高二数学下学期期末仿真必刷模拟卷（4人教A版2019）（解析版）

这是一份高二数学下学期期末仿真必刷模拟卷（4人教A版2019）（解析版），共15页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3，S9＝54，则a1+a10＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a6＝3，S9＝54，
∴a1+5d＝3，9a1+36d＝54，
解得a1＝18，d＝﹣3．
则a1+a10＝2×18﹣9×3＝9．
故选：C．
【知识点】等差数列的性质
2.设复数是虚数单位），则＝（ ）
A．1+iB．﹣iC．iD．0
【答案】D
【分析】先化简1+x，再根据所求式子为 （1+x）2020﹣1，从而求得结果．
【解答】解：复数是虚数单位），而＝（1+x）2020﹣1，
而 1+x＝＝＝＝i，
故 ＝（1+x）2020﹣1＝i2020﹣1＝1﹣1＝0，
故选：D．
【知识点】二项式定理
3.在（x﹣2）8的二项展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【答案】B
【分析】写出最大的二项式系数和含x5项的系数，做商就可以了．
【解答】解：在（x﹣2）8的二项展开式中，二项式系数的最大值为＝70，
含x5项的为x5，
即系数为﹣448，
因此．
故选：B．
【知识点】二项式定理
4.随机变量X～B（4，），则D（3X+1）等于（ ）
A．B．C．6D．8
【答案】D
【分析】判断随机变量X的概率类型，利用二项分布求解方差，然后求解D（3X+1）．
【解答】解：由二项分布的概念可知：n＝4，p＝，则：D（X）＝np（1﹣p）＝＝，
D（3X+1）＝32D（X）＝9×＝8．
故选：D．
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型、离散型随机变量的期望与方差
5.已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且＝0.6x+，则＝（ ）
A．4.2B．4.6C．4.7D．4.9
【答案】D
【分析】根据样本中心点在线性回归直线方程上即可得解．
【解答】解：由表中数据可知，＝＝3，
＝＝6.7，
因为样本中心点（3，6.7）在线性回归方程上，所以6.7＝0.6×3+，
所以＝4.9．
故选：D．
【知识点】线性回归方程
6.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（，2）B．（﹣1，1）∪（1，3）
C．（﹣∞，）∪（，2）D．（﹣∞，）（1，2）
【答案】D
【分析】根据条件判断函数的单调性，利用数形结合即可解不等式．
【解答】解：∵＜0，即（x﹣1）•f′（x）＜0，
∴不等式等价为x＞1时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知此时解集为：（1，2）．
当x＜1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知x＜，
即不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，2）．
故选：D．
【知识点】函数的图象与图象的变换、其他不等式的解法、利用导数研究函数的单调性
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1+2a2＝0，，且a≤Sn≤a+2，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]B．C．D．[0，1]
【答案】B
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1+2a2＝0，，可得a1（1+2q）＝0，a1（1+q+q2）＝，联立解出：a1，q，利用求和公式及其单调性即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+2a2＝0，，
∴a1（1+2q）＝0，a1（1+q+q2）＝，
解得：a1＝1，q＝﹣，
∴Sn＝＝．
当n＝1时，Sn取最大值1，当n＝2时，Sn取最小值，
∴，﹣1≤a，
故选：B．
【知识点】等比数列的前n项和
8.已知函数f（x）＝x2++a（x＜0），g（x）＝lnx（x＞0），其中a∈R．若f（x）的图象在点A（x1，f（x1））处的切线与g（x）的图象在点B（x2，f（x2））处的切线重合，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣1+ln2，+∞）B．（﹣1﹣ln2，+∞）
C．D．（ln2﹣ln3，+∞）
【答案】A
【分析】由题意知，x1＜0＜x2，分别求出函数f（x）在点A处的切线方程与g（x）在点B处的切线方程，整理后由斜率相等且在y轴上的截距相等可得a＝lnx2+（）2﹣1＝﹣ln+（）2﹣1，令t＝，则t＞0，且a＝t2﹣t﹣lnt，然后利用导数求h（t）＝t2﹣t﹣lnt的最小值，则答案可求．
【解答】解：由题意知，x1＜0＜x2，
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x12+x1+a）＝（x1+）（x﹣x1）；
当x2＞0时，函数g（x）在点B（x2，g（x2））处的切线方程为y﹣lnx2＝（x﹣x2）．
两直线重合的充要条件是＝x1+①，lnx2﹣1＝﹣x12+a②，
得a＝lnx2+（）2﹣1＝﹣ln+（）2﹣1，
令t＝，由①及x1＜0＜x2知，则0＜t＜，且a＝t2﹣t﹣lnt，
设h（t）＝t2﹣t﹣lnt（0＜t＜），
则h′（t）＝2t﹣1﹣＝＝，
