广东省深圳第二实验学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷

这是一份广东省深圳第二实验学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知，则z＝（ ）
A．2+iB．2﹣iC．1﹣2iD．﹣1﹣2i
2．（5分）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为64π，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4B．2C．8D．6
3．（5分）已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'B'＝6，B'C'＝3，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知向量，是两个非零向量，且||＝||＝|+|，则与夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2c，且9sinB﹣2sinC＝2，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．C．6D．
6．（5分）如图，S﹣ABC是正三棱锥且侧棱长为a，两侧棱SA，SC的夹角为30°，E，F分别是SA，SC上的动点，则三角形BEF的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°．点P在线段AB与线段BL上运动，则的取值范围为（ ）
A．[﹣4，6]B．[0，6]C．[0，8]D．[4，8]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知复数（i为趛数单位），复数z的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数z所对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
（多选）10．（6分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．①②③⇒④B．①③④⇒②C．①②④⇒③D．②③④⇒①
（多选）11．（6分）景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界．景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地ABCD上举办陶瓷展览会，已知AB＝120m，AD＝60m，E为边AB的中点．G，F分别为边AD，BC上的动点，，举办方计划将△EFG区域作为白瓷展览区，则白瓷展览区的面积可能是（ ）
A．B．C．2100m2D．2300m2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在复平面内，O是原点，向量对应的复数为5+3i，与关于y轴对称，则点B对应的复数是 ．
13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB＝2，AA′＝3，则三棱锥B′﹣A′BC的体积为 ．
14．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的边分别对应a，b，c，若2ccsA＝b﹣c，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时：
（1）z是实数；
（2）z对应的点在第二象限．
16．（15分）已知向量，满足，，且，的夹角为．
（1）求；
（2）若，求实数λ的值．
17．（15分）在①，②bcsC＝（2a﹣c）csB中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知_____．
（1）求B；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，且，求a+c．
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分．
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为AB上的点，且AF＝2FB，E为PD中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）在棱PC上是否存在一点G，使得FG∥平面AEC？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcsx，称向量＝（a，b）为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）设函数，试求g（x）的相伴特征向量；
（2）记向量＝（1，）的相伴函数为f（x），求当且x∈（，）时，sinx的值；
（3）已知A（﹣2，3），B（2，6），＝（，1）为的相伴特征向量，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得⊥．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知，则z＝（ ）
A．2+iB．2﹣iC．1﹣2iD．﹣1﹣2i
【分析】根据复数的概念及运算法则即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，
因为，所以2ai＝a﹣1﹣bi，
所以，解得，
所以z＝1﹣2i．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的有关概念，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，是基础题．
2．（5分）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为64π，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4B．2C．8D．6
【分析】设圆柱底面圆的半径为r＞0，则圆柱的高为r，结合圆柱的侧面积公式运算求解．
【解答】解：设圆柱底面圆的半径为r＞0，则圆柱的高为r，
则石磨的侧面积为2×2πr×r＝64π，解得r＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题．
3．（5分）已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'B'＝6，B'C'＝3，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，求出矩形A'B'C'D'的面积，由直观图面积与原图面积的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，
已知A'B'＝6，B'C'＝3，则矩形A'B'C'D'的面积S′＝6×3＝18，
则四边形ABCD的面积S＝2S′＝36．
故选：D．
【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
4．（5分）已知向量，是两个非零向量，且||＝||＝|+|，则与夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据条件即可得出，然后即可求出的值，从而可得出与的夹角．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴与的夹角为．
