八年级下册数学暑假作业 (53)

这是一份八年级下册数学暑假作业 (53)，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第一象限的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加沙坪坝区举办的垃圾分类知识竞赛，经过学校三轮初赛，他们的平均成绩都是98分，方差分别是，，，．你认为最合适的选手是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4. 如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，D为格点，连接交于点E，则的值为（ ）

A. B. C. D.
5. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，与位似，点O是位似中心，相似比为，若的面积为2，则的面积为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 如图，在中，对角线，交于点O，过点O作交，于点E，F，下列结论一定正确的是（ ）

A. B.
C. D.
8. 小明从图书馆步行回家，途中经过文具店购买文具后，继续以原速度步行回家．小明离家的距离S（米）和所用时间t（分）之间的关系如图所示，则小明的步行速度约为（ ）

A. 40米/分B. 50米/分C. 60米/分D. 120米/分
9. 如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）

A. B.
C. D.
10. 关于一次函数，，下列说法：
①函数与的图象关于y轴对称；
②若，则此关于x的方程有且仅有两个相等的实数根；
③若函数的图象过点，则函数的图象必过一、三象限．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 已知＝，则的值是_____．
12. 某单位招聘员工，其中一名应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分. 若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是70%、30%．则该应聘者的综合成绩是_______分．
13. 在矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为_______．
14. 已知关于x的方程的两个根是0和，则的值为_______．
15. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，的平分线交于点E，过点E作交于点F，则的度数为_______．

16. 如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F．若菱形周长为24，面积为30，则的值为_______．

17. 若关于x的一元二次方程有实数根，反比例函数的图象在各象限内y随x的增大而增大，则所有满足条件的整数a的值之和为_______．
18. 一个四位数M的千位为a，百位为b，十位为1，个位为c，若点在直线上，称直线为M的互动直线．将M的个位数字c放到千位数字a之前产生新四位数N，例如：，则．记，则=_______；若为6的倍数，则满足条件的M的互动直线条数为_______．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20~26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
20. 小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．

证明：四边形是矩形，
，，
① °．
，
，
，
② ．
又， ③ ，
④ ．
⑤ ．
又，
．
21. 中国共产党第二十次全国人民代表大会于2022年10月16日在北京胜利召开.甲、乙两校组织全体教师利用“学习强国APP”对二十大会议精神进行学习，并开展了知识竞赛．现从甲、乙两校中各随机抽取20名教师的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为五组：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出部分信息：
甲校20名教师的竞赛成绩在C组的数据是：86，88，88，89，89，89．
乙校20名教师竞赛成绩是：78，82，83，84，86，86，87，87，88，88，90，90，90，90，93，96，97，98，98，99．
甲、乙学校抽取教师竞赛成绩的统计表：
甲校抽取的教师竞赛成绩的扇形统计图：

根据以上信息，解答下面问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两校中哪所学校教师竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）甲校抽出的20名教师的知识竞赛成绩中，D组教师平均成绩为91分，E组教师平均成绩为98分，请你计算甲校D、E两组教师的竞赛总成绩之和．
22. 如图，在中，点M，N分别在边，上，点E，F在对角线上，且，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，点N是的中点，求平行四边形的面积．
23. 蓝莓是一种高营养、低热量的水果，被称为浆果之王，深受消费者喜爱．从2020年到2022年，沙坪坝区某蓝莓基地的蓝莓亩产量增长了．
（1）求2021、2022这两年蓝莓亩产量的年平均增长率；
（2）去年，甲、乙两名采摘员每小时各摘4千克蓝莓，劳务费均为4元/千克．今年，甲因采摘小果每千克的劳务费增加了a元（），但每小时的采摘量减少了千克；乙采摘大果每小时能多摘千克，每千克的劳务费不变；结果今年甲、乙两人每小时总收入比去年多了元，求a的值．
24. 如图，在中，，点D是的中点，．点P从点B出发，沿方向移动到点C停止（点P可与线段端点重合），过点P作交于点Q，设点P的运动路程为x，线段的长度为．请回答以下问题：

