八年级下册数学暑假作业 (23)

这是一份八年级下册数学暑假作业 (23)，共27页。试卷主要包含了 《义务教育课程标准等内容，欢迎下载使用。
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 2，3，4B. 1，1，C. 4，5，6D. 1，2，2
3. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：2，1，4，3，2，3，2．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A 2，3B. 2，2C. 3，2D. 3，3
4. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点F是CD的中点．若，则EF的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（ ）

A. B. C. D.
6. 如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
二．填空题(本大题共 6小题，每题 3分，共 18分)
7. 函数中自变量x的取值范围是________．
8. 若把一次函数，向下平移5个单位长度，得到图像解析式是______________．
9. 已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是_____．
10. 如图，小刚用七巧板拼了一个对角线长为正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．
11. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为___________．

12. 如图，已知线段，是的中点，直线经过点，，点是直线上一点，当为直角三角形时，则_____．
三、 (本大题共 5题， 每题6分，共 30分)
13. （1）计算：；
（2）如图，正方形中，延长至点，使得点为的中点，连接，，．求证：．

14. 先化简，再求值： ，其中 ．
15. 如图所示，线段的两端点 E，F分别是正方形的边，的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹， 不写作法)

（1）在图（1）中，以为较长对角线画菱形；
（2）在图（2）中，以为较长对角线画菱形．
16. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2，3)，B点坐标为(－2，0)，C点坐标为(0，－1)．
（1）求AC的长；
（2）求证：AC⊥BC．
17. 已知：如图一次函数与x轴相交于点，与x轴相交于点，这两个函数图象相交于点A．

（1）求出k，b的值；
（2）求的面积．
四、 (本大题共3题，每题8分，共24分)
18. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表中信息，解答下列问题：
______，______．
该调查统计数据中位数是______，众数是______．
请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
19. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

20. 冰墩墩、雪容融分别是 2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．小雅在某网店选中这两种玩偶．决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进 1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需 136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利 28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进价分别是多少；
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的 1.5倍小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润? 最大利润是多少元?
五、 (本大题共2题， 每题9分，共 18分)
21. 如图，正方形中，点P是边上的任意一点 (异于端点B、C)， 连接， 过B、D两点作 于点E，于点 F．

（1）求证：；
（2）若的周长为6， ，求的长．
22. 像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①＝ ；
②＝ ；
（2）计算：（…+）（+1）＝ ；
（3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
六、 (本大题共 12分)
23. 已知点分别在菱形的边上滑动（点不与重合），且．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若与不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由；
（3）如图3，若，请直接写出四边形的面积．
八年级下册数学暑假作业
一．选择题(本大题共 6小题，每题 3分，共18分)
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故A不是最简二次根式，不符合题意；
B、，故B不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，故D不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 2，3，4B. 1，1，C. 4，5，6D. 1，2，2
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，满足两边的平方和等于第三边的平方，即，可以构成直角三角形．
【详解】解：A. ，故此选项不符合题意
B. ，故此选项符合题意
C. ，故此选项不符合题意
D. ，故此选项不符合题意
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形是解题的关键．
3. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：2，1，4，3，2，3，2．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 2，3B. 2，2C. 3，2D. 3，3
【答案】B
【解析】
【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的众数和中位数．
【详解】将数据2，1， 4， 3， 2，3， 2按照从小到大排列是：
1，2，2，2，3， 3， 4，
∴2出现的次数最多，
∴这组数据众数是2，
而排在中间位置数是2，
∴中位数是2，
故选： B．
【点睛】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会求一组数据的众数和中位数．
4. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点F是CD的中点．若，则EF的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据平行四边形的性质得出AE=EC，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=EC，
∵点F是CD的中点，
∴DF=FC，
∴EF是△ADC的中位线，
∴2EF=AD=10cm，
∴EF=5cm，
故选：C．
【点睛】】此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是三角形中位线定理的应用．
5. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中运用勾股定理求出的长，再数轴上找出对应的数，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
∵点表示的数是，点表示的数是，
∴，且，
∴，
∵以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，
∴，
设点表示的是为，
∴，解得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查数轴上表示无理数的方法，掌握勾股定理，数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键．
6. 如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求．
【详解】A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以本选项错误；
B、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a＜0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，所以本选项错误；
C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＜0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，所以本选项正确；
D、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b经过两点（0，b）、（-，0）．注意：使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．
二．填空题(本大题共 6小题，每题 3分，共 18分)
7. 函数中自变量x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．
【详解】解：由题意可知：，解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
8. 若把一次函数，向下平移5个单位长度，得到图像解析式是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：把直线向下平移5个单位长度，得到图象解析式为：
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
9. 已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是_____．
【答案】5.5
【解析】
【详解】【分析】先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．
【详解】∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，
∴x，y中至少有一个5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴（4+x+5+y+7+9）=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是×（5+6）=5.5，
故答案为5.5．
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数等概念，熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出x，y中至少有一个是5是解本题的关键.
10. 如图，小刚用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，根据正方形的性质可知是等腰直角三角形，由此即可求证的长，拼成长方形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，正方形，，
∴，是等腰直角三角形，
在中，，且，
∴，
∴，
拼成一个长方形如图所示，，连接，
∴，
在中，，
∴长方形的对角线长为．
【点睛】本题主要考查正方形与长方形的综合，掌握正方形，长方形的性质，勾股定理求边长是解题的关键．
11. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】由菱形的性质得，，，再求出，然后由菱形面积求出，即可解决问题．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
菱形的面积，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12. 如图，已知线段，是的中点，直线经过点，，点是直线上一点，当为直角三角形时，则_____．
【答案】2或或．
【解析】
【分析】分、、三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】解：如图：
∵，
∴当时，，
当时，∵，
∴，
∴，
当时，∵，
∴，
故答案为2或或．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
三、 (本大题共 5题， 每题6分，共 30分)
13. （1）计算：；
（2）如图，正方形中，延长至点，使得点为的中点，连接，，．求证：．