当t∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）在（0，）为减函数，
则h（t）＞h（）＝ln2﹣1，又t→0时，h（t）→+∞．
∴a＞ln2﹣1，
则a的取值范围是（ln2﹣1，+∞）．
故选：A．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。
9.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（ ）
A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0
【答案】AC
【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，
又由an＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，
不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；
又由Sn＝na1+＝﹣9nd+＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，
则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，
故选：AC．
【知识点】等差数列的前n项和
10.现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（ ）
A．选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种
B．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种
C．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种
D．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种
【答案】AC
【分析】根据组合的定义和分步计数原理即可求出．
【解答】解：选取的3个学生都是女生的不同的选法共有C43＝4，故A正确；
恰有1个女生的不同选法共有C32C41＝12种，故B错误；
至少有1个女生的不同选法共有C73﹣C33＝34种，故C正确；
选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共C31C42+C43＝22种，故D错误．
故选：AC．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
11.设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结果正确的有（ ）
A．q＝0.1B．EX＝2，DX＝1.4
C．EX＝2，DX＝1.8D．EY＝5，DY＝7.2
【答案】CD
【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出p＝0.1，由此能求出E（X），D（X），再由离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，能求出E（Y）和D（Y）．
【解答】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：
p＝1﹣0.4﹣0.1﹣0.2﹣0.2＝0.1，
E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，
D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，
∴E（Y）＝2E（X）+1＝5，
D（Y）＝4D（X）＝7.2．
故选：CD．
【知识点】离散型随机变量及其分布列
12.已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）
C．x2f（x1）＜x1f（x2）
D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2）
【答案】CD
【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
【解答】解：f′（x）＝lnx+1，
x∈（0，）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减，
x∈（，+∞），f′（x）＞0，．∴f（x）在（，+∞）上单调递增．
对于A，令g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，
则g′（x）＝lnx，设x1，x2∈（1，+∞），
则g′（x）＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴由x2＞x1得g（x2）＞g（x1）；
∴f（x2）﹣x2＞f（x1）﹣x1，∴＞1，故A错误；
对于B，令g（x）＝f（x）+x＝xlnx+x，
∴g′（x）＝lnx+2，
∴x∈（e﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x∈（0，e﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴x1+f（x1）与x2+f（x2）无法比较大小．
故B错误；
对于C，令g（x）＝＝lnx，则g′（x）＝，（0，+∞）上函数单调递增，
∵x2＞x1＞0，∴g（x2）＞g（x1），∴x2•f（x1）＜x1•f（x2），即C正确；
