专题1.14第1章 一元二次方程 单元测试（培优提升卷）-【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】（原卷版+解析版）

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注意事项：
本试卷满分100分，试题共26题．选择8道、填空10道、解答8道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022•雨山区校级开学）若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m≠0C．m≤2D．m≠2
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【解析】∵（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2．
故选：D．
2．（2021秋•梁溪区校级期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
【分析】移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项．
【解析】x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
3．（2021秋•梁溪区校级期中）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（ ）
A．x1＝0，x2＝1B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝﹣1D．x2＝﹣1，x2＝1
【分析】根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤解出方程．
【解析】x2﹣x＝0，
因式分解，得x（x﹣1）＝0，
于是，得x＝0，x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1，
故选：A．
4．（2021秋•新北区校级期中）一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则下列c的值符合条件的是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】先根据题意得到Δ＝（﹣4）2﹣4c＞0，再解不等式得到c的范围，然后利用c的范围对各选项进行判断．
【解析】根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4c＞0，
解得c＜4．
故选：D．
5．（2020秋•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解析】把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
6．（2022春•东台市期中）为增强学生体质，丰富学生的课外生活，为同学们搭建一个互相交流的平台，学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，学校计划安排15场比赛．设学校应邀请x个队参赛，根据题意列方程为（ ）
A．x（x+1）＝15B．x（x﹣1）＝15
C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝15
【分析】利用安排比赛的场次数＝邀请参赛的队伍数×（邀请参赛的队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意得：x（x﹣1）＝15．
故选：D．
7．（2022春•靖江市校级期末）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0B．x1•x2＜0
C．x1≠x2D．方程的根有可能为0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1+x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．
【解析】A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1•x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程的根有可能为0，结论D正确，不符合题意．
故选：B．
8．（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【分析】一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，由于关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，于是可判断一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为2020．
【解析】一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，
所以此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，
因为关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，
所以关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，
即x+2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为2020．
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022春•崇川区期末）关于x的方程xk+1﹣x+5＝0是一元二次方程，则k＝ 1 ．
【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．
【解析】∵关于x的方程xk+1﹣x+5＝0是一元二次方程，
∴k+1＝2，
解得k＝1，
故答案是：1．
10．（2022春•玄武区期末）方程（x﹣1）2＝6的解是 x1＝1+，x2＝1﹣ ．
【分析】把方程两边开方得到x﹣1＝±，然后解一次方程即可．
【解析】∵（x﹣1）2＝6，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
11．（2022春•宝应县期末）一个直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是 6或 ．
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解析】∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故答案为：6或．
12．（2022春•亭湖区校级期末）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 1 ．
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．
【解析】∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1，
∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，
∴k＝1，
故答案为：1．
13．（2022•宿迁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 k≤1 ．
【分析】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．
【解析】∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k
＝4﹣4k．
又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴4﹣4k≥0．
∴k≤1．
故答案为：k≤1．
14．（2022•常州模拟）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）+5＝ 6 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2a2﹣7a＝1，再去括号得到a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
故答案为：6．
15．（2022•泗洪县一模）已知△ABC的边长都是关于x的方程x2﹣3x+8＝0的解，其中整数k＜5，则△ABC的周长等于 6或12或10 ．
【分析】根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k＝4；方程变形为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8＝0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．
【解析】据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，
解得k≥，
∵整数k＜5，
∴k＝4；
当k＝4时，方程变形为x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8＝0，
∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．
∴△ABC的周长为6或12或10．
故答案为：6或12或10．
16．（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 2036 ．
【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求式子即可得到答案．
【解析】∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，
∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，
∴2m2+4n2﹣4n+2022
＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022
＝4m+2+8n+4﹣4n+2022
＝4（m+n）+2028
＝4×2+2028
＝2036，
故答案为：2036．
17．（2022春•如皋市期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步？若设宽为x步，则根据题意可列方程为 x（60﹣x）＝864 ．
