2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，博才实验中学积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A．有症状早就医 B．防控疫情我们在一起
C．打喷嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通风
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2﹣2＝﹣4 B．4a2﹣3a2＝a2
C．（﹣a3）2＝﹣a5 D．（﹣a2b）2＝﹣a4b2
3．（3分）下列无理数中，在﹣2与1之间的是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．（3分）下列式子能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.00000105m，该数值用科学记数法表示为（　　）
A．1.05×105 B．0.105×10﹣5 C．1.05×10﹣6 D．105×10﹣7
6．（3分）若x2﹣8x+k是完全平方式，则k的值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．（3分）若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝3，b＝5，c＝4
C．a＝4，b＝8，c＝9 D．a＝9，b＝40，c＝41
8．（3分）如图，∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，可证明△ABC≌△BAD，可使用全等三角形的判定定理（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
9．（3分）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
10．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4
11．（3分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠GAH＝60°，④GD＝GH．则其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）当x＝　 　，分式的值为零．
14．（3分）分解因式3x2﹣27y2＝　 　．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　 　cm．

16．（3分）若，则分式的值为　 　．
三、解答题：
17．（8分）计算：
①（2﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2021；
②（+）（﹣）+÷．
18．（5分）先化简，再求值：（x﹣1）2+（3x4+2x3）÷x2，其中x＝．
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
20．（8分）如图，在等腰直角△ABC和等腰直角△ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长．

21．（8分）已知关于x的分式方程+＝
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求m的值．
22．（8分）永兴冰糖橙是湖南省永兴县特产，中国地理标志产品，眼下，正值永兴冰糖橙销售旺季，某商家看准商机，第一次用4800元购进一批永兴冰糖橙，销售良好，于是第二次又用12000元购进一批永兴冰糖橙，但此时进价比第一次涨了2元，所购进的数量恰好是第一次购进数量的两倍．
（1）求第一次购进永兴冰糖橙的进价；
（2）实际销售中，两次售价均相同，在销售过程中，由于消费者挑选后，果品下降，第一批永兴冰糖橙的最后100千克八折售出，第二批永兴冰糖橙的最后800千克九折售出，若售完这两批永兴冰糖橙的获利不低于8700元，则售价至少为多少元？
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB中点，点E为边AC上运动，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边△DEF，连接BF．
（1）求证：△BCD为等边三角形；
（2）求∠DBF的度数；
（3）当∠CDE＝30°时，若CE＝2，求AB的长．

24．（10分）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．
例如：计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i+i2+i3+…+i2021＝　 　；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；
（3）已知a+bi＝（a，b为实数），求+的最小值．
25．（10分）如图，已知点A（a，0），点C（0，b），其中a、b满足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四边形OABC为长方形，将长方形OABC沿直线AC对折，点B与点B′对应，连接点CB′交x轴于点D．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求OD的长；
（3）E是直线AC上一个动点，F是y轴上一个动点，求△DEF周长的最小值．


2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，博才实验中学积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A．有症状早就医 B．防控疫情我们在一起
C．打喷嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通风
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2﹣2＝﹣4 B．4a2﹣3a2＝a2
C．（﹣a3）2＝﹣a5 D．（﹣a2b）2＝﹣a4b2
【分析】根据负整数指数幂法则计算判断选项A；根据合并同类项法则判断选项B；根据幂的乘方和积的乘方法则判断选项C、D即可．
【解答】解：A、2﹣2＝，本选项计算错误，不符合题意；
B、4a2﹣3a2＝a2，本选项计算正确，符合题意；
C、（﹣a3）2＝a6，本选项计算错误，不符合题意；
D、（﹣a2b）2＝a4b2，本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列无理数中，在﹣2与1之间的是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据无理数的定义进行估算解答即可．
【解答】解：A.，不成立；
B．﹣2，成立；
C.，不成立；
D.，不成立，
故选：B．
4．（3分）下列式子能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；
B、＝2，不能与合并，不符合题意；
C、＝，不能与合并，不符合题意；
D、＝，不能与合并，不符合题意；
故选：A．
5．（3分）“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.00000105m，该数值用科学记数法表示为（　　）
A．1.05×105 B．0.105×10﹣5 C．1.05×10﹣6 D．105×10﹣7
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000105＝1.05×10﹣6．
故选：C．
6．（3分）若x2﹣8x+k是完全平方式，则k的值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】根据完全平方式得出k＝42，再求出答案即可．
【解答】解：∵x2﹣8x+k是完全平方式，
∴k＝42＝16，
故选：C．
7．（3分）若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝3，b＝5，c＝4
C．a＝4，b＝8，c＝9 D．a＝9，b＝40，c＝41
【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、82+152＝172，能构成直角三角形；
B、32+42＝52，能构成直角三角形；
C、42+82≠92，不能构成直角三角形；
D、92+402＝412，能构成直角三角形．
故选：C．
8．（3分）如图，∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，可证明△ABC≌△BAD，可使用全等三角形的判定定理（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】根据全等三角形的判定方法AAS可得出答案．
【解答】解：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）．
故选：C．
9．（3分）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
【分析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．