对于D，∵lnx＞﹣1时，f′（x）＝lnx+1＞，∴f（x）单调递增，
∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣[x2f（x1）+x1f（x2）]＝x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故D正确．
故选：CD．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝ ﹣ ．
【答案】-36
【分析】利用等差数列的前n项和的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得：2×（﹣8﹣6）＝6+S9﹣（﹣8），解得S9＝﹣36．
故答案为：﹣36．
【知识点】等差数列的性质
14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
【答案】0.18
【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．
【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
甲队以4：1获胜包含的情况有：
①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，
②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，
③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，
④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，
则甲队以4：1获胜的概率为：
p＝p1+p2+p3+p4＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．
故答案为：0.18．
【知识点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
15.已知（x﹣）（1﹣x）4的展开式中x2的系数为4，则a＝ ，（x﹣）（1﹣x）4的展开式中的常数项为 ．
【答案】【第1空】2
【第2空】8
【分析】把（1﹣x）4按照二项式定理展开，可得（x﹣）（1﹣x）4的展开式中x2的系数和常数项．
【解答】解：∵（x﹣）（1﹣x）4＝（x﹣）（﹣•x+•x2﹣•x3+•x4），
故展开式中x2的系数为﹣4+a×＝4，则a＝2．
常数项为﹣a×（﹣）＝4a＝8，
故答案为：2；8．
【知识点】二项式定理
16.已知函数，当x∈[0，1]时，函数f（x）仅在x＝1处取得最大值，则a的取值范围是 ．
【分析】求出原函数的导函数，对a分类，根据函数在[0，1]上的单调性逐一分析求解．
【解答】解：f′（x）＝2ax2+（2a﹣1）x．
若a＝0，则f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，f（x）在[0，1]上单调递减，不合题意；
若a＜0，由f′（x）＝0，得＜0，x2＝0，
f（x）在[0，1]上单调递减，不合题意；
若a＞0，当a时，，f（x）在[0，1]上单调递增，符合题意；
当0＜a≤时，，f（x）在[0，1]上单调递减，不合题意；
当＜a＜时，0＜＜1，
f（x）在[0，）上单调递减，在（，1]上单调递增，
要使当x∈[0，1]时，函数f（x）仅在x＝1处取得最大值，
则f（1）＝，即a．
综上，实数a的取值范围为（，+∞）．
故答案为：（）．
【知识点】利用导数研究函数的最值

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。
17.在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含x2的项．
【分析】（1）由题意可得 2＝+，由此求得n的值．
（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．
【解答】解：（1）∵在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
即 2＝+，求得n＝7，或n＝2（舍去）．
（2）展开式的通项公式为 Tr+1＝••，令＝2，求得r＝2，
可得展开式中含x2的项为T3＝••x2＝•x2．
【知识点】二项式定理、等差数列的通项公式
18.已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；
（2）方法一：不等式等价于ex﹣1+lna+lna+x﹣1≥lnx+x＝elnx+lnx，令g（t）＝et+t，根据函数单调性可得lna＞lnx﹣x+1，再构造函数h（x）＝lnx﹣x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围；
方法二：构造两个基本不等式ex＞x﹣1，x﹣1≥lnx，则原不等式转化为x（a﹣1）≥﹣lna，再分类讨论即可求出a的取值范围，
方法三：利用分类讨论的思想，当0＜a＜1，此时不符合题意，当a≥1时，f（x）≥ex﹣1﹣lnx，令g（x）＝ex﹣1﹣lnx，
再根据导数和函数最值的关系即可证明，
方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出f（x）≥f（x0）＝﹣2lnx0+1﹣x0≥1，lna＝1﹣x0﹣lnx0，再求出x0的范围，再利用导数求1﹣x0﹣lnx0的范围，即可求出a的范围．
方法五：f（x）≥1等价于aex﹣1﹣lnx+lna≥1，构造函数hg（a）＝a+lna﹣1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝ex﹣lnx+1，