（1）直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在直角坐标系中画出与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若的函数图象如图所示，结合你画出的与x的函数图象，直接写出当时，自变量x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过）
25. 如图，直线：与直线：交轴于点A，分别交轴于点B、点C，且．

（1）求k，b的值；
（2）过的中点D作交于点P，过点P作轴交于点Q，求的长；
（3）将直线向下平移5个单位得到直线，与y轴交于点E，将（2）中的点P向右移动1个单位得到点M．点N是平面内一点，使得以点A，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
26. 在正方形中，将线段BA绕着点B旋转α（），得到线段，连接．

（1）如图1，若，连接，求证：；
（2）如图2，若，过点A作交延长线于点G，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在线段旋转过程中，直线交于点M，过点A作交直线于点G，直线交于点N．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
八年级下册数学暑假作业
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第一象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、在第一象限，故选项符合题意；
B、在第二象限，故本选项不符合题意；
C、在第四象限，故本选项不符合题意；
D、在第三象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
2. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形性质得出即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解答本题的关键．
3. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加沙坪坝区举办的垃圾分类知识竞赛，经过学校三轮初赛，他们的平均成绩都是98分，方差分别是，，，．你认为最合适的选手是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴丙的成绩最稳定，
又∵他们平均成绩都是98分，
∴最合适的选手是丙，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解本题的关键．
4. 如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，D为格点，连接交于点E，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得出 所以，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据题意可知：，，，
．
故选B．
【点睛】本题考查了形似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
5. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
6. 如图，与位似，点O是位似中心，相似比为，若的面积为2，则的面积为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】可得，可求，由即可求解．
【详解】解：与位似，
，
相似比为，
，
，
解得：；
故选：D．
【点睛】本题考查了位似图形的定义，相似三角形的性质，理解定义，掌握性质是解题的关键．
7. 如图，在中，对角线，交于点O，过点O作交，于点E，F，下列结论一定正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8. 小明从图书馆步行回家，途中经过文具店购买文具后，继续以原速度步行回家．小明离家的距离S（米）和所用时间t（分）之间的关系如图所示，则小明的步行速度约为（ ）

A. 40米/分B. 50米/分C. 60米/分D. 120米/分
【答案】C
【解析】
【分析】先根据图象得到小明从图书馆的步行回家的路程和时间，然后求速度即可．
【详解】解：由函数图象可得：小明从图书馆步行回家的路程和时间分别为1800千米，分，所以小明的步行速度约为米/分．
故选C．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息、行程问题等知识点，从函数图象获取所需信息是解答本题的关键．
9. 如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）

A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，
根据题意，得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键．
10. 关于一次函数，，下列说法：
①函数与的图象关于y轴对称；
②若，则此关于x的方程有且仅有两个相等的实数根；
③若函数的图象过点，则函数的图象必过一、三象限．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】画出图象，根据图象即可解答；
②将和代入中，令，根据二次函数的性质可知，所以，即，解得，即可解答；
③将和代入函数中，且函数的图象过点 ，进而求出，所以，则函数的图象必过一、三象限．
【详解】解：①一次函数，如下图所示：
，
可知函数与的图象关于y轴对称，故①正确；
②将和代入中，
得：，
整理得：，
令，
∵，，
∴是与x轴没有交点，且开口向上的抛物线，
∴，
，
整理得：，
解得：，
∴有且仅有两个相等的实数根，
故②正确；
③将和代入函数中，
得：，
∵函数的图象过点，
∴，
即，
∴，
∴函数的图象必过一、三象限；
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程，二次函数，熟练掌握函数与方程间的关系是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 已知＝，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据已知式子得出，然后代入所求式子即可得解.
【详解】∵=，
∴
∴
故答案为：.
【点睛】此题主要考查比例的基本性质，熟练掌握，即可解题.
12. 某单位招聘员工，其中一名应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分. 若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是70%、30%．则该应聘者的综合成绩是_______分．
【答案】87
【解析】
【分析】直接计算加权平均数即可解答．
【详解】解：根据题意知，该名应聘者的成绩为（分）
故答案为：87．
【点睛】本题考查加权平均数及其计算，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
13. 在矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据矩形的性质可知，，即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
14. 已知关于x的方程的两个根是0和，则的值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义，将两个根是0和代入关于x的方程中，可得到关于n、m的二元一次方程组，解之即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程的两个根是0和，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据定义得出二元一次方程组是解题的关键．
15. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，的平分线交于点E，过点E作交于点F，则的度数为_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质,得到，由的平分线交于点E得，由平行得到得到度数．
【详解】正方形，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质已经平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
16. 如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F．若菱形的周长为24，面积为30，则的值为_______．

