2023年高考数学一轮复习课时规范练7函数的奇偶性与周期性含解析北师大版文

课时规范练7　函数的奇偶性与周期性

基础巩固组

1.(2021甘肃兰州高三检测)若函数f(x)=为奇函数,则a=(　　)

A B C D.1

答案:A

解析:∵f(x)=为奇函数,∴f(-1)+f(1)=0,得a=

2.(2021江西南昌高三检测)下列函数中既是定义域上的偶函数,又在(0,+∞)上递增的函数是(　　)

A.y=- B.y=

C.y=|x-1| D.y=|ln x|

答案:A

解析:对A,函数y=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且满足f(-x)=-=-=f(x),所以函数y=-为定义域上的偶函数,

又由当x∈(0,+∞)时,可得y=-,可得函数在(0,+∞)上是增加的,符合题意;

对B,当x∈(0,+∞)时,函数y=是减少的,不符合题意;

对C,函数y=|x-1|不是偶函数,不符合题意;

对D,根据对数函数的图像与性质,可得函数y=|lnx|不是偶函数,不符合题意.

3.(2021全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f,则f=(　　)

A.- B.- C D

答案:C

解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).

∵f(x+1)=f(-x),∴f(x+1)=-f(x),

则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),

所以函数f(x)的周期为2,则f=f=f故选C.

4.(2021河南开封高三模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=log3(x2+2),则f(-2 021)=(　　)

A.1 B.lg 9 C.lg 3 D.0

答案:A

解析:由f(x)满足f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x),

所以函数f(x)的周期T=2,且当0≤x≤1时,f(x)=log3(x2+2),f(x)为偶函数,所以f(-2021)=f(2021)=f(1)=log33=1.

5.(2021江苏连云港高三模拟改编)函数f(x)的定义域为R,且f(x)与f(x+1)都为奇函数,则下列说法错误的是(　　)

A.f(x-1)为奇函数 B.f(x)为周期函数

C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+2)为偶函数

答案:D

解析:由题意知:f(-x-1)+f(x+1)=0且f(-x+1)+f(x+1)=0,

∴f(1-x)=f(-1-x),即f(x-1)=f(x+1),可得f(x)=f(x+2),

∴f(x)是周期为2的函数,且f(x-1),f(x+2)为奇函数,故A,B正确,D错误;

由上知:f(x+1)=f(x+3),

即f(x+3)为奇函数,C正确.

6.(2021重庆巴蜀中学高三月考)函数f(x)=ax+是偶函数,则实数a=　　　　　. 

答案:1

解析:因为f(x)=ax+(x≠0),且f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),

-ax-=ax+,-a-=a+,2a+=0,即2a=2,所以实数a=1.

7.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增加的,且在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则f(6)+f(-3)的值为　　　　　. 

答案:9

解析:由于f(x)在[3,6]上是增加的,所以f(x)的最大值为f(6)=8,f(x)的最小值为f(3)=-1,因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=1,所以f(6)+f(-3)=8+1=9.

8.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+8)+f(x)=0,且f(5)=5,则f(2 019)+f(2 024)=　　　　　. 

答案:5

解析:因为f(x+8)+f(x)=0,所以f(x+8)=-f(x),所以f(x+16)=-f(x+8)=f(x),所以函数y=f(x)是以16为周期的周期函数.

又在f(x+8)+f(x)=0中,令x=0得f(8)+f(0)=0,

且奇函数y=f(x)是定义在R上的函数,所以f(0)=0,故f(8)=0,

所以f(2024)=f(16×126+8)=f(8)=0.

又在f(x+8)+f(x)=0中,令x=-3,得f(5)+f(-3)=0,得f(5)=-f(-3)=f(3)=5,则f(2019)=f(16×126+3)=f(3)=5,

所以f(2019)+f(2024)=5.

综合提升组

9.(2021贵州贵阳高三检测)已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数,任意x1,x2∈[3,+∞)满足>0,则不等式f(3x-1)<4的解集为(　　)

A B(2,+∞)

C.(2,3) D

答案:D

解析:因为f(x+3)是偶函数,所以f(x)的图像关于直线x=3对称,则f(5)=f(1)=4,

因为任意x1,x2∈[3,+∞)满足>0,

所以f(x)在[3,+∞)上是递增的,在(-∞,3)上是递减的,

故f(3x-1)<4等价于1<3x-1<5,解得<x<2.

10.(2021湖南长沙雅礼中学高三月考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈(0,2)时,f(x)=(x-1)2,则函数f(x)在区间[0,4]上的零点个数为(　　)

A.3 B.5 C.2 D.4

答案:B

解析:∵f(x)为R上的奇函数,

∴f(0)=0,且f(x)图像关于原点对称,由f(x+4)=f(x)知:f(x)是周期为4的周期函数,且f(2)=f(-2+4)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,f(-2)=0.

∴f(x)部分图像如下图所示:

由图像可知f(x)在[0,4]共有5个零点,分别为x=0,x=1,x=2,x=3,x=4.

11.已知函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,满足f(2-x)=f(x),且f(x)在(-1,0)上是递减的,若a=f(),b=f(-ln 2),c=f(log318),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<c<b B.c<b<a

C.a<b<c D.b<a<c

答案:A

解析:由函数y=f(x-1)关于直线x=1对称,可得函数f(x)关于直线x=0对称,即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.又由函数f(x)满足f(2-x)=f(x),可得f(-x)=f(2-x),即f(x)=f(x+2),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,

则a=f()=f(-2),b=f(-ln 2)=f(ln 2),c=f(log318)=f(log318-2)=f(log32),

又由-2<-2=,且=log3<log32<ln2,

由f(x)在(-1,0)上是递减的,f(x)为偶函数,可得函数f(x)在(0,1)上是递增的,所以f()<f(log318)<f(-ln2),即a<c<b.

12.已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-2x.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.

解:(1)当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-2-x,又函数f(x)是奇函数,

∴f(-x)=-f(x),

∴f(x)=+2-x.又f(0)=0,

∴f(x)=

(2)∵f(x)为R上的单调函数,且f(-1)=>f(0)=0,

∴函数f(x)在R上是减函数.

∵f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,

∴f(t2-2t)<-f(2t2-k).

∵函数f(x)是奇函数,

∴f(t2-2t)<f(k-2t2).

又f(x)在R上是减函数,∴t2-2t>k-2t2对任意的t∈R恒成立,

∴3t2-2t-k>0对任意的t∈R恒成立,∴Δ=4+12k<0,解得k<-

∴实数k的取值范围为

创新应用组

13.(2021河南洛阳高三模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-5.1]=-6,[π]=3.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为(　　)

A.{-1} B.{-1,0}

C.{1} D.{0,1}

答案:B

解析:因为x∈R,f(-x)=-f(x),所以f(x)是R上的奇函数.当x>0时,0<f(x)=,

所以当x∈R时,f(x),

从而y=[f(x)]的值域为{-1,0}.

14.设周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且满足f(1)>-2,f(2)=m-,则m的取值范围是　　　　　　　　. 

答案:(-∞,-1)∪(0,3)

解析:由题意f(1)>-2,函数是奇函数,故有f(-1)<2.

又周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,

故f(2)=f(-1)<2.因为f(2)=m-,所以m-<2.

当m>0时,解得0<m<3;当m<0时,解得m<-1.所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(0,3).