[数学]河北省保定市六校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考试题

这是一份[数学]河北省保定市六校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考试题，共4页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。

考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限
2. 已知向量和的夹角为60°， ， ， 则（ ）
A . 15 B . 12 C . 6 D . 3
3. 在中， ， ， ， 则角B的大小为（ ）
A . 90° B . 60° C . 45° D . 30°
4. 平面上三个力 ， ， 作用于一点且处于平衡状态， ， ， 与的夹角为45°，则的大小为（ ）
A . B . 5N C . D .
5. 灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A ， B两点，测得米，在A ， B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°， ， 则灵运塔的高度CD是（ ）
A . 45米 B . 50米 C . 55米 D . 60米
6. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V ， 则四棱锥的体积为（ ）
A . B . C . D .
7. 古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”： ， 其中 ， a ， b ， c别为的三个内角A ， B ， C所对的边，S是的面积，该公式具有轮换对称的特点．在中， ， 且的面积为 ， 则BC边上的中线长度为（ ）
A . B . 4 C . D .
8. 在中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 且 ， ， 则的最小值为（ ）
A . －1 B . C . D .
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。(共3题；共18分)
9. 下列说法正确的是（ ）
A . ， B . 若（a ， ），则 C . 若 ， ， 则的最小值为1 D . 若是关于x的方程（p ， ）的根，则
10. 已知向量 ， ， 则下列说法正确的是（ ）
A . 若 ， 则 B . 的最大值为6 C . 若 ， 则 D . 若 ， 则
11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体（如图2）的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A . 正八面体内切球的表面积为 B . 正八面体外接球的体积为 C . 若点P为棱EB上的动点，则的最小值为 D . 若点Q为棱EB上的动点，MN为正八面体的内切球的直径，则的取值范围为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 若复数为纯虚数，则实数的值为____________________．
13. 已知向量在向量上的投影向量 ， ， 则____________________．
14. 已知a ， b ， c分别为的内角A ， B ， C的对边，且BC边上的高为a ， 则的取值范围为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本大题共5小题，共77分。需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. 如图所示，为四边形OABC的直观图，其中 ， ， ， ．
（1） 画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2） 若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
16. 如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ， ．
（1） 求及AD的长度；
（2） 求BC的长度．
17. 在中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 其中 ， ．
（1） 求角A的大小；
（2） 已知直线AM为的平分线，且与BC交于点M ， 若 ， 求的周长．
18. 如图，在直角梯形OABC中， ， ， ， M为AB上靠近点B的一个三等分点，P为线段BC上的一个动点．
（1） 用和表示；
（2） 设 ， 求的取值范围．
19. 记的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 已知 ， ．
（1） 求角A与a；
（2） 若点O为的所在平面内一点，且满足 ， 求的值；
（3） 若点M为的重心，且 ， 求的面积． 题号
一
二
三
四
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