(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题05数列求和之倒序相加法求和专练(原卷版+解析)

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专题05 数列求和之倒序相加法求和专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（ ）A． B． C． D．2．已知函数，则的值为（ ）A．1 B．2 C．2020 D．20213．设，为数列的前n项和，求的值是（ ）A． B．0 C．59 D．4．已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）A．2014 B．2015 C．4028 D．40305．已知函数，若等比数列满足，则（ ）．A．2020 B． C．2 D．二、填空题6．若()，则数列的通项公式是___________.7．已知函数，数列是正项等比数列，且，________.8．设函数，定义，其中，，则__________.9．已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．10．设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________.三、解答题11．在数列中，.（1）求证：数列为等差数列;（2）设数列满足，求的通项公式及的前项和.12．已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，求.13．已知函数，，为数列的前n项和，求的值.14．已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n+2﹣4（n∈N*），函数f（x）对∀x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，数列{bn}满足+f+f（1）.（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）已知数列{cn}满足cn＝an•bn，数列{cn}的前n项和为Tn，若存在正实数k，使不等式k（n2﹣9n+49）Tn＞10n2an对于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范围.16．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足．（1）分别求数列、的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．17．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.18．{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.(1)求数列{}和数列}的通项公式；(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.①记，求{}的通项公式；②求的值.19．设奇函数对任意都有求和的值；数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；20．设函数，设，．（1）求数列的通项公式．（2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．专题05 数列求和之倒序相加法求和专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（ ）A． B． C． D．【标准答案】C由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．【详解详析】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， ∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选：C．【名师指路】思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式.2．已知函数，则的值为（ ）A．1 B．2 C．2020 D．2021【标准答案】C【思路指引】设，得到，再利用倒序相加求和得解.【详解详析】解：函数，设，则有，所以，所以当时，，令，所以，故．故选：C【名师指路】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.3．设，为数列的前n项和，求的值是（ ）A． B．0 C．59 D．【标准答案】A【思路指引】由题得 ①， ②，两式相加化简即得解.【详解详析】令 ①则 ②①+②可得：，，..故选：A4．已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）A．2014 B．2015 C．4028 D．4030【标准答案】D【思路指引】根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.【详解详析】根据题意知，圆与圆相交，设交点为，， 圆，圆，相减可得直线的方程为： 圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，，．的所有项的和为．故选：D【名师指路】方法点睛：求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.5．已知函数，若等比数列满足，则（ ）．A．2020 B． C．2 D．【标准答案】A【思路指引】由函数解析式可知，，而根据等比数列的性质 恰好满足两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入，利用倒序求和解决求和问题【详解详析】∵，∴．∵数列为等比数列，且，∴．∴，∴由倒序求和可得．故选：A．二、填空题6．若()，则数列的通项公式是___________.【标准答案】【思路指引】根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式.【详解详析】， ，两式相加可得，，所以 .故答案为：【名师指路】本题考查倒序相加法求和，重点考查推理能力和计算能力，属于基础题型.7．已知函数，数列是正项等比数列，且，________.【标准答案】由，求得，根据数列是正项等比数列，由等比数列的性质，得到，结合倒序相加法求和，即可求解.