE的长度为 5 ．
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝10，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，
∴OD＝BD＝6，OC＝AC＝8，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝＝＝10，
∵点E是CD的中点，
∴OE＝CD＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16．（3分）一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），点C，D分别是OA，AB的中点，P是OB上一动点．当△DPC周长最小时，点P的坐标为 （0，1） ．
【分析】作A点关于y中的对称点A′，连接DA′交y轴于点P，此时PD+PC的值最小，根据中点坐标公式求出D、C点的坐标，再求出直线DA′的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可．
【解答】解：如图：作C点关于y中的对称点A′，连接DA′交y轴于点P，此时PD+PC的值最小，
∵DC长为定值，
∴当PD+PC的值最小时，△DPC周长最小，
∵A（2，0），B（0，4），点C，D分别是OA，AB的中点，
∴C（1，0），D（1，2），
∴A′（﹣1，0），
设直线DA′为：y＝kx+b，
把A′（﹣1，0），D（1，2），代入得，
，
解得看k＝1，b＝1，
∴y＝x+1，
令x＝0，
∴y＝1，
∴P（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、最短路线问题，熟练掌握这三个知识点的综合应用，最短路线问题中P点的确定及求出直线DA′的解析式是解题关键．
三、解答题（6+6+6+8+8+9+9+10+10＝72分）
17．（6分）解方程：2x2﹣6x+1＝0．
【分析】观察原方程，可用公式法求解，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
【解答】解：因为a＝2，b＝﹣6，c＝1，（1分）
所以b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×1＝28，（2分）
代入公式，得x＝＝＝＝，（3分）
所以原方程的根为x1＝，x2＝．（每个根各1分）（5分）
【点评】用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；②求出b2﹣4ac的值；
③若b2﹣4ac≥0，则把a、b、c及b2﹣4ac的值代入一元二次方程的求根公式x＝，求出x1、x2；若b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
18．（6分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
【分析】设旗杆在离底部x米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此题得解．
【解答】解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．
∵AB＝x米，AB+AC＝16米，
∴AC＝（16﹣x）米．
在Rt△ABC中，AB＝x米，AC＝（16﹣x）米，BC＝8米，
∴AC2＝AB2+BC2，即（16﹣x）2＝x2+82，
解得：x＝6．
故旗杆在离底部6米的位置断裂．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．
19．（6分）已知一次函数的图象经过A（﹣1，3）和B（3，﹣1）两点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据点的坐标特征求得直线与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】（1）解：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过A（﹣1，3）和B（3，﹣1）两点，
∴，
解得：，
所以这个一次函数为y＝﹣x+2；
（2）解：令x＝0，则y＝2，
∴直线AB与y轴的交点为M（0，2）；令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴的交点为N（2，0）．
∴一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积S△OMN＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
20．（8分）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．
（1）试确定a的值及测评成绩的中位数k，a＝ 5 ，k＝ 91 ；
（2）记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值，m＝ 15 ，n＝ 30 ；
（3）在（2）的条件下，若全校共800人，求全校良好及以上的学生人数．
【分析】（1）根据总人数减去其余人数求出a，根据中位数的定义求出k；
（2）根据合格的人数除以总人数即可求出m，根据优秀人数除以总人数即可求出n；
（3）将800乘以良好及以上的人数百分比即可求解．
【解答】解：（1）a＝20﹣2﹣1﹣3﹣2﹣1﹣3﹣2﹣1＝5；
将20名学生的成绩按照从大到小排列后，第10名和第11名的成绩分别为91分，91分，
∴中位数k＝91，即a＝5，k＝91．
故答案为：5，91；
（2）由题可知，2+1＝3（人），优秀人数为3+2+1＝6（人），
∴3÷20×100%＝15%，6÷20×100%＝30%，
∴m＝15，n＝30．
故答案为：15，30；
（3）800×（55%+30%）＝680（人）；
答：全校良好及以上的学生人数为680人．
【点评】本题考查了条形图、扇形图、中位数和用样本数据估计总体，解题关键是掌握相关概念．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；
（2）若此方程的两根互为倒数，求的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系结合倒数的定义得到x1+x2＝3，x1x2＝1，再由进行求解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣3）＞0，即9﹣4m+12＞0，
∴；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0的两个实数根，x1，x2且互为倒数，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．（9分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，E为CD上一点，连接AE，OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数．
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，得BD＝2OB，再证AC＝BD，即可得出结论；
（2）先证DA＝DE，再证△AOD是等边三角形，得∠ADO＝60°，然后求出∠ODE＝30°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2OB，
∵AC＝2OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，OA＝OD，BD＝2OD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∵BD＝2AD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝60°，
∴∠ODE＝∠ADC﹣∠ADO＝90°﹣60°＝30°，
∵AD＝DE，AD＝OD，
