北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练37　数学归纳法

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解:由f(n)=(2n+7)·3n+m,得f(1)=27+m,f(2)=99+m,
所以27+m=36,99+m=3×36,
由此猜想m=9.
下面用数学归纳法证明,
(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,f(k)能被36整除,
即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除.则当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1),
由于3k-1-1是2的倍数,
故18(3k-1-1)能被36整除.
这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最小值为9.
2.已知数列{an}的首项a1=3,an+1=2an+1(n∈N+).
(1)写出数列{an}的前5项,并归纳猜想{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中所猜想的通项公式.
(1)解:a1=3;a2=2a1+1=7;a3=2a2+1=15;a4=2a3+1=31;a5=2a4+1=63.
由此归纳猜想出数列{an}的通项公式为an=2n+1-1.
(2)证明:当n=1时,a1=21+1-1=3,显然成立.假设当n=k(k∈N+)时猜想成立,即有ak=2k+1-1,则ak+1=2ak+1=2×(2k+1-1)+1=2k+2-1=2(k+1)+1-1.
显然,当n=k+1时猜想也成立.故an=2n+1-1.
3.平面内有n(n≥2)个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,记这n个圆的交点个数为f(n),猜想f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.
解:当n=2时,f(2)=2=1×2,当n=3时,f(3)=2+4=6=2×3,
当n=4时,f(4)=6+6=12=3×4,当n=5时,f(5)=12+8=20=4×5,
猜想f(n)=n(n-1)(n≥2,n∈N+).
下面用数学归纳法给出证明:
①当n=2时,f(2)=2=2×(2-1),猜想成立.
②假设当n=k(k≥2,k∈N+)时猜想成立,即f(k)=k(k-1),
则当n=k+1时,其中任意1个圆与其余k个圆各有两个交点,而由假设知这k个圆有f(k)个交点,
所以这k+1个圆的交点个数f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2k=k2+k=(k+1)[(k+1)-1],
即当n=k+1时猜想也成立.
由①②知f(n)=n(n-1)(n≥2,n∈N+).
4.已知数列{an}的各项均为正数a1+a2+…+an=Sn,S1·S2·…·Sn=Tn,且Sn+Tn=1,n∈N+,求数列1an前10项的和.
解:由S1·S2·…·Sn=Tn,Sn+Tn=1,所以S1·S2·…·Sn=1-Sn.
当n=1时,S1=12,当n=2时,S2=23,当n=3时,S3=34,所以猜想Sn=nn+1,则S1·S2·…·Sn=Tn=1n+1(n∈N+).用数学归纳法证明:当n=1时,左边=12=右边,猜想成立.假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立,即S1·S2·…·Sk=1k+1,则当n=k+1时,左边=S1·S2·…·Sk·Sk+1=1k+1·k+1k+2=1k+2=Tk+1,所以对任意的n∈N*,Sn=nn+1,
所以an=Sn-Sn-1=1n(n+1)(n≥2),当n=1时,a1=12符合上式,
所以an=1n(n+1),则1an=n(n+1),n∈N+,
所以数列1an前10项的和为1×2+2×3+…+10×11=440.