【答案】5
【解析】
【分析】延长交于，可求，可证，可得，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于，

四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
，，
在和中
，
（），
，
．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
17. 若关于x的一元二次方程有实数根，反比例函数的图象在各象限内y随x的增大而增大，则所有满足条件的整数a的值之和为_______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质可得，从而可得，根据一元二次方程有实数根，从而可得，然后可得，所以，从而可得所有满足条件的整数a的值，最后进行计算即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，且，
∵反比例函数图象在各象限内y随x的增大而增大，
∴，
解得，
∴且，
故所有满足条件的整数a的值为：0、2、3、4，
∵，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程的定义，根的判别式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
18. 一个四位数M的千位为a，百位为b，十位为1，个位为c，若点在直线上，称直线为M的互动直线．将M的个位数字c放到千位数字a之前产生新四位数N，例如：，则．记，则=_______；若为6的倍数，则满足条件的M的互动直线条数为_______．
【答案】 ①. 888 ②. 8
【解析】
【分析】（1）根据新定义写出M，N的值，代入计算即可；
（2）根据新定义列出M，N的代数式，表示出，根据为6的倍数，分析即可得出结论．
【详解】解：（1），，
，
故答案为：；
（2）四位数M的千位为a，百位为b，十位为1，个位为c，
，
将M的个位数字c放到千位数字a之前产生新四位数N，
，
，
点在直线上，
，
，
为6的倍数，是6的倍数，
也是6的倍数，
即是2的倍数也是3的倍数，
的个位数是，十位数是0，百位数是，
当是2的倍数时，为偶数，可取1、3、5、7、9，
当是3的倍数时，为3的倍数，
只有取1和7时符合题意，
或，
，，
，
满足条件的M的互动直线条数为8条．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了新定义下整式加减的应用，从题目中获取信息列出正确的代数式并化简是解题关键．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20~26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
小问1详解】
解：
，
，．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴，即，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解答本题的关键．
20. 小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．

证明：四边形是矩形，
，，
① °．
，
，
，
② ．
又， ③ ，
④ ．
⑤ ．
又，
．
【答案】①90； ②；③；④；⑤
【解析】
【分析】由直角三角形性质得出①，根据平角定义得出②，由全等的判定方法得出③④，由三角形全等性质得到⑤．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
°（直角三角形两锐角互余）．
，
，
，
（同角的余角相等）．
又， （已知），
．
（全等三角形的对应边相等）．
又，
．
【点睛】本题考查了矩形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定是解题关键．
21. 中国共产党第二十次全国人民代表大会于2022年10月16日在北京胜利召开.甲、乙两校组织全体教师利用“学习强国APP”对二十大会议精神进行学习，并开展了知识竞赛．现从甲、乙两校中各随机抽取20名教师的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为五组：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出部分信息：
甲校20名教师的竞赛成绩在C组的数据是：86，88，88，89，89，89．
乙校20名教师的竞赛成绩是：78，82，83，84，86，86，87，87，88，88，90，90，90，90，93，96，97，98，98，99．
甲、乙学校抽取的教师竞赛成绩的统计表：
甲校抽取的教师竞赛成绩的扇形统计图：

