山东省菏泽第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省菏泽第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数满足,则( )
A.B.C.D.
2．设m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,下列说法中正确的序号为( )
①若,,则m,n为异面直线
②若,,则
③若,,,则
④若,,,则
A.①②B.②③C.③④D.②④
3．如图,D是边AC的中点,E在BD上,且,则( )
A.B.
C.D.
4．设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的周长为则( )
A.B.C.D.
5．如图所示,在中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若,,则的最小值为( )
A.5B.9C.D.
6．我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,其内容为:“以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”把以上文字写成公式,即(其中S为面积,a,b,c为的三个内角A,B,C所对的边).若,,且,则利用“三斜求积”公式可得的面积( )
A.B.C.D.
7．如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续,设初始正方形的边长为2,则( )
A.0B.4C.5D.6
8．每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病,呼吸道疾病等,给人们造成困扰.为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如下表所示),并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图(如图所示).
由两个统计图可知,选择d的人数和扇形统计图中e的圆心角度数分别为( )
A.500,B.250,C.500,D.250,
二、多项选择题
9．已知复数，，下列结论正确的有( )
A.若，则
B.若，则
C.若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
D.若是关于x的方程的一个根，则
10．在中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则是等腰三角形
D.若为锐角三角形,则
11．化学中经常碰到正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体),如六氟化硫(化学式)､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体(如图1),已知正八面体的(如图2)棱长为2,则( )
A.正八面体的内切球表面积为
B.正八面体的外接球体积为
C.若点P为棱EB上的动点,则的最小值为
D.若点Q为棱AF上的动点,则三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．如图,圆M为的外接圆,,,N为边BC的中点,则______.
13．为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求,天津持续深化改革,创建全国文明城区,城市文明程度显著提升,人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中,中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查,从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果,统计其得分数据,将所得50份数据的得分结果分为6组:,,,,,,并整理得到如下的频率分布直方图,则该小区居民得分的第70百分位数为__________.
14．已知PC是三棱锥外接球的直径,且,,三棱锥体积的最大值为8,则其外接球的表面积为______.
四、解答题
15．如图:已知平面,,.满足,,,
求证:
16．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,.
（1）求A;
（2）若,的面积为,求b,c.
17．庚子新春,“新冠”病毒肆虐,习近平总书记强调要“人民至上､生命至上,果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”,教育部也下发了“停课不停学,停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒,人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动,现从中抽取200名学生,记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图,根据图形,请回答下列问题:
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩,求5人中成绩不高于50分的人数;
（2）以样本估计总体,利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数;
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD,,,,,点为棱的中点.
（1）证明:面APD;
（2）求三棱锥的体积.
19．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面底面ABCD,M是PD的中点.
（1）求证:平面PCD;
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：,
因为,
则.
故选:C.
2．答案：B
解析：对①:因为平面的平行线和平面内的直线可以平行,也可以异面,故①错误;
对②:平行于同一个平面的两个平面平行,故②正确;
对③:先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得,再根据,可得,故③正确;
对④:两直线平行,和这两条直线分别垂直的平面也平行,故④错误.
故选:B
3．答案：A
解析：由题意有,
所以.
故选:A
4．答案：A
解析：由题意可知,
由正弦定理得
即整理得
由余弦定理得
又所以
故选:A.
5．答案：D
解析：因为O是BC的中点,则,
,O,N三点共线,
,
,
当且仅当,即时,等号成立.
故选:D.
6．答案：B
解析：因为,由余弦定理可得,解得,
又因为,由正弦定理可得,且,即,解得,
所以.
故选:B.
7．答案：C
解析：如图,连接,延长交于点M,延长交于点N.
则由题意和图形的对称性,可知,,且,
,
由题意可知,.
故选：C.
8．答案：A
解析：设接受调查市民的总人数为x,
由调查结果条形统计图可知选择a的人数为300,通过调查结果的扇形统计图可知选择a的人数比列为,解得.
选择d的人数为,
扇形统计图中e的圆心角数为.