10．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．
【解答】解：连接BD，

∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°．
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴AD＝BD，DE⊥AB，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝2，
∴BD＝2CD＝4，
∴AD＝4．
故选：D．
11．（3分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
×2＝，
故选：A．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠GAH＝60°，④GD＝GH．则其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据四边形AEDF的内角和为360°，计算∠EDF便可判断①的结论的正确与与否；
②连接BD、CD，根据垂直平分线的性质得HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，进而由等腰三角形的性质得结论∠DAH＝∠DAG，从而得出②的结论正确与否；
③证明∠BAH+∠DAF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，∠BAH＝∠ADF，即可判断③的结论是否正确；
④由∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，当AB≠AC时，∠B≠∠C，∠DHG≠∠DGH≠60°，此时GD≠GH，由此判断④的结论正确与否．
【解答】解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EDF＝360°﹣∠AED﹣∠AFD﹣∠BAC＝60°，
∴①的结论正确；
②连接BD、CD，如图，
∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，
∴∠ABH＝∠BAH，∠ACG＝∠CAG，∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠DBC，
∴∠DAH＝∠DBH＝∠DCG＝∠DAG
∴AD平分∠HAG，
∴②的结论正确；
③∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴HB＝HA，GA＝GC，
∴∠HBA＝∠HAB，∠GAC＝∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC＝60°，
∴∠HAG＝60°，
∴③的结论正确；
④∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，
∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，
当AB≠AC时，用∠B≠∠C，
∴∠DHG≠∠DGH，
∴DH≠DG，
∵∠HDG＝60°，
∴△DHG不是等边三角形，
∴GD≠GH，
∴④的结论不正确．
故选：C．

二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）当x＝　2　，分式的值为零．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零，得
x﹣2＝0且x2+1≠0．
解得x＝2，
故答案为：2．
14．（3分）分解因式3x2﹣27y2＝　3（x+3y）（x﹣3y）　．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣9y2）＝3（x+3y）（x﹣3y），
故答案为：3（x+3y）（x﹣3y）
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　16　cm．

