2022-2023学年河北省保定市六校联盟高一（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年河北省保定市六校联盟高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数满足其中为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量与的方向相反，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，，，则一定是(    )

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形

4.  已知，为实数，为虚数单位是关于的方程的一个根，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设向量与的夹角为，定义已知向量为单位向量，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到如图，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为的截角四面体，则该截角四面体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在锐角三角形中，，，则边上的高的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知向量，满足，且对任意实数，，的最小值为，的最小值为，则(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是(    )

A.
B.
C. 若，则复数对应的点位于第四象限
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线

10.  已知向量，，则下列说法不正确的是(    )

A. 当时，
B. 当时，
C. 与夹角为钝角时，则的取值范围为
D. 当时，在上的投影向量为

11.  如图，已知圆锥的底面圆心为，半径，圆锥的体积为，内切球的球心为，则下列说法正确的是(    )

A. 侧面积为
B. 内切球的表面积为
C. 过点作平面截圆锥的截面面积的最大值为
D. 设母线中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为
 

12.  在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，点满足，且，是外心，则下列判断正确的是(    )

A.  B. 的外接圆半径是
C.  D. 的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知复数，则 ______ ．

14.  有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如图，，，则这块菜地的面积为______ ．

15.  已知点在棱长为的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为______ ．

16.  兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距米的、两观测点，且、与黄河楼底部在同一水平面上，在、两观测点处测得黄河楼顶部的仰角分别为，，并测得，则黄河楼的估计高度为______ 米

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数是虚数单位．
若是纯虚数，求的值和；
设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围．

18.  本小题分
如图，在平行四边形中，．
若，求的值；
若，，求．

19.  本小题分
在中，内角，，所对边的长分别为，，，且满足．
求；
若，，是的中线，求的长．

20.  本小题分
在中，，，分别为内角，，的对边，已知，，且．
求角的值；
若，求周长的取值范围．

21.  本小题分
已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上一点，，点为的中点，且，，三点共线．
求的最小值．
若点满足，证明：．

22.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角；
是的角平分线，若，的面积为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
则．
故选：．
根据已知条件，结合结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为向量与的方向相反，，
所以设，，
所以，
解得，所以．
故选：．
根据共线定理，可得两向量的数乘关系，设出向量坐标，建立方程，可得答案．
本题主要考查向量的模，向量共线的基本定理，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，，
由正弦定理得，，
又，
，解得，
一定是等边三角形，
故选：．
利用余弦定理，结合题意可得答案．
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：为虚数单位是关于的方程的一个根，
为虚数单位也是关于的方程的一个根，
则，，
则，
故选：．
根据实系数方程虚根必共轭，求出另外一个根，利用韦达定理进行求解即可．
本题主要考查复数的基本运算，利用实系数一元二次方程的根任然满足韦达定理进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：向量为单位向量，，，
则，即，解得，即，
．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，求出，再结合新定义，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四面体体积，
因为棱长为的正四面体的高．
则棱长为的正四面体的体积，
所以该截角四面体的体积为．
故选：．
求出棱长为的正四面体的体积结合条件即得．
本题考查了多面体体积的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设的内角，，的对边分别为，，，
则边上的高，
由正弦定理得，
由为锐角三角形，可知，
则，
所以，从而，
因此边上的高的取值范围是
故选：．
先求出的表达式，然后结合正切定理及和差角公式，同角基本关系进行化简，再由正切函数的性质可求．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，正切函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
取，，表示出和，展开利用二次函数的单调性可解得和，即可求解．
【解答】
解：取，，
，
，
，可得．
解得．
则或．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：由两个复数不能进行大小比较可知，A错误；
，故B正确；
，则复数对应的点的坐标为，位于第二象限，故C错误；
已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以，为端点的线段的垂直平分线，故D正确．
故选：．
由两个复数不能进行大小比较判断；利用等比数列的求和公式及复数代数形式的乘除运算判断；求出的坐标判断；由复数模的几何意义判断．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
则，即，解得，故A错误；
当时，
则，解得，故B正确；
当与夹角为钝角时，
则，解得且，
故的取值范围为，故C错误；
，
则，，
故在上的投影向量为，故D错误．
故选：．
对于，结合向量的坐标运算，即可求解；
对于，结合向量垂直的性质，即可求解；
对于，结合平面向量的数量积运算，以及向量共线的性质，即可求解；
对于，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，设圆锥母线为，高为，由半径，体积为，
可得，所以，，
侧面积为故A正确；
由圆锥的内切球球心作，垂足为点，
设，则，由，
即，解得，
所以内切球表面积为，故B正确；
，所以，则，
过点作平面截圆锥的截面面积最大时，对应三角形为等腰直角三角形，故C不正确：
如图，把圆锥的侧面展开一半，点展开到，，，，
由余弦定理，
所以从点沿圆锥表面到的最近路线长为，故D正确．

