2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练7函数的奇偶性与周期性

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练7函数的奇偶性与周期性，共5页。试卷主要包含了函数f=-x的图象关于等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=-x的图象关于( )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.原点中心对称
D.直线y=x对称
2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( )
A.(1,3)
B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3)
D.(-1,0)∪(0,1)
3.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上单调递减,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )
A.f(6)>f(7)
B.f(6)>f(9)
C.f(7)>f(9)
D.f(7)>f(10)
4.设偶函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=( )
A.{x|x<-2或x>4}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6}
D.{x|x<-2或x>2}
5.(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列判断错误的有( )
A.若f(-2)>f(2),则函数f(x)在R上是增函数
B.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数
C.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数
D.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)上也单调递增,则f(x)是R上的增函数
6.(多选)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x∈[0,2)时,f(x)=2x-1.给出下列结论,其中正确的是( )
A.f(2)=0
B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心
C.函数y=f(x)在[-6,-2]上单调递增
D.函数y=f(x)在[-6,6]上有3个零点
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈(0,2)时,f(x)=x2+1,则f(7)的值为 .
9.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当x∈[-3,-1)时,f(x)=-(x+2)2,当x∈[-1,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)= .
10.已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)= .
综合提升组
11.函数f(x)=的最大值是M,最小值是m,则f(M+m)的值等于( )
A.0B.2π
C.πD.
12.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )
A.是偶函数,且在上单调递增
B.是奇函数,且在上单调递减
C.是偶函数,且在上单调递增
D.是奇函数,且在上单调递减
13.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为( )
A.2B.1
C.-1D.-2
14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x,若创新应用组
15.在下列函数中,与函数f(x)=2x-1-的奇偶性、单调性均相同的是( )
A.y=exB.y=ln(x+)
C.y=x2D.y=tan x
16.如果存在正实数a,使得f(x-a)为奇函数,f(x+a)为偶函数,我们称函数f(x)为“和谐函数”.给出下列四个函数:①f(x)=(x-1)2+5;②f(x)=cs 2x-;③f(x)=sin x+cs x;④f(x)=ln|x+1|.其中“和谐函数”的个数为 .
参考答案
课时规范练7 函数的奇偶性与周期性
1.C ∵f(-x)=-+x=--x=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数,故f(x)的图像关于原点中心对称.故选C.
2.C f(x)的图像如图.
当x∈[-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0);
当x∈[0,1)时,由xf(x)>0得x∈⌀;
当x∈[1,3]时,由xf(x)>0得x∈(1,3).
故x∈(-1,0)∪(1,3).故选C.
3.D 由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图像关于直线x=8对称.又因为f(x)在(8,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,8)上单调递增.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10),故选D.
4.B f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2).又f(x)=x3-8在[0,+∞)上单调递增,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4,故选B.
5.ACD 对于A,若f(-2)>f(2),则f(x)在R上必定不是增函数,故A错误;对于B,若函数f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2),所以若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数,故B正确;对于C,f(x)=x2,满足f(0)=0,但不是奇函数,故C错误;对于D,该函数为分段函数,在x=0处,有可能会出现右侧比左侧低的情况,故D错误.故选ACD.
6.AB 在f(x+4)=f(x)+f(2)中,令x=-2,得f(-2)=0,又因为函数y=f(x)是R上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=0,f(x+4)=f(x),故y=f(x)是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f(x)的图像的一个对称中心,所以点(4,0)也是函数y=f(x)的图像的一个对称中心,故A,B正确;作出函数f(x)的部分图像如图所示,易知函数y=f(x)在[-6,-2]上不具单调性,故C不正确;函数y=f(x)在[-6,6]上有7个零点,故D不正确.故选AB.
7.C ∵f(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图像如图中实线所示,
结合图像可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-28.-2 因为f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4.又因为f(x)是奇函数,所以f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1),由题意f(1)=12+1=2,所以f(7)=-2,故答案为-2.
9.337 由题意得函数的周期为6,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以数列{f(n)}从第一项起,每连续6项的和为1,则f(1)+f(2)+…+f(2021)=336×1+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=337.
10.2 ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.
又对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),∴当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3),
∴f(-3)=0,f(3)=-f(-3)=0,
∴f(x+6)=f(x),f(x)的周期为6.
故f(2017)=f(1)=2.
11.D 设h(x)=,则h(-x)=-h(x),所以h(x)是一个奇函数,所以函数h(x)的最大值和最小值的和是0,所以M+m=π,所以f(M+m)=,故选D.
12.D 由题意可知,f(x)的定义域为,关于原点对称.
∵f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,
∴f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
当x时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),∴f'(x)=>0,
∴f(x)在区间上单调递增.
同理,f(x)在区间上单调递减.
故选D.
13.A ∵f(x+1)为偶函数,f(x)为奇函数,
∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,
∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),
则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,
∴f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.
14.5 ∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的函数,若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],f(-x)=-3x,由题意f(-x)=f(x)=-3x.
由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x),设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间[-3,2]上的图像如图.
则由图像知两个函数有5个不同的交点,故方程有5个不相等的实数根.
15.B 由题意,f(-x)=2-x-1--2x-1=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.因为2x-1和-都为R上的增函数,所以f(x)=2x-1-为R上的增函数.对于A,y=ex不是奇函数,排除A;对于B,由f(-x)=ln(-x+)=ln=-ln(x+)=-f(x),所以f(x)为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+)为增函数,故B正确;对于C,y=x2不是奇函数,排除C;对于D,y=tanx在R上不是单调函数,排除D.故选B.
16.1 ①中f(0)=6≠0,无论正数a取什么值f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”;②中f(x)=cs2x-=sin2x,f(x)的图像向左或右平移个单位长度后其函数变为偶函数,f(x)的图像向左或右平移个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;③中f(x)=sinx+csx=sinx+,因为fx-=sinx是奇函数,fx+=csx是偶函数,故是“和谐函数”;④因为f(x)=ln|x+1|,所以只有f(x-1)=ln|x|为偶函数,而f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a使得函数f(x)是“和谐函数”.综上可知,只有③是“和谐函数”.