【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，据此求出AB的长度是多少即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE；
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，
∴AB＝40﹣24＝16（cm）．
故答案为：16．
16．（3分）若，则分式的值为　1　．
【分析】直接将原式通分运算进而得出y+x＝2xy，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴y+x＝2xy，
则
＝
＝
＝1．
故答案为：1．
三、解答题：
17．（8分）计算：
①（2﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2021；
②（+）（﹣）+÷．
【分析】①先化简零指数幂，绝对值，有理数的乘方，然后再计算；
②先利用平方差公式，二次根式的除法运算法则计算乘除，最后算加减．
【解答】解：①原式＝1+﹣2﹣1
＝﹣2；
②原式＝（）2﹣（）2+
＝6﹣3+
＝3+．
18．（5分）先化简，再求值：（x﹣1）2+（3x4+2x3）÷x2，其中x＝．
【分析】利用完全平方公式，多项式除以单项式的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值计算即可．
【解答】解：（x﹣1）2+（3x4+2x3）÷x2
＝x2﹣2x+1+3x2+x
＝4x2﹣x+1，
当x＝时，
原式＝4×（）2﹣+1
＝1﹣+1
＝．
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：原式＝（）÷
＝
＝，
当x＝3时，
原式＝．
20．（8分）如图，在等腰直角△ABC和等腰直角△ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ACD；
（2）由全等三角形的性质可得CD＝BE＝4，∠ABC＝∠ACD＝45°，利用勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝4，
∵△ABE≌△ACD，
∴CD＝BE＝4，∠ABC＝∠ACD＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
21．（8分）已知关于x的分式方程+＝
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求m的值．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将x＝1或x＝﹣2代入计算，即可求出m的值．
【解答】解：分式方程去分母得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
整理得：（m+1）x＝﹣5．
（1）当m＝4时，（4+1）x＝5，
解得：x＝﹣1
经检验：x＝﹣1是原方程的解．
（2）∵分式方程无解，
∴m+1＝0或（x+2）（x﹣1）＝0，
当m+1＝0时，m＝﹣1；
当（x+2）（x﹣1）＝0时，x＝﹣2或x＝1．
当x＝﹣2时m＝；
当x＝1是m＝﹣6，
∴m＝﹣1或﹣6或时该分式方程无解．
22．（8分）永兴冰糖橙是湖南省永兴县特产，中国地理标志产品，眼下，正值永兴冰糖橙销售旺季，某商家看准商机，第一次用4800元购进一批永兴冰糖橙，销售良好，于是第二次又用12000元购进一批永兴冰糖橙，但此时进价比第一次涨了2元，所购进的数量恰好是第一次购进数量的两倍．
（1）求第一次购进永兴冰糖橙的进价；
（2）实际销售中，两次售价均相同，在销售过程中，由于消费者挑选后，果品下降，第一批永兴冰糖橙的最后100千克八折售出，第二批永兴冰糖橙的最后800千克九折售出，若售完这两批永兴冰糖橙的获利不低于8700元，则售价至少为多少元？
【分析】（1）设第一次购进永兴冰糖橙的进价为x元/千克，则第二次购进奉节脐橙的进价为（x+2）元/千克，根据数量＝总价×单价结合第二次购进的数量恰好是第一次购进数量的两倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据数量＝总价÷单价及第二次购进的数量恰好是第一次购进数量的两倍，即可分别求出第一、二次购进的数量，设售价为y元，根据利润＝销售收入﹣进货总价结合获利不低于8700元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一次购进永兴冰糖橙的进价为x元/千克，根据题意得：
，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，
答：第一次购进永兴冰糖橙的进价为8元/千克．
（2）设售价为y元，根据题意得：
（600﹣100）y+100×0.8y+（1200﹣800）×0.9y﹣4800﹣12000≥8700，
解得：y≥15，
则售价至少为15元．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB中点，点E为边AC上运动，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边△DEF，连接BF．
（1）求证：△BCD为等边三角形；
（2）求∠DBF的度数；
（3）当∠CDE＝30°时，若CE＝2，求AB的长．

【分析】（1）由∠C＝90°、∠A＝30°，可得出AB＝2BC、∠CBD＝60°，结合点D是AB中点，可得出BD＝BC，进而即可得出△BCD为等边三角形；
（2）由（1）可得出∠ECD＝30°，根据∠BDF+∠FDC＝∠EDC+∠FDC＝60°可得出∠BDF＝∠CDE，再结合BD＝CD、DF＝DE即可得出△BDF≌△CDE（SAS），根据全等三角形的性质即可得出∠DBF＝∠DCE＝30°；
（3）由等腰三角形的判定得出CE＝DE＝2，∠DEA＝∠CDE+∠DCE＝60°，得出∠EDA＝90°，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠CBD＝60°．
∵点D是AB中点，
∴BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形．
故答案为：等边三角形．

（2）∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠ECD＝30°．
∵△BDC为等边三角形，
∴BD＝DC，∠BDC＝60°．
又∵△DEF为等边三角形，
∴DF＝DE，∠FDE＝60°，
∴∠BDF+∠FDC＝∠EDC+∠FDC＝60°，
∴∠BDF＝∠CDE．
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠DBF＝∠DCE＝30°．