∴DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝（180°﹣∠ODE）＝×（180°﹣30°）＝75°．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23．（9分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了618年中大促，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）利用当天销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可求出当天可获利1692元；
（2）设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，利用销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出．
【解答】（1）解：（50﹣3）×（30+2×3）
＝（50﹣3）×（30+6）
＝47×36
＝1692（元）．
答：当天可获利1692元．
（2）设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，
依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25．
又为了尽快减少库存，
∴x＝25．
答：每件商品应降价25元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某正方形的两个顶点，且该正方形的边均与某条坐标轴平行（含重合），则称P，Q互为“正方形点”（即点P是点Q的“正方形点”，点Q也是点P的“正方形点”）．下图是点P，Q互为“正方形点”的示意图．
（1）已知点A的坐标是（2，3），下列坐标中，与点A互为“正方形点”的坐标是 ①③ ．（填序号）
①（1，2）；②（﹣1，5）；③（3，2）．
（2）若点B（1，2）的“正方形点”C在y轴上，求直线BC的表达式；
（3）点D的坐标为（﹣1，0），点M的坐标为（2，m），点N是线段OD上一动点（含端点），若点M，N互为“正方形点”，求m的取值范围．
【分析】（1）根据正方形的性质可得出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，对照①②③的坐标即可得出结论；
（2）由点B的坐标结合互为“正方形点”的坐标特征，即可得出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线BC的表达式；
（3）过点O、D分别作与x轴夹角为45°的直线，找出点O、D对应的“正方形点”的坐标，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P（x1，y1）、点Q（x2，y2）互为“正方形点”，
∴|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．
∵|2﹣1|＝|3﹣2|，|﹣1﹣2|≠|5﹣3|，|3﹣2|＝|2﹣3|，
∴与点A互为“正方形点”的坐标是①（1，2）；③（3，2）．
故答案为：①③．
（2）∵点B（1，2）的“正方形点”C在y轴上，
∴点C的坐标为（0，1），（0，3），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入y＝kx+b，
或，
解得：或，
∴直线BC的表达式为y＝x+1或y＝﹣x+3．
（3）过点O、D分别作与x轴夹角为45°的直线，如图所示．
∵点M的坐标为（2，m），点N是线段OD上一动点（含端点），点M，N互为“正方形点”，
∴点D的正方形点坐标是（2，3），（2，﹣3），点O的正方形点坐标是（2，2），（2，﹣2），
∴2≤m≤3或﹣3≤m≤﹣2．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、正方形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据正方形的性质找出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|；（2）根据点B的坐标找出点C的坐标；（3）分别找出点O、D的正方形点坐标．
25．（10分）已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边AD的中点．
（1）如图1，连接BP并延长，与CD的延长线交于点F，问：线段CF上是否存在点Q，使得△PFQ为等腰三角形，若存在，请求出DQ的长，若不存在，请说明理由．
（2）如图2，把矩形ABCD沿直线MN折叠，使点B落在点D上，直线MN与AD、BD、BC的交点分别为M、H、N，求折痕MN的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，以点A为原点，分别以矩形ABCD的两条边AD、AB所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，若点R在x轴上，在平面内是否存在点S，使以R、M、N、S为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图4，若点E为CD边上的一个动点，连结PE，以PE为边向下方作等边△PEG，连结AG，则AG的最小值是 ．（请直接写出答案）
【分析】（1）首先求出PB＝5，再利用全等三角形的性质证明PF＝BP＝5，DF＝AB＝4，分三种情形求解即可．
（2）如图2中，连接BM．设MD＝MB＝x，则有x2＝42+（6﹣x）2，求出x，再利用相似三角形的性质求出MH，再证明MH＝HN，即可解决问题．
（3）分四种情形：①当四边形MNS1R1是菱形时，②当四边形MNR2S2是菱形时，③当四边形MS3NR3是菱形时，④当四边形MNS4R4是菱形时，分别利用菱形的性质求解即可．
（4）如图4中，以PD为边向下作等边△PDT，连接GT，延长GT交AD的延长线于R．证明△PDE≌△PTG（SAS），推出∠PDE＝∠PTG＝90°，推出点G在射线RT上运动，推出当AG⊥RG时，AG的值最小．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠PDF＝90°，
∵AP＝PD＝3，AB＝4，
∴PB＝＝＝5，
∵∠APB＝∠FPD，PA＝PD，∠A＝∠PDF，
∴△BAP≌△FDP（ASA），
∴AB＝DF＝4，BP＝BF＝5，
当Q1F＝Q1P时，过点Q1作Q1H⊥PF于H，设Q1F＝Q1P＝x，
则有x2＝32+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴DQ1＝4﹣＝，
当FP＝FQ2＝5时，DQ2＝5﹣4＝1，
当PF＝PQ3时，Q3与C重合，此时DQ3＝4，
综上所述，DQ的值为4或1或．
（2）如图2中，连接BM．
∵MN垂直平分线段BD，
∴MD＝MB，
设MD＝MB＝x，则有x2＝42+（6﹣x）2，
∴x＝，
∵∠MDH＝∠ADB，∠DHM＝∠A＝90°，
∴△DHM∽△DAB，
∴＝，
∴＝，
∴MH＝，
∵AD∥BC，
∴∠MDH＝∠NBH，
∵∠DHM＝∠BHN，DH＝BH，
∴△MDH≌△NBH（AAS），
∴MH＝HN，
∴MN＝2MH＝．
（3）
，
①当四边形MNS1R1是菱形时，∵MS1＝MN＝，BN＝DM＝，
∴BS1＝，
∴S1（，﹣4），
②当四边形MNR2S2是菱形时，N，S2关于AD对称，故S2（，4），
③当四边形MS3NR3是菱形时，S3（0，﹣4），
④当四边形MNS4R4是菱形时，∵NS4＝NM＝，BN＝，
∴BS4＝，
∴S4（，﹣4），
综上所述，满足条件的点S的坐标为、、、（0，﹣4）．
（4）如图4中，以PD为边向下作等边△PDT，连接GT，延长GT交AD的延长线于R．
∵∠DPT＝∠EPG＝60°，
∴∠DPE＝∠TPG，
∵PD＝PT，PE＝PG，
∴△PDE≌△PTG（SAS），
∴∠PDE＝∠PTG＝90°，
∴∠PTR＝90°，
∵∠PTD＝60°，
∴∠DTR＝∠R＝30°，
∴DT＝DR＝DP＝3，
∴∠PTR＝90°，
∴PT⊥TR，
∴点G在射线RT上运动，
∴当AG⊥RG时，AG的值最小，最小值＝AR＝，
故答案为：．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/3 22:23:32；用户：杨老师；邮箱：18674391680；学号：37305232成绩/分
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