专题1.8一元二次方程的应用：增长率问题（重难点培优）-【讲练课堂】【苏科版】（原卷版+解析版）

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【名师点睛】
一、列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
一、列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
二、增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．
【典例剖析】
【例1】（2022•从化区一模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
【分析】（1）设月平均增长率为x，利用2021年12月的销量＝2021年10月的销量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2022年1月的销量＝2021年12月的销量×（1+月平均增长率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．
【解析】（1）设月平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1 （不合题意，舍去）．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件）．
答：2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．
【变式】（2022•建湖县一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20%，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．
（1）求3月初该商品下跌后的价格；
（2）若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．
【分析】（1）设3月初该商品的原价为x元/件，则3月初该商品下跌后的价格为（1﹣20%）x元/件，利用数量＝总价÷单价，结合价格下跌后用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（1﹣20%）x中即可求出结论；
（2）设该商品价格的平均涨价率为y，利用经过两次涨价后的价格＝3月初该商品下跌后的价格×（1+平均涨价率）2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】（1）设3月初该商品的原价为x元/件，则3月初该商品下跌后的价格为（1﹣20%）x元/件，
依题意得：﹣＝25，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴（1﹣20%）x＝（1﹣20%）×30＝24．
答：3月初该商品下跌后的价格为24元/件．
（2）设该商品价格的平均涨价率为y，
依题意得：24（1+y）2＝29.04，
解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该商品价格的平均降价率为10%．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•常州期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（ ）
A．200（1+x）＝288B．200（1+2x）＝288
C．200（1+x）2＝288D．200（1+x2）＝288
【分析】根据从5月份到7月份销售量的月增长率相同，根据5月份销售200个，7月份销售288个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设月增长率为x，
根据题意得，200（1+x）2＝288，
故选：C．
2．（2022•盐城二模）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+2x）＝484B．400（1+x）2＝484
C．400（1+x）＝484D．400（1+x2）＝484
【分析】可先用x的代数式表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝484，把相应数值代入即可求解．
【解析】第一年的产量为400（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为400（1+x）（1+x），
则列出的方程是400（1+x）2＝484．
故选：B．
3．（2022•常州模拟）香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克，售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
【分析】设这种香水梨的售价上涨了x元，则每千克的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）千克，利用每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设这种香水梨的售价上涨了x元，则每千克的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）千克，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408．
故选：B．
4．（2022•吴中区模拟）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21C．D．
【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛21场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意得：x（x﹣1）＝21，
故选：D．
5．（2021秋•江城区期末）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
【分析】直接利用已知分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案．
【解析】若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程为：
5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000．
故选：D．
6．（2021秋•密山市校级期末）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（ ）
A．500（1+2x）＝720B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720D．720（1+2x）2＝500
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．
【解析】设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）2＝720；
故选：B．
7．（2022•青羊区模拟）某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（ ）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
【分析】根据该快递公司今年一月份及第一季度完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1．
故选：D．
8．（2021秋•无锡期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，若平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．60（1+x）＝48.6B．60（1﹣x）＝48.6
C．60（1+x）2＝48.6D．60（1﹣x）2＝48.6
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程．
【解析】设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：60（1﹣x）2＝48.6，
故选：D．
9．（2021秋•樊城区期末）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的500万元，连续两个月降至380万元，设平均下降率为x，则可列方程（ ）
A．500（1﹣x）2＝380B．500（1﹣x）＝380
C．500（1﹣2x）＝380D．500（1+x）2＝380
【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
【解析】依题意，得：500（1﹣x）2＝380．
故选：A．