（3）∵∠CDE＝∠DCE＝30°，
∴CE＝DE＝2，∠DEA＝∠CDE+∠DCE＝60°，
∵∠A＝30°，
∴∠EDA＝90°，
∴AE＝2DE＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴AB＝2AD＝4．
24．（10分）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．
例如：计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　﹣i　，i4＝　1　，i+i2+i3+…+i2021＝　　；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；
（3）已知a+bi＝（a，b为实数），求+的最小值．
【分析】（1）设S＝i+i2+i3+…+i2021，iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，即可求S＝；
（2）根据实数的运算法则运算即可；
（3）分母有理化后求出a＝4，b＝3，则+的最小值可以看作点（x，0）到点A（0，4），B（24，3）的最小距离，而点A（0，4）关于x轴对称的点为A'（0，﹣4），连接A'B即为最短距离．
【解答】解：（1）i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，
i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，
设S＝i+i2+i3+…+i2021，
iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，
∴（1﹣i）S＝i﹣i2022，
∴S＝，
故答案为﹣i，1，；
（2）（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）
＝3﹣4i+3i﹣4i2﹣（4﹣9i2）
＝3﹣i+4﹣4﹣9
＝﹣i﹣6；
（3）a+bi＝＝＝＝4+3i，
∴a＝4，b＝3，
∴+＝+，
∴+的最小值可以看作点（x，0）到点A（0，4），B（24，3）的最小距离，
∵点A（0，4）关于x轴对称的点为A'（0，﹣4），连接A'B即为最短距离，
∴A'B＝＝25，
∴+的最小值为25．
25．（10分）如图，已知点A（a，0），点C（0，b），其中a、b满足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四边形OABC为长方形，将长方形OABC沿直线AC对折，点B与点B′对应，连接点CB′交x轴于点D．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求OD的长；
（3）E是直线AC上一个动点，F是y轴上一个动点，求△DEF周长的最小值．

【分析】（1）根据非负数的性质可得a、b的值，由此可得问题的答案；
（2）根据长方形的性质和折叠的性质可得AB′＝AB＝4，CB′＝CB＝8，∠B′＝∠B＝90°，设OD＝x，CD＝y，根据勾股定理列方程，求解可得答案；
（3）作点D关于y轴对称点为H，作点D关于直线AC对称点G，连接EG，HF，HG，由翻折的性质得D、H、G点的坐标，当点H，F，E，G四点共线时，DE+DF+EF长取得最小值，由此可得答案．
【解答】解：（1）∵|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，
∴|a﹣8|+（b﹣4）2＝0，
∵|a﹣8|≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣8＝0，b﹣4＝0，
∴a＝8，b＝4，
∴A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4）；
（2）∵A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4），
∴OA＝8，OC＝4，
∵四边形OABC为长方形，
∴AB＝OC＝4BC＝OA＝8，∠B＝∠COA＝∠OCB＝∠OAB＝90°，
由折叠性质可知：AB′＝AB＝4，CB′＝CB＝8，∠B′＝∠B＝90°，
设OD＝x，CD＝y，
则AD＝OA﹣OD＝8﹣x，DB′＝CB′﹣CD＝8﹣y，
Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2，即x2+16＝y2①，
Rt△AB′D中，AD2＝B′D2+AB′2，即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+16②，
联立①②式解得：，
∴OD＝3，
故OD的长为3．
（3）如图所示，作点D关于y轴对称点为H，作点D关于直线AC对称点G，连接EG，HF，HG，

∵△ACB′为△ACB沿AC翻折得到，点D在BC上，
∴点D关于AC对称点G在BC上，
由对称性可知：CG＝CD，HF＝DF，
∵OD＝3，CD＝5，
∴D点的坐标为（3，0），由H的坐标为（﹣3，0），
∴CG＝CD＝5，
∴G点的坐标为（5，4），
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝HF+EG+EF≥GH，
当点H，F，E，G四点共线时，DE+DF+EF长取得最小值为：
GH＝＝4，
故△DEF周长的最小值为4．
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日期：2021/8/17 11:18:23；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298