故选：．
结合圆锥的体积为，底面半径，求得母线，圆锥的高，进而可求侧面积判断；由内接球的性质，结合几何关系和勾股定理即可求解内切球半径，然后求解内切球的表面积判断；由可判断过点作平面截圆锥的截面面积最大时对应三角形为等腰直角三角形，结合面积公式可求解判断；由侧面展开图，结合余弦定理求解判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，由正弦定理得，，，
，，，，故A正确；
设的外接圆半径为，则，，故B不正确；
过作于，在中，，，，，
在中，由余弦定理可得，
，故C正确；
当为的中点时，为直角三角形，且，
此时最大，，故D正确．
故选：．

由正弦定理及条件式求得；再由求得外接圆半径；过作于，先在中求得，再在中，由余弦定理可求得的长；当为的中点时，为直角三角形，且，利用勾股定理求出的长．
本题考查正余弦定理和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，直观图中，，，，
则，
故直观图的面积，
则这块菜地的面积为．
故答案为：．
根据题意，先求出直观图中直角梯形的面积，再利用原图形和直观图面积之间的关系求解．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得正方体外接球的直径，
设点为正方体外接球的球心，则为的中点，
由题意可得，，

由，的最小值为．
故答案为：．
由题意可得正方体外接球的直径，利用，可求的最小值．
本题考查向量的数量积的计算，考查运算求解能力，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，，所以，在，，
所以，即，在中，，，
由余弦定理，，即，
解得或舍去，即黄河楼的估计高度为米．
故答案为：．
根据仰角分别得出，，在中由余弦定理求解即可．
本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

17.【答案】解：，
若是纯虚数，
则，解得，
故，；
，
复数在复平面上对应的点位于第二象限，
则，解得，
故的取值范围为， 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，先对化简，再结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解；
结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：平行四边形中，，，
所以，
若，则，，
所以；
若，，
则


． 

【解析】根据平面向量的线性运算，结合平行四边形的性质，用、表示向量，求出与的值，再求；
根据平面向量的数量积，计算即可．
本题考查了平面向量的数量积与线性运算问题，是中档题．
 

19.【答案】解：因为，
所以，
因为，
所以，
又，
故
由为三角形内角得；
因为，
由余弦定理得，，
因为，
所以，，
因为是的中线，
所以，
所以，
故BD． 

【解析】由已知结合正弦定义，三角形内角和及诱导公式进行化简可求；
由已知结合余弦定理及向量数量积的性质即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式及向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，且．
，
根据正弦定理可得，
即，，
又，；
若，由余弦定理可得：，
，，，
当且仅当时取等号，
，，
周长的取值范围为． 

【解析】由题意得，进而结合正弦定理，余弦定理可得的值，可求角的值；
由余弦定理可求的范围，进而可求周长的取值范围．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

21.【答案】解：中，，，，
所以，
因为，所以，
因为，，三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
证明：因为，，
且，即，
即，
所以，
所以． 

【解析】根据题意，利用三点共线的性质，以及基本不等式，即可求得最小值；
根据题意，结合平面向量的线性运算，以及向量的共线定理，证明即可．
本题主要考查了平面向量的基本定理，以及运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：由正弦定理得，即，
整理得，化简得，
由余弦定理得，又，则；
由面积公式得，解得，
，，
即，，
又，，． 

【解析】利用正弦定理化角为边，并由余弦定理，即可得解；
由，可得，根据角分线可得，可求，可求的值．
本题考查查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，平面向量的线性和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．