【分析】根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
【解析】依题意，得：x（60﹣x）＝864，
故答案为：x（60﹣x）＝864．
18．（2022春•惠山区期末）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为 DG ．
【分析】首先根据方程x2+x﹣1＝0解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG＝m，则GC＝1﹣m，从而可以用m表示等式．
【解析】设DG＝m，则GC＝1﹣m．
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG＝GH＝m，FC＝0.5，
根据勾股定理得AF＝．
∵S正方形＝S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，
∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+××m，
∴m＝．
∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝，
∴取正值为x＝．
∴这条线段是线段DG．
故答案为：DG．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022•南京模拟）解方程：
（1）25（x+3）2﹣16＝0；
（2）x（2x+3）＝4x+6．
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解析】（1）25（x+3）2﹣16＝0，
移项，得25（x+3）2＝16，
则（x+3）2＝，
∴x+3＝±，
∴x1＝﹣，x2＝﹣；
（2）x（2x+3）＝4x+6，
则x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，
∴（x﹣2）（2x+3）＝0，
∴x﹣2＝0或2x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣．
20．（2022春•工业园区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0．
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，从而可以求得m的取值范围；
（2）把x＝1代入已知方程，得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值，则可得出答案．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4m+4＞0，
即m＜2．
（2）当x＝1时，1﹣2+m﹣1＝0，
∴m＝2，
∴x2−2x+1＝0，
解得x1＝x2＝1．
即另一根是1．
21．（2021春•射阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解析】（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
22．（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．
【分析】（1）先解一次方程得到x＝m+2，然后把x＝m+2代入一元二次方程得到（m+2﹣1）（m+2﹣2）＝m+1，然后解关于m的方程即可；
（2）先解一次方程得到x＝n+2，把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得到m＝n2+n﹣1，所以m+n＝n2+2n﹣1，利用配方法得到m+n＝（n+1）2﹣2，然后根据非负数的性质可得到结论．
【解答】（1）解：解关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0得x＝m+2，
把x＝m+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（m+2﹣1）（m+2﹣2）＝m+1，
整理得m2＝1，解得m＝1或m＝﹣1；
（2）证明：解关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0得x＝n+2，
把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（n+2﹣1）（n+2﹣2）＝m+1，
整理得m＝n2+n﹣1，
所以m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2，
因为（n+1）2≥0，
所以m+n的最小值为﹣2．
23．（2022春•姜堰区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若 ①或②或③（选一个即可） （填序号），求k的值．
（从①x1•x2＝2；②x1+x2＝3；③x1﹣x2＝1中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答．）
【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可；
（2）选择其中一个进行解答即可．
【解析】（1）∵一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴Δ＝﹣（2k+1）2﹣4×1×（k2+1）＞0，
解得：k＞；
（2）当①x1•x2＝2时，
得：k2+1＝2，
解得：k＝±1，
∵k＞，
∴k＝1；
当②x1+x2＝3时，
得：2k+1＝3，
解得：k＝1；
当③x1﹣x2＝1时，
（x1﹣x2）2＝1，
（x1+x2）2﹣4x1•x2＝1，
（2k+1）2﹣4（k2+1）＝1，
解得：k＝1．
故答案为：①或②或③（选一个即可）．
24．（2021秋•盐都区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2﹣5x+6＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；
（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到x1＝m，x2＝﹣1，再根据“邻根方程”的定义得到m﹣1＝﹣1或m+1＝﹣1，然后解关于m的方程即可．
【解析】（1）解方程x2﹣5x+6＝0得x1＝3，x2＝2，
∵3比2大1，
∴方程是“邻根方程”；
（2）∵x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，
∴（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x﹣m＝0或x+1＝0，
∴x1＝m，x2＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m﹣1＝﹣1或m+1＝﹣1，
∴m＝0或m＝﹣2．
25．（2022春•惠山区校级期末）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以80元/千克收购了这种土特产2000千克，若立即销往外地，每千克可以获利20元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克．
（1）若商家将这批土特产贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：
（2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润50000元？
【分析】（1）根据题意，若立即出售，则每千克土特产售价＝每千克土特产进价+每千克土特产利润，可得立即出售的售价；由该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，可得x天后出售，每千克土特产售价为：（100+0.4x）元．同理可得，x天后出售，可供出售的土特产的质量为（2000﹣5x）千克．
（2）设这批土特产贮藏x天后一次性出售最终可获得总利润50000元，根据总利润＝总销售金额﹣总成本，列出相应方程，解方程，最后根据这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，得到贮藏天数．
【解析】（1）∵该店以80元/千克收购了这种土特产，
又∵若立即销往外地，每千克可以获利20元，
∴收购土特产后立即出售，每千克土特产售价为：80+20＝100（元）．
∵该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，
∴若x天后出售，每千克土特产售价为：（100+0.4x）元．
∵在贮藏过程中平均每天损耗5千克，该店一共收购了2000千克土特产，
∴若x天后出售，可供出售的土特产质量为：（2000﹣5x）千克．
故答案为：100；（100+0.4x）；（2000﹣5x）；
（2）设这批土特产贮藏x天后一次性出售最终可获得总利润50000元，
由（1）可得，（100+0.4x）（2000﹣5x）﹣80×2000＝50000，
化简得，x2﹣150x+5000＝0，
解得，x1＝50，x2＝100，
∵这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，
∴x＝100不符合题意，应舍去，
∴x＝50，
答：设这批土特产贮藏50天后一次性出售最终可获得总利润50000元．
26（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝ （12﹣2t） cm；BQ＝ 4t cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．
【解析】（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案是：（12﹣2t）；4t；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC．
∴AB∥DH．
又∵D是AC的中点，
∴BH＝BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．
∴DH＝AB＝6cm．
根据题意，得﹣×（12﹣2t）﹣×（24﹣4t）×6﹣×2t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0．
解得：t1＝2，t2＝4，
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
每千克土特产售价（单位：元）
可供出售的土特产质量（单位：千克）
现在出售
100
2000
x天后出售
100+0.4x
2000﹣5x