根据以上信息，解答下面问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两校中哪所学校教师竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）甲校抽出的20名教师的知识竞赛成绩中，D组教师平均成绩为91分，E组教师平均成绩为98分，请你计算甲校D、E两组教师的竞赛总成绩之和．
【答案】（1），，
（2）乙校教师竞赛成绩较好，理由见解析
（3）665分
【解析】
【分析】（1）用1分别减去其他四组所占百分百即可得到的值，根据中位数和众数的定义即可得到b，c的值；
（2）可从平均数、众数、中位数角度分析数据；
（3）利用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：解：由题意可知：，
故；甲学校教师成绩的中位数为第十个和第十一个，因为A等级有（个）；B等级有（个），故中位数在C等级，因为第十个和第十一个分别为88、89，故；乙学校的众数为90；故答案为：，，．
【小问2详解】
解：乙校教师竞赛成绩较好．理由如下(写出其中一条即可)：
①乙校教师竞赛成绩的中位数89高于甲校教师竞赛成绩的中位数88.5；
②乙校教师竞赛成绩的众数90高于甲校教师竞赛成绩的众数89；
③乙校教师竞赛成绩的平均数89.5高于甲校教师竞赛成绩的平均数87.5．
【小问3详解】
解：甲校D组教师人数为3人，E组教师人数为4人，
，
答：甲校D、E两组教师的竞赛总成绩为665分．
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、用样本估计总体等知识点，掌握众数、平均数、中位数的定义和掌握用样本估计总体是解题的关键．
22. 如图，在中，点M，N分别在边，上，点E，F在对角线上，且，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，点N是的中点，求平行四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证从而证明，再证且，得出结论即可．
（2）连接先判定四边形是菱形，得到，根据，求出长，从而求出及长，再由中位线定理求出长，根据平行四边形面积公式得出即可．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
又，
四边形为平行四边形．
【小问2详解】
解：连接，交于点O，

四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形，
，，，，
，
，，
，即点E是的中点，
，同理可得 点F是的中点，
，
在中，，
，
点N是的中点，点E是的中点，
，，
，
，即，
的面积是：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及中位线定理，熟练掌握平行四边形、菱形性质判定和性质是解题关键．
23. 蓝莓是一种高营养、低热量的水果，被称为浆果之王，深受消费者喜爱．从2020年到2022年，沙坪坝区某蓝莓基地的蓝莓亩产量增长了．
（1）求2021、2022这两年蓝莓亩产量的年平均增长率；
（2）去年，甲、乙两名采摘员每小时各摘4千克蓝莓，劳务费均为4元/千克．今年，甲因采摘小果每千克的劳务费增加了a元（），但每小时的采摘量减少了千克；乙采摘大果每小时能多摘千克，每千克的劳务费不变；结果今年甲、乙两人每小时总收入比去年多了元，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设两次平均增长率为x，（）；据此模型列方程即可求解；
（2）今年甲的每小时劳务费今年乙的每小时劳务费去年的两人每小时总劳务费，据此等量关系式列方程，即可求解．
【小问1详解】
解：（1）设2021、2022这两年蓝莓亩产量的年平均增长率为x， 由题意得
，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2021、2022这两年蓝莓亩产量的年平均增长率为．
【小问2详解】
解：由题意得
，
整理得：，
解这个方程，得（不合题意，舍去），．
答：的值为1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，掌握典型应用模型，找出等量关系式是解题的关键．
24. 如图，在中，，点D是的中点，．点P从点B出发，沿方向移动到点C停止（点P可与线段端点重合），过点P作交于点Q，设点P的运动路程为x，线段的长度为．请回答以下问题：

（1）直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在直角坐标系中画出与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若的函数图象如图所示，结合你画出的与x的函数图象，直接写出当时，自变量x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过）
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）分两种情况：当在上，即时，由，得，即，故；当在上，即时，，即，故；
（2）结合（1）画出图象，观察图象可得的性质；
（3）观察两个函数图象，估计交点的横坐标的大小，即可得到答案．
【小问1详解】
解：当在上，即时，如图，

