专题1.5判别式及根与系数的关系-【讲练课堂】2022-2023（原卷版+解析版）

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【名师点睛】
根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=− ba，x1x2=ca
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【典例剖析】
【例1】（2021秋•泗阳县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
【变式】（2021秋•无锡期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+4（m﹣2）＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【例2】（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
2．（2022•开远市二模）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．（2021秋•镇江期末）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0B．x2+x+1＝0C．x2﹣x+1＝0D．x2+3x+1＝0
4．（2021秋•常州期末）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2＝1B．x2﹣2x+1＝0
C．x2﹣x﹣2021＝0D．x2+x+1＝0
5．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝c≠aB．a＝b≠cC．a＝c≠bD．a＝b＝c
6．（2022•盐城一模）设α，β是一元二次方程x2+5x﹣99＝0的两个根，则α•β的值是（ ）
A．5B．﹣5C．99D．﹣99
7．（2022•秦淮区二模）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝4，y2＝﹣4B．y1＝2，y2＝﹣6C．y1＝4，y2＝﹣6D．y1＝2，y2＝﹣4
8．（2021秋•高邮市期末）在下列方程中，两个实数根互为相反数的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．x2+1＝0C．x2+x＝0D．x2﹣x＝0
9．（2022•盐城一模）设一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1﹣x1x2+x2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
10．（2021秋•仪征市期末）已知方程﹣（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（ ）
A．m＜b＜n＜cB．b＜m＜n＜cC．m＜n＜b＜cD．m＜b＜c＜n
二．填空题（共8小题）
11．（2022•淮阴区校级一模）一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两根之和为 ．
12．（2022•靖江市二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝ ．
13．（2022•秦淮区二模）写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2： ．
14．（2022•南京二模）设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是 ．
15．（2022•靖江市一模）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 ．
16．（2022春•崇川区校级月考）已知方程x2﹣2022x+1＝0的两根分别为x1、x2，则的值为 ．
17．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
18．（2021秋•溧阳市期末）若一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
19．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
20．（2021秋•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．
21．（2022春•开福区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
22．（2021秋•麦积区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣x2）2+m2＝13，求m的值．
23．（2021秋•宜宾期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．