故选:A
9．答案：BCD
解析：对于A中，若复数，，满足，但两个虚数不能比大小，所以A项错误；
对于B中，若，则，即，
可得或，所以，所以B项正确；
对于C中，由于表示两个复数，在复平面上对应的两点之间的距离，
所以，表示复平面内到点距离为3的点的集合，
所以对应的点的轨迹为圆心在，半径为3的圆，所以C项正确；
对于D中，由是关于x的方程的根，
故，即，
可得，所以，所以D项正确.
故选：BCD.
10．答案：AD
解析：对于A:在中,由正弦定理得,为外接圆的半径,
因为,所以,所以,故A正确;
对于B:在中,由正弦定理得:,(R为外接圆的半径,
因为,所以,所以,所以,故B错误;
对于C:若,由正弦定理可得,
即,
又,所以或,
所以或,
所以为等腰角三角形或直角三角形,故C错误;
对于D:若为锐角三角形,则,,
又正弦函数在为单调增函数,,即,故D项正确.
故选:AD.
11．答案：ACD
解析：对于A项,设该正八面体内切球的半径为r,由内切球的性质可知正八面体的体积,
解得,故它的内切球表面积为,故A项正确;
对于B项,设该正八面体外接球的半径为R,由图知,ABCD是正方形,,
在中,,利用对称性知,故点O为正八面体外接球的球心,则,
所以正八面体外接球的体积为,故项错误;
对于C项,如图,因与是边长为2的全等的正三角形,可将翻折到,使其与共面,从而得到一个菱形.
连接AC与BE相交于点P,此时,,,则取得最小值为,故C项正确;
对于D项,易知,因为平面EBC,平面EBC,所以平面EBC,
所以,故D项正确.
故选:ACD.
12．答案：13
解析：因为N是BC的中点,
所以,
因为M为三角形ABC外接圆圆心,也就是三角形ABC的三边中垂线的交点,
,
同理可得,
.
故答案为:13.
13．答案：84.55
解析：由题意得,
解得,
因为前4组数据的频率之和为,
前5组数据的频率之和为,
则分位数在内,设分位数为x,
则,解得,
所以分位数约为84.55.
故答案为:84.55
14．答案：
解析：如图,因为PC是三棱锥外接球的直径,所以,.
又,,故平面,
因平面,则.又,,所以面,
因平面,故.
于是,三棱锥的体积为.
因(当且仅当时等号成立),所以体积的最大值为,
依题意,解得.因,故,
所以三棱锥的外接球的表面积为:.
故答案为:.
15．答案：证明见解析.
解析：证明:设,,
在平面内取一点A,过A作于B,过A作于C.
,且,
又,,,,
又,,
同理可证,
又,且,
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据正弦定理,
变为,即,
也即,
所以.
整理,得,即,所以,,
所以,则.
（2）由,,得.
由余弦定理,得,
则,所以.则.
17．答案：（1）2
（2）,
解析：（1）由,
得,
因为(人),(人),
所以不高于50分的抽取(人).
（2）平均数
,
因为在内共有人,
在内共有人,
所以中位数位于内,
则中位数为.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明:取PD中点F,连接AF,EF,
E,F分别是PC,PD的,,,而,,
故,,,,
四边形ABEF是平行四边形,,
又平面PAD,平面PAD,平面PAD.
（2）因为,,,,故,
底面,,则三棱锥P-BDC的高为2,
则.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证法一:
在正方形ABCD中,
又侧面底面ABCD,侧面底面,底面ABCD,
所以平面PAD,因为平面PAD,所以,
因为是正三角形,M是PD的中点,所以,
又,CD,平面PCD,所以平面PCD,
证法二:在正方形ABCD中,
又侧面底面ABCD,侧面PAD交底面ABCD于AD,所以平面PAD,
又平面PCD,故平面平面PAD,
是正三角形,M是PD的中点,所以
又平面PCD交平面PAD于PD,平面PAD,故平面PCD.
（2）取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF,
则,,因为,所以,
又在正中,,
因为,EF,平面PEF,平面PEF,
正方形中,,平面PEF,
所以是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角,
因为平面PAD,,所以平面PAD,
因为平面PAD,所以,
设正方形ABCD的边长,则,,
所以,所以,
即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为.
治理杨絮——您选哪一项?(单选)
a.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量
b.调整树种结构,逐渐更换现有杨树
c.选育无絮杨品种,并推广种植
d.对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮
e.其他