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河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高一下学期第四次月考（6月）数学试题
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这是一份河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高一下学期第四次月考（6月）数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A.B.C.D.
2.如图，，分别为平行四边形边的两个三等分点，分别连接，，并延长交于点，连接，，则（ ）
A.B.C.D.
3.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ）
A.B.4C.D.
4.已知，，，那么，，之间的大小顺序为（ ）
A.B.C.D.
5.已知，，，，则（ ）
A.B.C.D.
6.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①；②与成60°的角；③与是异面直线；④.
其中正确的是（ ）
A.①②B.③④C.②③D.①③
7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A.1B.C.2D.
8.在中，若，为的中点，，则面积的最大值为（ ）
A.B.2C.3D.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9.设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若点的坐标为，且是关于的方程（，）的一个根，则
C.若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D.若复数满足，则的最小值为
11.已知圆锥（是圆锥底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3.若，为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ）
A.圆锥的侧面积为B.面积的最大值为
C.三棱锥体积的最大值为D.圆锥的内切球的表面积为
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知角终边上一点，则的值为______.
13.在锐角中，角，，的对边分别为，，，点是的重心，若，且，则边______.
14.如图，在三棱锥中，为的中点，和均为等腰三角形，且，，.则三棱锥的体积为______.
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
（1）求证：平面；
（2）已知点在上满足平面，求的值.
17.（15分）如图，扇形的圆心角为，半径为1.点是上任一点，设（）.
（1）记，求的表达式；
（2）若，求的取值范围.
18.（17分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面的夹角为，求二面角的大小.
19.（17分）定义有序实数对的“跟随函数”为（）.
（1）记有序数对的“跟随函数”为，若，求的单调增区间；
（2）记有序数对的“跟随函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
（3）已知，若有序数对的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围.
南阳一中高一年级2024年春期第4次月考
数学试题答案
1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 7. A 8. B
9. BCD 10. ABD 11. ACD
12. 13.4 14.
15.解：（1）设，因为，，，
所以，解得或，
所以或
（2）因为与垂直，所以，
即，又，
，所以，
得到，所以，
又，所以.
16.解：（1）证明：连结交于，连结，
因在中，为中点，为中点，则.
又平面，平面，故平面；
（2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，.
因，则，，，四点共面.
又平面，平面平面，
则，四边形为平行四边形，
可得，所以为中点.
又，所以，所以，
所以为的中线，又因为也为的中线，
故点为的重心，所以.
17.解（1）由题意，以为坐标原点，为轴正向建立如图平面直角坐标系，
则，，.
故，所以，
即，
（2）由（1），，即
，
故，解得，其中，
故
，
即，，
故，所以，
故，即的取值范围为.
18.解：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则
由平面侧面，且平面侧面，得平面，
又平面，所以.
因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以.
又，从而侧面，
又侧面，故，
又三棱柱是直三棱柱，则底面，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影
∴即为直线与平面所成的角，则
在等腰直角中，，且点是中点
∴，且，
∴过点作于点，连
由（1）知平面，则，且
∴即为二面角的一个平面角
在直角中：
又，，
∴，且为锐角
∴，即二面角的大小为.
19解：（1）由题意，
又，所以，则的单调增区间为和；
（2）由题意，则，
时，，
时，，
作出函数，的图象，如图，
在和上递增，在和上递减，
，，由图象可知，时，
函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点，
所以的范围是；
（3）由题意，
其中，，
易知，时，，
（），
，同理，
，
，
时，函数是增函数，因此，
从而，即.
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A.B.C.D.
2.如图，，分别为平行四边形边的两个三等分点，分别连接，，并延长交于点，连接，，则（ ）
A.B.C.D.
3.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ）
A.B.4C.D.
4.已知，，，那么，，之间的大小顺序为（ ）
A.B.C.D.
5.已知，，，，则（ ）
A.B.C.D.
6.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①；②与成60°的角；③与是异面直线；④.
其中正确的是（ ）
A.①②B.③④C.②③D.①③
7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A.1B.C.2D.
8.在中，若，为的中点，，则面积的最大值为（ ）
A.B.2C.3D.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9.设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若点的坐标为，且是关于的方程（，）的一个根，则
C.若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D.若复数满足，则的最小值为
11.已知圆锥（是圆锥底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3.若，为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ）
A.圆锥的侧面积为B.面积的最大值为
C.三棱锥体积的最大值为D.圆锥的内切球的表面积为
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知角终边上一点，则的值为______.
13.在锐角中，角，，的对边分别为，，，点是的重心，若，且，则边______.
14.如图，在三棱锥中，为的中点，和均为等腰三角形，且，，.则三棱锥的体积为______.
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
（1）求证：平面；
（2）已知点在上满足平面，求的值.
17.（15分）如图，扇形的圆心角为，半径为1.点是上任一点，设（）.
（1）记，求的表达式；
（2）若，求的取值范围.
18.（17分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面的夹角为，求二面角的大小.
19.（17分）定义有序实数对的“跟随函数”为（）.
（1）记有序数对的“跟随函数”为，若，求的单调增区间；
（2）记有序数对的“跟随函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
（3）已知，若有序数对的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围.
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数学试题答案
1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 7. A 8. B
9. BCD 10. ABD 11. ACD
12. 13.4 14.
15.解：（1）设，因为，，，
所以，解得或，
所以或
（2）因为与垂直，所以，
即，又，
，所以，
得到，所以，
又，所以.
16.解：（1）证明：连结交于，连结，
因在中，为中点，为中点，则.
又平面，平面，故平面；
（2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，.
因，则，，，四点共面.
又平面，平面平面，
则，四边形为平行四边形，
可得，所以为中点.
又，所以，所以，
所以为的中线，又因为也为的中线，
故点为的重心，所以.
17.解（1）由题意，以为坐标原点，为轴正向建立如图平面直角坐标系，
则，，.
故，所以，
即，
（2）由（1），，即
，
故，解得，其中，
故
，
即，，
故，所以，
故，即的取值范围为.
18.解：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则
由平面侧面，且平面侧面，得平面，
又平面，所以.
因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以.
又，从而侧面，
又侧面，故，
又三棱柱是直三棱柱，则底面，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影
∴即为直线与平面所成的角，则
在等腰直角中，，且点是中点
∴，且，
∴过点作于点，连
由（1）知平面，则，且
∴即为二面角的一个平面角
在直角中：
又，，
∴，且为锐角
∴，即二面角的大小为.
19解：（1）由题意，
又，所以，则的单调增区间为和；
（2）由题意，则，
时，，
时，，
作出函数，的图象，如图，
在和上递增，在和上递减，
，，由图象可知，时，
函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点，
所以的范围是；
（3）由题意，
其中，，
易知，时，，
（），
，同理，
，
，
时，函数是增函数，因此，
从而，即.
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