，点是的中点，，
，，
在中，，，
，
，即，
，
当在上，即时，如图，

同理可得，
，
，
综上；
【小问2详解】
解：画出函数图象如图所示；

该函数的性质（写出一条即可）：
①该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值4；当时，函数取得最小值0；
②该函数图象为轴对称图形，对称轴为直线；
③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
【小问3详解】
解：联立和方程组，解方程组并观察两个函数图象的交点，横坐标约为和，
，
，
当时，自变量的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题关键是利用分类讨论思想，求出与的函数关系式和数形结合思想的应用．
25. 如图，直线：与直线：交轴于点A，分别交轴于点B、点C，且．

（1）求k，b的值；
（2）过的中点D作交于点P，过点P作轴交于点Q，求的长；
（3）将直线向下平移5个单位得到直线，与y轴交于点E，将（2）中的点P向右移动1个单位得到点M．点N是平面内一点，使得以点A，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1），
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先求出点A的坐标是，把代入得，．则直线：，再求出点，故，则，得到．将代入中，解得；
（2）由点D是的中点得到，再求出直线的解析式是.由（1）可知，直线：，由，解得求出点.由轴求出，即可得到；
（3）先求出直线的解析式为，再求出点E坐标为和点．以点A，E，M，N为顶点的平行四边形分三种情况求解点N的坐标即可．
【小问1详解】
解：当时，，
∴点A的坐标是，
∵直线与直线交轴于点A，
∴把代入得，．
∴，
当时，，解得，
∵直线交x轴于点C，
∴，故，
∴，
∴．
将代入中，得，
解得．
∴，．
【小问2详解】
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴可设直线的解析式是，
将代入中得，，
解得．
∴直线的解析式是.
由（1）可知，直线：，
由，解得
∴.
∵轴，
∴，
将代入中，得，
∴，
∴．
【小问3详解】
所有符合条件的点N的坐标是或或．
∵直线向下平移5个单位长度得到直线，
∴直线的解析式为，即，
当时，，
∴点E坐标为．
点向右平移1个单位得．
以点A，E，M，N为顶点的平行四边形分下列三种情况：

①如图，当四边形为平行四边形时，
∴轴，，
∴点的坐标是．
②如图，当四边形为平行四边形时，
∴轴，，
∴点的坐标是．
③如图，当四边形为平行四边形时，
即与互相平分.
∴， 即
∴
∴点的坐标是．
综上可知，所有符合条件的点N的坐标为或或．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、一次函数的平移、一次函数的解析式、一次函数的图象的交点与二元一次方程组的解等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
26. 在正方形中，将线段BA绕着点B旋转α（），得到线段，连接．

（1）如图1，若，连接，求证：；
（2）如图2，若，过点A作交延长线于点G，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在线段旋转的过程中，直线交于点M，过点A作交直线于点G，直线交于点N．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据正方形的性质证得是等边三角形可得，再证即可证明结论；
（2）过点A作交的延长线于点H.先证可得，再证是等腰直角三角形可得，然后证明可得，再根据等腰直角三角形的性质可得即可证明结论；
（3）先说明当点E位于和的交点时最小，再根据正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质可得；设，则，运用勾股定理和可得，进而得到；再通过证明、、最终得到，最后代入计算即可解答．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
，

由题意，得，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
，
．
在和中，

∴．
．
【小问2详解】
解：．理由如下：
如图：过点A作交的延长线于点H.
∵四边形是正方形，
，
，
∴且，
∴，
∴，
∵，
∴，

∴，
在和中，

∴．
∴，
又∵，
是等腰直角三角形，即，
又，
．
在和中，

．
，
∵在等腰中，
∴，即．
【小问3详解】
解：如图：连接，
∵，
∴当点E位于和的交点时最小

如图：如图：点E位于和的交点，

∵将线段BA绕着点B旋转α（），得到线段，
∴,
∴
∵正方形,
∴，
∴,
∴，
∵,
∴,
∴,
∴,
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
在中，由勾股定理可得：，
在中，由勾股定理可得：，
∵，
∴，解得：
∴；
∵,,，
∴
∴，即,
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键学校
平均数
中位数
众数
甲
87.5
89
乙
89.5
89
C
学校
平均数
中位数
众数
甲
87.5
89
乙
89.5
89
C