北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练31　等比数列

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1.(2021陕西西安二模)在等比数列{an}中,a3a7=9,则a5=( )
A.±3B.3C.±3D.3
答案:A
解析:由等比数列的性质,可得a52=a3a7=9,则a5=±3.
2.(2021四川成都三诊)已知数列{an}为等比数列,则“a6>a5>0”是“数列{an}为递增数列”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
答案:B
解析:设数列{an}的公比为q.充分性:当a6>a5>0时,q=a6a5>1,且a1=a5q4>0,则数列{an}为递增数列;
必要性:当数列{an}为递增数列时,若a11的n的最大值为 .
答案:-12 3
解析:因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q=a2+a4a1+a3=-510=-12.
所以a1+a3=a1+q2a1=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8×-12n-1,
所以当n为偶数时,an0.
要使an>1,则4-n>0且n为奇数,即n0.
因为a6=2,a4+a5=12,所以a4+a5=a6q2+a6q=2q2+2q=12,即6q2-q-1=(2q-1)(3q+1)=0,
所以q=12或q=-13(舍),
所以an=a6qn-6=2×12n-6=12n-7.
(2)(方法1)bn=a1a3a5…a2n-1=12-6×12-4×12-2×…×122n-8=12-6-4-2+…+2n-8=12 n2-7n.
因为函数y=12x是减函数,且当n=3或n=4时,n2-7n取得最小值-12,
所以数列{bn}的最大项为b3=b4=12-12=4 096.
(方法2)因为an=12n-7,所以a2n-1=122n-8.
又因为{an}是递减数列,a1=26>1,所以令a2n-1=122n-8=1,得n=4,所以b4=1.
所以数列{bn}的最大项为b3=b4=4 096.
10.(2021河北邯郸二模)已知数列{an}满足an>0,an+1=3an+4.
(1)证明:数列{an+2}为等比数列;
(2)若a3=25,求数列{an-n}的前n项和Sn.
(1)证明:由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2),
因为an>0,
所以an+2≠0,
所以数列{an+2}为等比数列.
(2)解:若a3=25,则an+2=(a3+2)×3n-3,
即an+2=(25+2)×3n-3,
所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,数列{an-n}的前n项和Sn=(3+32+…+3n)-(1+n)·n2-2n=3(1-3n)1-3−(1+n)·n2-2n=3n+12−n22−5n2−32.
综合提升组
11.(2021广东梅州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则S1a1+S2a2+…+S8a8= .
答案:502
解析:因为an+Sn=1,
所以当n≥2时,an-1+Sn-1=1,
两式相减,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=12an-1(n≥2);
当n=1时,可得a1+S1=2a1=1,解得a1=12.
所以数列{an}表示首项为12,公比为12的等比数列,所以an=12n,
Sn=12[1-(12) n]1-12=1-12n,所以Snan=1-(12) n(12) n=2n-1,
所以S1a1+S2a2+S3a3+…+S8a8=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=2(1-28)1-2-8=29-10=502.
12.(2021山东淄博高三)在等比数列{an}中,a1=2,公比q>1,a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,则数列{an}的前9项和是 .
答案:1 022
解析:由f(x)=13x3-6x2+32x得f'(x)=x2-12x+32,
又因为a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,
所以a2,a3是函数f'(x)=x2-12x+32=(x-4)(x-8)的两个零点,即4或8,
又因为a1=2,{an}是等比数列,所以a2=4,a3=8,故q=2.
则前9项和为2(1-29)1-2=210-2=1 022.
13.(2021河南湘豫名校联盟3月联考)已知等比数列{an}满足a1-a3=-827,a2-a4=-89,则使得a1a2…an取得最小值的n为 .
答案:3或4
解析:设公比为q,则q=a2-a4a1-a3=3,∴a1-a3=a1-a1q2=-8a1=-827,∴a1=127,a2=19,a3=13,a4=1,…,
∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.
14.(2021湖南长沙模拟预测)在等比数列{an}中,a2=2,a5=14,则满足a1a2+a2a3+…+anan+1≤212成立的n的最大值为 .
答案:3
解析:已知{an}为等比数列,设其公比为q,由a5=a2q3得,2q3=14,q3=18,解得q=12,
又a2=2,∴a1=4.
∵an+1an+2anan+1=q2=14,∴数列{anan+1}也是等比数列,其首项为a1a2=8,公比为14.
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=323(1-4-n)≤212,从而有14n≥164.
∴n≤3.故nmax=3.
15.(2021山东青岛西海岸新区高三期末)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,则{an}的通项公式an= ;若数列{bn}的通项公式bn=n,将数列{bn}中与{an}相同的项去掉,剩下的项依次构成数列{cn},{cn}的前n项和为Tn,则T100= .
答案:2n 5 545
解析:由题意,数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,
当n=1时,a1=S1=22-2=2,适合上式,
所以{an}的通项公式an=2n.
在数列{bn}的前100项中与数列{an}相同的项为2,22,23,24,25,26,
所以T100=(b1+b2+…+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+…+b106)=(b1+b2+…+b100+b101+b102+…+b106)-(2+22+23+24+25+26)=106(1+106)2−2(1-26)1-2=5 671-126=5 545.
创新应用组
16.(2021河北石家庄模拟)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EMQ的面积为S2).
有以下结论:①数列{an}是公比为23的等比数列;②S1=112;③数列{Sn}是公比为49的等比数列;④数列{Sn}的前n项和Tn