∴f′（x）＝ex﹣，
∴f′（1）＝e﹣1，
∵f（1）＝e+1，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e+1）＝（e﹣1）（x﹣1），
当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×2×＝．
（2）方法一：由f（x）≥1，可得aex﹣1﹣lnx+lna≥1，即ex﹣1+lna﹣lnx+lna≥1，
即ex﹣1+lna+lna+x﹣1≥lnx+x＝elnx+lnx，
令g（t）＝et+t，
则g′（t）＝et+1＞0，
∴g（t）在R上单调递增，
∵g（lna+x﹣1）≥g（lnx）
∴lna+x﹣1≥lnx，
即lna≥lnx﹣x+1，
令h（x）＝lnx﹣x+1，
∴h′（x）＝﹣1＝，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
当x＞1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
∴h（x）≤h（1）＝0，
∴lna≥0，
∴a≥1，
故a的范围为[1，+∞）．
方法二：由f（x）≥1可得aex﹣1﹣lnx+lna≥1，x＞0，a＞0，
即aex﹣1﹣1≥lnx﹣lna，
设g（x）＝ex﹣x﹣1，
∴g′（x）＝ex﹣1＞0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝1﹣0﹣1＝0，
∴ex﹣x﹣1＞0，
即ex＞x+1，
再设h（x）＝x﹣1﹣lnx，
∴h′（x）＝1﹣＝，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∴h（x）≥h（1）＝0，
∴x﹣1﹣lnx≥0，
即x﹣1≥lnx
∴ex﹣1≥x，则aex﹣1≥ax，
此时只需要证ax≥x﹣lna，
即证x（a﹣1）≥﹣lna，
当a≥1时，
∴x（a﹣1）＞0＞﹣lna恒成立，
当0＜a＜1时，x（a﹣1）＜0＜﹣lna，此时x（a﹣1）≥﹣lna不成立，
综上所述a的取值范围为[1，+∞）．
方法三：由题意可得x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），
∴f′（x）＝aex﹣1﹣，
易知f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
①当0＜a＜1时，f′（1）＝a﹣1＜0，f′（）＝a﹣a＝a（﹣1）＞0，
∴存在x0∈（1，）使得f′（x0）＝0，
当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）＜f（1）＝a+lna＜a＜1，不满足题意，
②当a≥1时，ex﹣1＞0，lna＞0，
∴f（x）≥ex﹣1﹣lnx，
令g（x）＝ex﹣1﹣lnx，
∴g′（x）＝ex﹣1﹣，
易知g′（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵g′（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（1）＝1，
即f（x）≥1，
综上所述a的取值范围为[1，+∞）．
方法四：∵f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna，x＞0，a＞0，
∴f′（x）＝aex﹣1﹣，易知f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵y＝aex﹣1在（0，+∞）上为增函数，y＝在0，+∞）上为减函数，
∴y＝aex﹣1与y＝在0，+∞）上有交点，
∴存在x0∈（0，+∞），使得f′（x0）＝a﹣＝0，
则a＝，则lna+x0﹣1＝﹣lnx0，即lna＝1﹣x0﹣lnx0，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）≥f（x0）＝a﹣lnx0+lna
＝﹣lnx0+1﹣x0﹣lnx0＝﹣2lnx0+1﹣x0≥1
∴﹣2lnx0﹣x0≥0
设g（x）＝﹣2lnx﹣x，
易知函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝1﹣0﹣1＝0，
∴当x∈（0，1]时，g（x）≥0，
∴x0∈（0，1]时，﹣2lnx0﹣x0≥0，
设h（x）＝1﹣x﹣lnx，x∈（0，1]，
∴h′（x）＝﹣1﹣＜0恒成立，
∴h（x）在（0，1]上单调递减，
∴h（x）≥h（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，
当x→0时，h（x）→+∞，
∴lna≥0＝ln1，
∴a≥1．
方法五：f（x）≥1等价于aex﹣1﹣lnx+lna≥1，该不等式恒成立．
当x＝1时，有a+lna≥1，其中a＞0．
设g（a）＝a+lna﹣1，则g'（a）＝1+＞0，
则g（a）单调增，且g（1）＝0．
所以若a+lna≥1成立，则必有a≥1．
∴下面证明当a≥1时，f（x）≥1成立．
∵ex≥x+1，
把x换成x﹣1得到ex﹣1≥x，
∵x﹣1≥lnx，∴x﹣lnx≥1．
∴f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna≥ex﹣1﹣lnx≥x﹣lnx≥1．
综上，a≥1．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性
19.已知集合X＝{2，3，4，6，8，15，17}，数列{an}（n∈N*）是公比为q（q＞l）的等比数列，且等比数列的前三项满足a1、a2、a3∈X．