【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先化简各项，再根据二次根式的加减法进行计算即可；
（2）由正方形的性质可得，，再由中点的性质可得，进而可得，推出四边形是平行四边形，即可得证．
【详解】（1）解：原式
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，即，
点为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，正方形的性质，中点的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
14. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】，
【解析】
【分析】先将分子分母进行因式分解，再约分，合并，即可化简，最后将a是值代入求解即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
15. 如图所示，线段的两端点 E，F分别是正方形的边，的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹， 不写作法)

（1）在图（1）中，以为较长对角线画菱形；
（2）在图（2）中，以为较长对角线画菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，交于H，由矩形的性质可得，连接，交于G，可得，再由左右两个矩形是全等的矩形，可得，从而可得答案；
（2）连接，交于点N，连接交于M，由正方形的对称性可得，，再通过证明全等三角形的性质可得，从而可得结论．
【小问1详解】
解：菱形即为所求．
【小问2详解】
解：菱形即为所求．
．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，熟练的利用特殊四边形的性质进行作图是解本题的关键．
16. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2，3)，B点坐标为(－2，0)，C点坐标为(0，－1)．
（1）求AC的长；
（2）求证：AC⊥BC．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平面直角坐标系和勾股定理，即可得解；
（2）首先根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，即可得证.
【详解】(1)根据勾股定理，得
AC=
(2)同理BC2=12＋22=5，AB2=32＋42=25，
AC2=20
∴ BC2＋AC2=AB2
∴ △ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴ AC⊥BC.
【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中勾股定理运用以及勾股定理逆定理的运用，熟练掌握，即可解题.
17. 已知：如图一次函数与x轴相交于点，与x轴相交于点，这两个函数图象相交于点A．

（1）求出k，b的值；
（2）求的面积．
【答案】（1），；
（2）9．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法分别求解即可；
（2）联立求得交点A的坐标，利用三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：把代入中，得，
解得，
把代入中，得，
解得；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
联立，解得，
∴点A的坐标为，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
四、 (本大题共3题，每题8分，共24分)
18. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
______，______．
该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
【答案】17、20；2次、2次；；人．
【解析】
【分析】(1)先由借阅1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
(2)根据中位数和众数的定义求解；
(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；
(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
【详解】解：被调查的总人数为人，
，，即，
故答案为17、20；
由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为2次、2次；
扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为；
估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为人．
【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法.
19. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.
【解析】
【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
20. 冰墩墩、雪容融分别是 2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．小雅在某网店选中这两种玩偶．决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进 1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需 136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利 28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进价分别是多少；
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的 1.5倍小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润? 最大利润是多少元?
【答案】（1）冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个
（2）冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元
【解析】
【分析】（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，由题意可得： ，计算求解即可；
（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进个，利润为w元，由题意可得，，，解得，根据一次函数的图象与性质进行求解作答即可．
【小问1详解】
解：设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，
由题意可得： ，
解得 ，
答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个；
【小问2详解】
解：设冰墩墩购进a个，则雪容融购进个，利润w元，
由题意可得，，
，解得，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴，
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
五、 (本大题共2题， 每题9分，共 18分)
21. 如图，正方形中，点P是边上的任意一点 (异于端点B、C)， 连接， 过B、D两点作 于点E，于点 F．

（1）求证：；
（2）若的周长为6， ，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据正方形的性质和垂直的定义得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，，即可得出结论；
（2）先得出，设，则，由勾股定理得：，求出，进而得出答案．
【小问1详解】
证明:∵，，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
，
∴，
在和中.
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
∵的周长为6，，
∴，
设，则，
由勾股定理得：
，即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
22. 像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①＝ ；
②＝ ；
（2）计算：（…+）（+1）＝ ；
（3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）2020；（3）a＞b＞c，见解析
【解析】
【分析】（1）①将二次根式分母有理化进行计算；
②先确定分母有理化因式，然后进行计算；
（2）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解；
（3）通过比较，，的倒数，然后进行，，的大小比较．
【详解】解：（1）①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
（2）原式
，
故答案为：2020；
（3），
同理：，
，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键．
六、 (本大题共 12分)
23. 已知点分别在菱形的边上滑动（点不与重合），且．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若与不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由；
（3）如图3，若，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）（1）中的结论还成立，证明见解析；（3）四边形的面积为．
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质及已知，得到，再证，
根据三角形全等的性质即可得到结论；
（2）作，垂足分别为点，证明，根据三角形全等的性质即可得到结论；
（3）根据菱形的面积公式，结合（2）的结论解答.
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，．
∵，∴，
∴．
∵，∴，∴．
在和中，，
∴，
∴．
（2）若与不垂直，（1）中的结论还成立证明如下：
如图，作，垂足分别为点．
由（1）可得，
∴，
在和中，，
∴，∴．
（3）如图，连接交于点．
∵，∴为等边三角形，
∵，∴，同理，，
∴四边形的面积四边形的面积，
由（2）得四边形的面积四边形AECF的面积
∵，
∴，，
∴四边形的面积为，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，菱形的性质的应用.主要考查学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键借阅图书的次数
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