10．（2021秋•梅里斯区期末）某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．50（1﹣x）2＝70B．50（1+x）2＝70
C．70（1﹣x）2＝50D．70（1+x）2＝50
【分析】2019年的产量＝2017年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解析】2018年的产量为50（1+x），
2019年的产量为50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
即所列的方程为50（1+x）2＝70．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（2021秋•鼓楼区校级期末）某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同．设平均每次降价的百分率是x，可列方程为 100（1﹣x）2＝81 ．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程．
【解析】根据题意得：100（1﹣x）2＝81．
故答案是：100（1﹣x）2＝81．
12．（2022•泗洪县一模）某工厂两年内产值翻了一番，则该工厂产值年平均增长的百分率等于 41.4% ．（结果精确到0.1%，参考数据：≈1.414，≈1.732．）
【分析】设该工厂产值年平均增长的百分率为x，利用两年后的产值＝原产值×（1+年平均增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设该工厂产值年平均增长的百分率为x，
依题意得：（1+x）2＝2，
解得：x1＝﹣1≈0.414＝41.4%，x2＝﹣﹣1≈﹣2.414（不合题意，舍去），
∴该工厂产值年平均增长的百分率约为41.4%．
故答案为：41.4%．
13．（2022•市中区二模）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 10% ．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入教育经费是2000（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2022年的教育经费数额，即可列出方程求解．
【解析】设年平均增长率为x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2420，
解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
即：年平均增长率为10%．
故答案是：10%．
14．（2021秋•广陵区期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方程为 500（1+x）2＝720 ．
【分析】利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意得：500（1+x）2＝720．
故答案是：500（1+x）2＝720．
15．（2021秋•高邮市期末）无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照的人数从2.44万人增加到6.72万人．若设2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 2.44（1+x）2＝6.72 ．
【分析】利用2021年底全国拥有民用无人机驾驶执照的人数＝2019年底全国拥有民用无人机驾驶执照的人数×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意得：2.44（1+x）2＝6.72．
故答案为：2.44（1+x）2＝6.72．
16．（2021秋•泰兴市期末）某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的10万辆增长到3月份的12.1万辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为 10% ．
【分析】设从1月份到3月份的月平均增长率为x，根据国产品牌的新能源汽车1月份及3月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设从1月份到3月份的月平均增长率为x，
根据题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
故答案是：10%．
17．（2021秋•泗阳县期末）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元．则二月份、三月份营业额的平均增长率为 20% ．
【分析】利用关系式：一月份的营业额×（1+增长率）2＝三月份的营业额，设出未知数列出方程解答即可．
【解析】设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2＝288，
解得：x1＝﹣2.2（不合题意舍去），x2＝0.2，
答：每月的平均增长率为20%．
故答案是：20%．
18．（2021秋•镇江期末）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为80（1﹣x）2＝51.2．类似的，一种药品经过n次降价，药价从每盒a元下调至b元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 a（1﹣x）n＝b ．
【分析】利用经过n次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）n，即可得出关于x的一元n次方程，此题得解．
【解析】依题意得：a（1﹣x）n＝b．
故答案为：a（1﹣x）n＝b．
三．解答题（共4小题）
19．（2020秋•泰兴市期末）据调查，我市某企业2018年生产某品牌产品100万个，到2020年该品牌产品的年产量达到169万个．
（1）求该品牌产品的年平均增长率；
（2）若该品牌产品的年平均增长率保持不变，请你预测该品牌产品2021年的年产量．
【分析】（1）设该品牌产品的年平均增长率为x，根据该企业2018年及2020年生产该品牌产品的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该品牌产品2021年的年产量＝该品牌产品2020年的年产量×（1+增长率），即可求出结论．
【解析】（1）设该品牌产品的年平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：该品牌产品的年平均增长率为30%．
（2）169×（1+30%）＝219.7（万个）．
答：该品牌产品2021年的年产量为219.7万个．
20．（2020•南漳县模拟）为了创建全国文明城市，提升城市品质，某市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，该市2017年的绿色建筑面积为950万平方米，2019年达到了1862万平方米．若2018年，2019年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：
（1）求2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）若该市2020年计划推行绿色建筑面积达到2600万平方米，如果2020年仍保持相同年平均增长率，请你预测2020年该市能否完成目标．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）根据（1）中的增长率可以求得实际到2020年绿色建筑的面积，然后与计划的作比较，即可解答本题．
【解析】（1）设2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率为x，
根据题意得，950（1+x）2＝1862，
解得x1＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．
故2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率为40%；
（2）1862×（1+40%）＝2606.8（万平方米），
∵2606.8＞2600，
∴2020年该市能完成目标．
21．（2021秋•聊城期末）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，
依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，
解得：m1＝4，m2＝25．
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
22．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．
【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．