（1）求通项公式an；
（2）若Sn是等比数列{an}的前n项和，记A＝S1+S2+S3+…+Sn，试用等比数列求和公式化简A（用含n的式子表示）
【分析】（1）求得数列的首项和公比均为2，可得所求通项公式；
（2）求得Sn＝＝2n+1﹣2，再由数列的分组求和和等比数列的求和公式，化简可得所求和．
【解答】解：（1）集合X＝{2，3，4，6，8，15，17}，数列{an}是公比为q（q＞l）的等比数列，
且等比数列的前三项满足a1、a2、a3∈X．可得a1＝2，a2＝4，a3＝8，
即有q＝2，通项公式an＝2n；
（2）Sn＝＝2n+1﹣2，
A＝S1+S2+S3+…+Sn＝（4+8+…+2n+1）﹣2n＝﹣2n＝2n+2﹣4﹣2n．
【知识点】等比数列的前n项和、等比数列的性质
20.设λ是正实数，（1+λx）20的二项展开式为a0+a1x+a2x2+……+a20x20，其中a0，a1，……，a20均为常数
（1）若a3＝12a2，求λ的值；
（2）若a5≥an对一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范围．
【分析】（1）根据通项公式列式可得；
（2）假设第r+1项系数最大，依题意得，解得≤r≤，根据a5最大列式可得．
【解答】解：（1）通项公式为Tr+1＝Cλr•xr，r＝0，1，2，…，20．
∴由a3＝12a2得，Cλ3＝12Cλ2，解得λ＝2．
（2）假设第r+1项系数最大，依题意得，解得≤r≤，
∴∴，解得≤λ≤．
【知识点】二项式定理
21.某中学组织学生参加《网络安全知识竞赛》，在必答环节中，需回答5个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得﹣10分．假设某同学每题回答正确的概率均为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）求这名同学总得分X∈[﹣10，10]的概率；
（Ⅱ）求这名同学回答这5个问题的总得分的分布列和数学期望（结果保留一位小数）．
【分析】（Ⅰ）确定X∈[﹣10，10]的实质是X＝﹣10，10，即对2道错3道或对3道错2道，再利用概率公式即可求解；
（Ⅱ）先列出总得分的所有可能取值，并求出相对应的概率，再写出分布列，然后计算数学期望即可．
【解答】解：（Ⅰ）由这名同学总得分X∈[﹣10，10]，
可得X＝﹣10，10，
由题意可得P（|X|≤10）＝P（X＝﹣10）+P（X＝10）＝C52×（）2×（）3+C53×（）2×（）3＝，
所以这名同学总分X∈[﹣10，10]的概率为；
（Ⅱ）由题可知总得分X的所有取值为﹣50，﹣30，﹣10，10，30，50，
P（X＝﹣50）＝C50×（）0×（）5＝，
P（X＝﹣30）＝C51×（）1×（）4＝，
P（X＝﹣10）＝C52×（）2×（）3＝，
P（X＝10）＝C53×（）3×（）1＝，
P（X＝30）＝C54×（）4×（）1＝，
P（X＝50）＝C55×（）5×（）0＝，
所以X的分布列为：
E（X）＝（﹣50）×+（﹣30）×+（﹣10）×+30×+50×＝≈16.7，
故这名同学回答这5个问题的总得分的数学期望为16.7分．
【知识点】离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差
22.由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．
（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？
（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．
附：；其中n＝a+b+c+d
独立性检验临界表：
【分析】（I）作出2×2列联表，求出k2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．
（Ⅱ） 用A表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．
（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，ξ服从二项分布．由此能求出ξ的分布列、数学期望．
【解答】解：（I）作出2×2列联表：
由列联表数据代入公式得，
因为1.83＜2.706，
故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．
（Ⅱ） 用A表示“至少有1人在青春组”，
则至少有1人在青春组的概率为．
（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，
那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，
又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布．
ξ的取值为0，1，2，3，4．且．
所以得ξ的分布列为：
数学期望．
【知识点】独立性检验、离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列
x
1
2
3
4
5
y
5.5
6
7
7
8
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
﹣50
﹣30
﹣10
10
30
50
P






P（K2＞k0）
0.100
0.050
0.010
K
2.706
3.841
6.635
青春组
风华组
合计
男生
7
6
13
女生
5
12
17
合计
12
18
30
ξ
0
1
2
3
4
P