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北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练7 函数的奇偶性与周期性
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这是一份北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练7 函数的奇偶性与周期性,共5页。试卷主要包含了若函数f=x为奇函数,则a=等内容,欢迎下载使用。
1.(2021甘肃兰州高三检测)若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a=( )
A.12B.23C.34D.1
答案:A
解析:∵f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,∴f(-1)+f(1)=0,得a=12.
2.(2021江西南昌高三检测)下列函数中既是定义域上的偶函数,又在(0,+∞)上递增的函数是( )
A.y=-1|x|B.y=12|x|
C.y=|x-1|D.y=|ln x|
答案:A
解析:对A,函数y=-1|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且满足f(-x)=-1|-x|=-1|x|=f(x),所以函数y=-1|x|为定义域上的偶函数,
又由当x∈(0,+∞)时,可得y=-1x,可得函数在(0,+∞)上是增加的,符合题意;
对B,当x∈(0,+∞)时,函数y=12x是减少的,不符合题意;
对C,函数y=|x-1|不是偶函数,不符合题意;
对D,根据对数函数的图像与性质,可得函数y=|ln x|不是偶函数,不符合题意.
3.(2021全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f-13=13,则f53=( )
A.-53B.-13C.13D.53
答案:C
解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵f(x+1)=f(-x),∴f(x+1)=-f(x),
则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
∴函数f(x)的周期为2,则f53=f2-13=f-13=13.故选C.
4.(2021河南开封高三模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=lg3(x2+2),则f(-2 021)=( )
A.1B.lg 9C.lg 3D.0
答案:A
解析:由f(x)满足f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x),
所以函数f(x)的周期T=2,且当0≤x≤1时,f(x)=lg3(x2+2),f(x)为偶函数,所以f(-2 021)=f(2 021)=f(1)=lg33=1.
5.(2021江苏连云港高三模拟改编)函数f(x)的定义域为R,且f(x)与f(x+1)都为奇函数,则下列说法错误的是( )
A.f(x-1)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x+3)为奇函数D.f(x+2)为偶函数
答案:D
解析:由题意知:f(-x-1)+f(x+1)=0且f(-x+1)+f(x+1)=0,
∴f(1-x)=f(-1-x),即f(x-1)=f(x+1),可得f(x)=f(x+2),
∴f(x)是周期为2的函数,且f(x-1),f(x+2)为奇函数,故A,B正确,D错误;
由上知:f(x+1)=f(x+3),
即f(x+3)为奇函数,C正确.
6.(2021重庆巴蜀中学高三月考)函数f(x)=ax+2x2x-1是偶函数,则实数a= .
答案:1
解析:因为f(x)=ax+2x2x-1(x≠0),且f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
-ax-2x2-x-1=ax+2x2x-1,-a-22-x-1=a+22x-1,2a+22x-1−2×2x2x-1=0,即2a=2,所以实数a=1.
7.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增加的,且在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则f(6)+f(-3)的值为 .
答案:9
解析:由于f(x)在[3,6]上是增加的,所以f(x)的最大值为f(6)=8,f(x)的最小值为f(3)=-1,因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=1,所以f(6)+f(-3)=8+1=9.
8.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+8)+f(x)=0,且f(5)=5,则f(2 019)+f(2 024)= .
答案:5
解析:因为f(x+8)+f(x)=0,所以f(x+8)=-f(x),所以f(x+16)=-f(x+8)=f(x),所以函数y=f(x)是以16为周期的周期函数.
又在f(x+8)+f(x)=0中,令x=0得f(8)+f(0)=0,
且奇函数y=f(x)是定义在R上的函数,所以f(0)=0,故f(8)=0,
所以f(2 024)=f(16×126+8)=f(8)=0.
又在f(x+8)+f(x)=0中,令x=-3,得f(5)+f(-3)=0,得f(5)=-f(-3)=f(3)=5,则f(2 019)=f(16×126+3)=f(3)=5,
所以f(2 019)+f(2 024)=5.
综合提升组
9.(2021贵州贵阳高三检测)已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数,任意x1,x2∈[3,+∞)满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则不等式f(3x-1)0,
所以f(x)在[3,+∞)上是递增的,在(-∞,3)上是递减的,
故f(3x-1)