故选：B．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2c，且9sinB﹣2sinC＝2，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．C．6D．
【分析】由题意及正弦定理可得sinB＝2sinC，代入已知可得sinC的值，由钝角三角形，大边对大角，可得C为锐角，可得csC的值，由余弦定理可得c边的大小，进而求出b边的大小，再由钝角三角形可确定b边的值，进而求出三角形的周长．
【解答】解：因为b＝2c，a＝3，由正弦定理可得sinB＝2sinC，又因为9sinB﹣2sinC＝2，可得sinC＝，
因为b＞c，所以B＞C，可得C为锐角，所以csC＝，
由余弦定理可得csC＝＝＝，解得c＝2或c＝，
可得b＝4或3，因为该三角形为钝角三角形，所以a≠b，
所以b＝4，c＝2，a＝3，
即三角形的周长为4+3+2＝9，
故选：A．
【点评】本题考查正余弦定理的应用及大边对大角的性质的应用，属于中档题．
6．（5分）如图，S﹣ABC是正三棱锥且侧棱长为a，两侧棱SA，SC的夹角为30°，E，F分别是SA，SC上的动点，则三角形BEF的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形：△SBC、△SCA、△SAB′，连接BB′，交SC于F，交SA于E，则线段BB′就是△BEF的最小周长，易判断△B′SB为等腰直角三角形，由勾股定理可求BB′．
【解答】解：把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形：△SBC、△SCA、△SAB′，
则∠B′SA＝∠BSC＝∠ASC＝30°，
连接BB′，交SC于F，交SA于E，则线段BB′就是△BEF的最小周长，
又SB＝SB′＝a，根据勾股定理，SB2+SB′2＝BB′2＝2a2，
所以a，
故选：A．
【点评】本题考查了多面体表面上的距离问题及线线夹角求法问题，解题的关键是将多面体展开，将多面体表面上的轨迹长度问题变化为平面上的两点间距离问题研究，这里用到了几何中常用的降维的技巧，化体为面是一个重要的技巧．本题易因为没有把立体问题转化为平面问题研究而导致无法求解
7．（5分）平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式求出•的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，，，，
即（+）2＝2+2+2•＝4+9+2•＝16，则•＝，
则在方向上的投影向量为＝．
故选：C．
【点评】本题考查投影向量的计算，注意投影向量的计算公式，属于基础题．
8．（5分）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°．点P在线段AB与线段BL上运动，则的取值范围为（ ）
A．[﹣4，6]B．[0，6]C．[0，8]D．[4，8]
【分析】建立平面直角坐标系，标出A，F，E，H四个点的坐标，写出向量的坐标，即可表示出，进而可求得其范围．
【解答】解：如图，以C为原点建立平面直角坐标系，
易知A（﹣2，1），B（0，1），F（0，﹣1），E（﹣1，﹣2），H（1，0），L（1，2），
当P在线段AB上运动，设P（x，1），其中﹣2≤x≤0，
所以，
则，
因为﹣2≤x≤0，所以，
当P在线段BL上运动，设P（x，y）（0≤x≤1），
则，且，
则x＝y﹣1，故P（x，x+1）（0≤x≤1），，
则，因为0≤x≤1，所以，
综上，的取值范围为[0，8]．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知复数（i为趛数单位），复数z的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数z所对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
【分析】通过复数中i2＝﹣1，对复数z进行化简，可判断A；通过共轭复数的定义得到，可判断B；通过复数的乘除运算法则判断CD．
【解答】解：∵i2＝﹣1，∴i2024＝1，
∴＝＝，＝，
对于A，复数在复平面内对应的点（，）在第一象限，故A正确；
对于B，＝，故B错误；
对于C，＝（）（）＝，故C正确；
对于D，＝＝﹣，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（6分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．①②③⇒④B．①③④⇒②C．①②④⇒③D．②③④⇒①
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：m，n⊄α，m，n⊄β．
对于A，由α∥β，m∥α，得m∥β，又m∥n，∴n∥β，故A正确；
对于B，由α∥β，m∥α，n∥β，可得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；
对于C，由α∥β，n∥β，得n∥α，又m∥n，则m∥α，故C正确；
对于D，由m∥n，m∥α，n∥β，可得α∥β或α与β相交，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
（多选）11．（6分）景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界．景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地ABCD上举办陶瓷展览会，已知AB＝120m，AD＝60m，E为边AB的中点．G，F分别为边AD，BC上的动点，，举办方计划将△EFG区域作为白瓷展览区，则白瓷展览区的面积可能是（ ）
A．B．C．2100m2D．2300m2
【分析】设∠AEG＝α，则，由，，得到，再得到，，由＝求解．
【解答】解：设∠AEG＝α，则，
由，，得，
易得，，
则
＝，
由，得，得，
则．
因为，，
所以白瓷展览区的面积可能是，2100m2．
故选：BC．
【点评】本题主要考查解三角形，三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在复平面内，O是原点，向量对应的复数为5+3i，与关于y轴对称，则点B对应的复数是 ﹣5+3i ．
【分析】由对称性结合复数的几何意义得出点B对应的复数．
【解答】解：设向量对应的复数为a+bi，（a，b∈R），对应复平面的坐标为（a，b），
因为向量对应的复数为5+3i，所以对应复平面的坐标为（5，3），
因为与关于y轴对称，所以a＝﹣5，b＝3．
即向量对应的复数为﹣5+3i，因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是﹣5+3i．
故答案为：﹣5+3i．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB＝2，AA′＝3，则三棱锥B′﹣A′BC的体积为 ．
【分析】根据等体积转换法求解即可．
【解答】解：因为正三棱柱ABC﹣A'B'C'，
所以，
则VB′﹣A′BC＝VABC﹣A′B′C′﹣VA′﹣ABC﹣VC﹣A′B′C′＝VABC﹣A′B′C′﹣2VA′﹣ABC＝3VA′﹣ABC﹣2VA′﹣ABC＝VA′﹣ABC
＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查等体积转换法求体积，是属于中档题．
