专题1.7判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优）-【数学讲练课堂】【苏科版】（原卷版+解析版）

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一.根的判别式
二.根与系数的关系
【典例剖析】
【例1】（2021秋•靖江市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+2n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n＞﹣3，方程的根都是整数，求n的值．
【分析】（1）先根据方程有两个实数根得出Δ＝（﹣2）2﹣4×2n＞0，解之可得n的取值范围；
（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值．
【解答】解：（1）根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×2n＞0，
解得n＜；
（2）由原方程，得
（x﹣1）2＝2n+1，
解得x＝1±，
∵方程的两个实数根都是整数，且﹣3＜n＜，不是负数，
∴0＜1﹣2n＜7，且1﹣2n是完全平方数，
∴1﹣2n＝1或1﹣2n＝4，
解得n＝0或n＝﹣．
【变式】（2021秋•泗阳县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣6）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣4，x2＝2，则m﹣4＜0，从而得到正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（2m﹣8）
＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：x＝＝，
∴x1＝m﹣4，x2＝2，
∵方程有一个根是负整数，
∴m﹣4＜0，
∴正整数m的值为1或2或3．
【例2】（2021秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．
【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把（x1﹣x2）2转化成（x1+x2）2﹣4x1x2，再代入求解即可．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．
∵无论m为任何实数，（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0．
∴无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x1﹣x2＝2可得（x1﹣x2）2＝4，
∵x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝2m﹣1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8，
即m2﹣4m+8＝4，
解得m1＝m2＝2，
答：当x1﹣x2＝2时，m的值是2．
【变式】（2021春•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．
【分析】（1）先计算出Δ＝（k﹣1）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝k+3，x1x2＝2k+2，由x1+x2﹣3x1x2＝2得出k+3﹣3（2k+2）＝2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k+3，x1x2＝2k+2，
∵x1+x2﹣3x1x2＝2，
∴k+3﹣3（2k+2）＝2，
解得：k＝1．
故k的值是1．
【满分训练】
一．解答题（共20小题）
1．（2021秋•无锡期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+4（m﹣2）＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣6）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用根的判别式的意义得到Δ＝（m﹣6）2＝0，则可得到m＝6，此时方程为x2﹣8x+16＝0，然后利用配方法解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣16（m﹣2）
＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（m﹣6）2＝0，
解得m＝6，
此时方程为x2﹣8x+16＝0，
∴（x﹣4）2＝0，
∴x1＝x2＝4．
2．（2021秋•镇江期末）已知关于x的方程（k+2）x|k|+（2k﹣3）x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）请你给出m的一个值，使得这个方程的两个根都是有理数，并求出这两个根．
【分析】（1）先根据一元二次方程的定义得到k+2≠0且|k|＝2，解得k＝2，原方程化为4x2+x+m＝0，然后根据根的判别式的意义得到Δ＝1−16m＞0，再解不等式即可；
（2）取m＝0，则Δ＝1，方程变形为4x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得k+2≠0且|k|＝2，
解得k＝2，
原方程化为4x2+x+m＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1−16m＞0，
解得m＜，
即实数m的取值范围为m＜；
（2）取m＝0，则方程变形为4x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣．
3．（2021秋•海陵区期末）已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣4＝0．
（1）求证：不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为﹣4，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝16＞0，进而可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x＝﹣4代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可求出k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣4）＝4k2﹣4k2+16＝16＞0，
∴不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝﹣4代入原方程得：16﹣8k+k2﹣4＝0，
则k2﹣8k+12＝0
解得k＝2或6，
∴，k的值为2或6．
4．（2021秋•广陵区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．
求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【分析】表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根．
【解答】证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4m＝m2+6m+9﹣4m＝m2+2m+9＝（m+1）2+10，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+10＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．
5．（2022•西城区校级模拟）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根﹣1，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝36＞0，由此即可证出；
（2）根据方程的解列出关于m的方程，解方程可得出答案．
【解答】（1）证明：Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝36＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝﹣1代入原方程，得4m2+4m﹣8＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣2．
6．（2022•肇东市校级三模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两根为不相等的整数，求整数m的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出答案；
（2）利用因式分解法解方程可得出x1＝1，x2＝，由此方程的两根为不相等的整数即可得出为不等于1的整数，结合m为整数即可求出m值．
【解答】解：（1）由题意可知：m≠0时，
Δ＝（m+2）2﹣8m
＝m2+4m+4﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∴△≥0，
故不论m为何值时，方程总有两个实数根；
（2）由题意可知：Δ＞0，
∴m≠2，
∵mx2﹣（m+2）x+2＝0，
∴（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
∴x＝1或x＝，
∵方程有两个不相等的整数根，
∴m＝±1或m＝﹣2，
∴整数m的值为1或﹣1或﹣2．
7．（2022•南京二模）已知关于x的方程x2+2mx+n＝0（m、n是常数）有两个相等的实数根．
（1）求证：m2＝n；
（2）求证：m+n≥﹣．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4n＝0，然后整理得到结论；
（2）利用（1）中结论用m表示n，再进行配方得到m+n＝（m+）2﹣，然后利用非负数的性质得到结论．
【解答】证明：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4n＝0，
∴4m2﹣4n＝0，
∴m2＝n；
（3）把n＝m2代入m+n得m+n＝m+m2，
∵m+m2＝m2+m+﹣
＝（m+）2﹣，
而（m+）2≥0，
∴m+n≥﹣．
8．（2021秋•潜江期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝36+4k2≥36，由此即可证出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝6，结合x1+2x2＝14即可求出方程的两个根，再将其中一个根代入原方程中即可求出k的值．
