河南省南阳市第一中学2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市第一中学2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试题（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多选遇，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（ ）
A.B.C.D.
2.若点，到直线的距离相等，则（ ）
A.1B.C.1或D.或2
3.如图，在空间四边形中，若向量，，点E，F分别为线段，的中点，则的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.已知椭圆，点P为椭圆上的任一点，则P点到直线：的距离的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
5.若，则下列结论中正确的是（ ）
A.B.
C.D.
6.在的展开式中，项的系数为（ ）
A.299B.300C.D.
7.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课.若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A.216种B.384种C.408种D.432种
8.如图，小明从街道的A出发，选择一条最短路径到达C处，但B处正在维修不通，则不同的路线有（ ）种
A.66B.86C.106D.126
二、多选遇（每题5分，共20分）
9.已知n，，，则（ ）
A.B.
C.D.
10.已知圆与直线相交于C，D两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A.直线过定点B.若，则
C.的最小值为D.的面积的最大值为2
11.已知曲线，其中，则下列结论正确的是（ ）
A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B.若，则曲线的焦点坐标为和
C.若，则曲线的离心率
D.若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为
12.如图，在正方体中，点E，F满足，，且x，y，.记与所成角为，与平面所成角为，则（ ）
A.若，三棱锥的体积为定值
B.若，存在，使得平面
C.，y，，
D.若，则在侧面内必存在一点P，使得
三、填空题（每题5分，共20分）
13.某校安排高二年级（1）~（5）班共5个班去A，B，C，D四个教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高二（1）班被安排到A基地的排法总数为______种.
14.某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有______种.
15.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，则以下命题所有正确的序号是______.
①.A与B互斥②.C与D互为对立事件
③.A与C相互独立④.
16.已知，为椭圆E的左、右焦点，斜率为的直线与椭圆E交于为B、P，若以为直径的圆过点，则椭圆E的离心率为______.
四、解答题（共70分）
17.（10分）三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，第三台出现废品的概率是0.01，加工出来的零件放在一起，已知第一台加工的零件与第二台加工的零件一样多，第三台加工的零件数是总加工零件数的一半.
（1）求任意取出的1个零件是废品的概率；
（2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率.
18.（12分）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79，常数项为.
（1）求n和a的值；
（2）求展开式中系数最大的项.
19.（12分）现有0，1，2，3四个数字可供选用，组成没有重复数字的自然数
（1）把这些自然数从小到大排成一列，1230在其中排第几?
（2）其中的四位数中偶数有多少个?所有这些偶数它们各个数位上的数字之和是多少?
20.（12分）如图1，已知梯形中，，E是边的中点，，，.将沿折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是，的中点.
图1 图2
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）求点P到平面的距离.
21.（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，于点E，，，，，F为线段上的一点.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.
22.（12分）已知椭圆与直线有唯一的公共点M，过点M且与垂直的直线交x轴，y轴于，两点.
（1）求k，m满足的关系式；
（2）当点M运动时，求点的轨迹的方程；
（3）若轨迹与直线交于P，Q两点，O为坐标原点，求面积的最大值.
月考四参考答案
1-5BCBBC 6-8CDB 9.ABD 10.ABD 11.BCD 12.ABC
13.60 14.92 15.②③ 16.
17.【解】（1）设A，表示“第i台机床加工的零件”；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”.
.
（2）
.
18.【详解】（1）由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为
，整理可得，解得，又的展开式的通项为（，1，2，…，12），令，可得，所以，展开式中的常数项为，解得，故，.
（2）由不等式组（，2，3，…，11），解得，
所以，所以展开式中系数最大的项为.
19.【详解】（1）1位自然数有个；2位自然数有个；
3位自然数有个；4位自然数中小于1230的有“10XX”型个，1203共3个；
所以1230是此数列的第项.
（2）四位数偶数有个位是0和个位是2两种情况，
其中个位是0有种；个位不是0有种.所以四位偶数共有10个.
它们各个数位上的数字之和为；
20.【详解】（1）因为图1中，所以图2中，，又，
所以分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，.
因为，，，，平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量，由得
取，则，，所以平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（2）由（1）知是平面的一个法向量，又，
所以点P到平面的距离.
21.【详解】（1）因为，平面平面，平面平面，
且平面，可得平面，
由平面，则，
在中，由余弦定理可得，
即，则，可得，
平面平面，平面平面，平面，
可得平面，由平面，则，，，平面，所以平面.
（2）如图，以A为坐标原点，，分别为y，z轴所在的直线，过A作平行于的直线为x轴所在的直线，建立空间直角坐标系，因为，，可知，，
则，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得，
设，，可知，
即，可得，
若直线与平面所成角的正弦值为，
则，
整理得，解得或（舍去），可知，
所以三棱锥的体积.
22.【详解】（1）由题有得.
由，即，得.
（2）由（1）可得，方程有两个相等的实根，
故，而，所以，
因此，即，
直线，即，
，，，
∴则，
∴轨迹的方程是.
（3）令，，则.
由得，其中，
∴.
∵点O到直线的距离，
∴，
，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
则，.
当，取得最大值，.