14．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的边分别对应a，b，c，若2ccsA＝b﹣c，则的取值范围是 ．
【分析】先对2ccsA＝b﹣c边角互换化简，得到A＝2C，再在锐角△ABC中，找到，再化简即可求解．
【解答】解：因为2ccsA＝b﹣c，由正弦定理得，2sinCcsA＝sinB﹣sinC，
2sinCcsA＝sin（A+C）﹣sinC，化简得sin（A﹣C）＝sinC，
在△ABC中，则A＝2C，则，
所以锐角△ABC中，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时：
（1）z是实数；
（2）z对应的点在第二象限．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的分类，即可求解；
（2）根据复数的几何意义，即可列不等式求解．
【解答】解：（1）因为z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，z是实数，
则m2﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2；
（2）若z对应的点在第二象限，
则，解得﹣3＜m＜﹣1，
即m的取值范围为（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．
16．（15分）已知向量，满足，，且，的夹角为．
（1）求；
（2）若，求实数λ的值．
【分析】（1）由平面向量的数量积的运算律计算即可；
（2）由得，再由平面向量的数量积运算计算即可．
【解答】解：（1）因为，，且，的夹角为，
所以；
（2）因为，所以，
即，
所以，
因为，，所以2﹣4λ+2λ﹣1＝0，解得．
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算和向量垂直的性质的应用，属于基础题．
17．（15分）在①，②bcsC＝（2a﹣c）csB中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知_____．
（1）求B；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，且，求a+c．
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分．
【分析】（1）若选①，由题意及正弦定理可得csB的值，再由角B的范围，可得角B的大小；若选②，由正弦定理及两角和的正弦公式，可得csB的值，再由角B的范围，可得角B的大小；
（2）由正弦定理可得a，c的表达式，进而可得ac的值，再由余弦定理可得a+c的值．
【解答】解：（1）若选①，由正弦定理可得2sinBcsA＝2sinC﹣sinA，
在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以2sinAcsB＝sinA，
因为sinA≠0，
可得csB＝，而B∈（0，π），
可得B＝；
若选②，因为bcsC＝（2a﹣c）csB，由正弦定理可得sinBcsC＝2sinAcsB﹣sinCcsB，
可得sinBcsC+sinCcsB＝2sinAcsB，
即sin（B+C）＝2sinAcsB，在△ABC中，sin（B+C）＝sinA，且sinA≠0，
可得csB＝，而B∈（0，π），
可得B＝；
（2）因为△ABC的外接圆半径为2，由正弦定理可得＝＝＝2×2，B＝，
可得b＝2，
a＝4sinA，c＝4sinC，
所以ac＝16sinAsinC，
csB＝﹣cs（A+C）＝﹣csAcsC+sinAsinC，
而，
所以＝+sinAsinC，
可得sinAsinC＝，
所以ac＝16×＝6，
由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accsB＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac×，
即12＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣3×6，
可得a+c＝．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为AB上的点，且AF＝2FB，E为PD中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）在棱PC上是否存在一点G，使得FG∥平面AEC？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
【分析】（1）连接BD交AC于O，由题意可得EO∥PB，再由线面平行的判断定理可证得结论；
（2）因为AF＝2FB，在棱PC上存在点G，且＝2，由对应边成比例可得HF∥PB，由题意可证得平面HFG∥平面AEC，可得满足题中的条件．
【解答】（1）证明：连BD交AC于O，因为底面ABCD为平行四边形，
所以O为BD的中点，而E为PD的中点，
所以EO∥PB，
又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC；
所以PB∥平面AEC；
（2）解：在棱PC上存在点G，且＝2，使得FG∥平面AEC，
证明：PA上取点H，且AH＝2HP，因为F为AB上的点，且AF＝2FB，
所以在△PAB中，，所以HF∥PB，
因为PB∥平面AEC，HF⊂平面AEC，所以HF∥平面AEC，
又在△PAC中，，所以HG∥AC，
因为HG⊄平面AEC，AC⊂平面AEC，所以HG∥平面AEC，
因为HG∩HF＝H，HG，HF⊂平面HFG，
所以平面HFG∥平面AEC．
因为FG⊂平面HGF，
所以FG∥平面AEC．
【点评】本题考查线面平行的判断定理应用及面面平行性质定理的应用，属于中档题．
19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcsx，称向量＝（a，b）为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）设函数，试求g（x）的相伴特征向量；
（2）记向量＝（1，）的相伴函数为f（x），求当且x∈（，）时，sinx的值；
（3）已知A（﹣2，3），B（2，6），＝（，1）为的相伴特征向量，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得⊥．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换和伴随向量的应用求出结果；
（2）利用伴随向量的应用和函数的定义域的应用求出函数的值；
（3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用求出点P的坐标．
【解答】解：（1）＝，
所以，
故函数g（x）的伴随特征向量，
（2）由于f（x）＝sinx+＝，
所以，
由于，
所以，则，
故sinx＝sin[（x+）﹣]＝＝．
（3）由于为函数＝的伴随向量，
故m＝﹣2．
所以φ（x）＝h（）＝＝，
设P（x，），由于A（﹣2，3），B（2，6），
所以，，
由于，
所以，
故，
整理得，
所以，
由于，
所以；
故，
由于，
当且仅当x＝0时，，
所以在y＝h（x）的图象上存在点P（0，2）使得⊥成立．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平面向量在三角函数关系中的应用，向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．