【解答】解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝6，
∵x1+2x2＝14，
∴x2＝8，x1＝﹣2．
将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，
解得：k＝±4．
答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．
9．（2021秋•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣2）2≥0，进而可证出：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）将x＝1代入原方程可求出m的值，再利用两根之积等于，即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m．
∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：将x＝1代入原方程得：1﹣（m+2）+2m＝0，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣3x+2＝0．
∵2÷1＝2，
∴方程的另一个根为2．
10．（2020秋•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式可得4+4k＞0，解不等式可求k的取值；
（2）根据k＞﹣1，且k是最小整数，那么可知k＝0，再把k＝0代入原方程，解关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：（1）∵方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴Δ＝4﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1；
（2）∵k＞﹣1，且k是最小整数，
∴k＝0，
把k＝0代入原方程，可得x2+2x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2．
11．（2020秋•盐城期末）已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝m2﹣2m+1，配方得Δ＝（m﹣1）2，再根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论．
（2）利用判别式的定义得到Δ＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，解m的方程，再利用一元二次方程的定义确定m＝2．
【解答】（1）证明：①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；
②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
∵Δ＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，
∴无论m为任何实数，方程总有实根．
（2）解：由题意得，Δ＝（m﹣1）2＝1，
解得m1＝0，m2＝2，
而m≠0，
∴m＝2．
12．（2020秋•秦淮区期末）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根在数轴上所对应的点关于原点对称，则m的值为 0 ．
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣1）
＝4m2﹣4m2+4
＝4＞0，
∴不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）∵该方程的两个实数根在数轴上所对应的点关于原点对称，
∴﹣2m＝0，
解得：m＝0，
故答案为：0．
13．（2020秋•泰兴市期末）已知关于x的方程kx2+（2k+3）x+k+1＝0．
（1）若x＝1是该方程的根，求k的值；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）把﹣1代入方程求解即可；
（2）根据根的判别式计算即可．
【解答】解：（1）把x＝1代入该方程得k+2k+3+k+1＝0，解得k＝﹣1；
（2）分两种情况讨论：
①当k＝0时，原方程可化为3x+1＝0，解得，
与“该方程有两个不相等的实数根”矛盾，不合题意，应舍去；
②当k≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即，解得．
综上所述，k的取值范围是且k≠0．
14．（2021•江西模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为 ﹣1 ．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，从而可以求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和x1+x2﹣2x1x2＝2，可以求得k的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2，
即k的取值范围是k＜2；
（2）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
∵x1+x2﹣2x1x2＝2，
∴﹣2﹣2（k﹣1）＝2，
∴k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（2020秋•来宾期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【分析】（1）根据根的判别式判断可得；
（2）将x＝1代入原方程求出a的值，将a代入原方程可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，
解得a＝，
将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，
即（x﹣1）（2x+3）＝0，
解得x＝1或x＝﹣，
∴该方程的另一个根﹣．
16．（2021春•响水县校级期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．
【分析】（1）根据方程的根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系及（x1+1）（x2+1）＝4，即可得出关于k的分式方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
∴k﹣1≠0，Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，
∴k≥﹣3且k≠1．
（2）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．
∵（x1+1）（x2+1）＝4，
∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即﹣+1＝4，
整理，得：k﹣1＝1，
解得：k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，
∴k＝2．
17．（2021春•蜀山区校级期中）已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值．
【分析】（1）求出m＝2，解方程可得出答案；
（2）两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，则可得出答案．
【解答】解：（1）当x＝0时，0+0+m﹣2＝0
∴m＝2，
∴x2+2x＝0，
∴x＝0或x＝﹣2，
即方程的另一根是﹣2；
（2））∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12＞0，
∴m＜3，
∵m为正整数，
∴m＝1，2．
18．（2021春•天心区期中）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，然后解不等式；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2+1，再由（x1﹣2）（x2﹣2）＝11得到k2+1+4（k﹣1）+4＝11，解方程可得到满足条件的k的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，
解得k≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2+1，
∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＝11，
∴k2+1+4（k﹣1）+4＝11，解得k1＝﹣2+，k2＝﹣2﹣，
∵k≤0，
∴k的值为﹣2﹣．
19．（2022春•拱墅区校级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a＝0，两边同除r2得++1＝0，即可证得x＝是方程②的根；
（3）根据题意b＝0，根据根与系数的关系得到m+n＝0，s+t＝0，从而得到m＝﹣n，s＝﹣t，即可得到ms＝nt，进而求得＝1．
【解答】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得++1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
20．（2021春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式﹣4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
【分析】（1）通过根的判别式△求解．
（2）①通过两根之积与两根之和的关系将﹣4x1x2配方求解．
②把x＝6代入方程求出m，再将m代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x的值．
【解答】解：（1）Δ＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，
∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60＝0，
解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
三角形三边长为10，10，6时三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．