【详解详析】由题意，函数，可得，又由数列是正项等比数列，且，根据等比数列的性质可得，设，则，所以，可得，即.故答案为：.【名师指路】倒序相加法求和：如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数时，求解这个数列的前项和，即可采用倒序相加法求解.8．设函数，定义，其中，，则__________.【标准答案】【思路指引】计算出，再利用倒序相加法可求得.【详解详析】对于函数，有，即，解得，对任意的，，则，因为，所以，因此，.故答案为：.9．已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．【标准答案】4032【思路指引】根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.【详解详析】根据题意知，圆与圆相交，设交点为，， 圆，圆，相减可得直线的方程为： 圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，，即，的所有项的和为．故答案为：4032．【名师指路】方法点睛：求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.10．设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________.【标准答案】【思路指引】由题设函数式易得，再由，应用倒序相加得，即可求数列的前2020项和.【详解详析】∵，又，∴，∴，∴. 故答案为：三、解答题11．在数列中，.（1）求证：数列为等差数列;（2）设数列满足，求的通项公式及的前项和.【标准答案】（1）证明见解析；（2）.【思路指引】（1）若数列为等差数列，则后一项为，所以等式左右两边同时减去，化简即可得到，则可证明结论. （2）由第（1）问的证明结果，可以求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，代入中求出，即可通过等差数列前n项和公式求出.【详解详析】解：，变形为：，即，所以数列为等差数列，首项为公差为1.（2）由（1）可知，，即，所以，所以.【名师指路】本题考查等差数列的证明，考查等差数列求和，涉及到了数列的构造，属于基础题.12．已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，求.【标准答案】（1），（2）【思路指引】（1）利用与之间的关系即可求得；根据的函数性质，利用倒序相加法即可容易求得；（2）由（1）中所求，即可求得，利用错位相减法即可求得.【详解详析】（1）因为即当时，，当时，，，即是等比数列，首项为，公比为，；因为，.故….….①+②，得，（2）因为， …. ①… ②①－②得… 则，故.【名师指路】本题考查利用的关系求数列的通项公式，以及利用错位相减法和倒序相加法求数列的前项和，涉及等比数列前项和的计算，属综合中档题.13．已知函数，，为数列的前n项和，求的值.【标准答案】【思路指引】先证明，再利用倒序相加法求和得解.【详解详析】因为. 所以设=（1）=（2）（1）+（2）得：，所以=.14．已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.【标准答案】【思路指引】由题得，所以….①….②，两式相加即得解.【详解详析】因为，.故….①….②①+②，得，.所以数列的通项公式为.15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n+2﹣4（n∈N*），函数f（x）对∀x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，数列{bn}满足+f+f（1）.（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）已知数列{cn}满足cn＝an•bn，数列{cn}的前n项和为Tn，若存在正实数k，使不等式k（n2﹣9n+49）Tn＞10n2an对于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范围.【标准答案】（1），；（2）.【思路指引】（1）利用可求的通项，利用倒序相加法可求的通项.（2）利用错位相减法求出，再利用参变分离分法可求的取值范围.【详解详析】（1）由可得即.因为，故，因为，故即. （2）.，故，所以，故.又不等式等价于：，因为，当且仅当时等号成立，故，故.16．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足．（1）分别求数列、的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．【标准答案】（1），；（2）存在，．【思路指引】（1）利用求得，利用倒序相加法求得.（2）利用错位相减求和法求得，由分离常数，结合基本不等式求得的取值范围.【详解详析】（1），，，时满足上式，故（），∵，∴，∵ ①∴ ②∴①+②，得，∴.（2）∵，∴，∴ ① ②得，即，要使得不等式恒成立，恒成立，∴对于一切的恒成立，即，令（），则，，当且仅当时等号成立，故，所以为所求．17．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.【标准答案】(1)(2)(3)【思路指引】（1）由题意可得：，由即可求解；（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.(1)因为点均在函数的图象上，所以，当时，，当时，，适合上式，所以.(2)因为，所以，所以.(3)由（1）知，可得，所以，①又因为，②因为，所以①②，得，所以.18．{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.(1)求数列{}和数列}的通项公式；(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.①记，求{}的通项公式；②求的值.【标准答案】(1)，(2)①；②【思路指引】（1）利用等差数列的通项公式将展开化简，求得首项，可得；根据递推式，确定，再写出，两式相减可求得；（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.(1)设数列{}的公差为d，则d=1，由，即，可得，所以{}的通项公式为；由可知：当，得，当时，，两式相减得；，即，所以{}是以为首项，为公比的等比数列，故.(2)①，两式相加，得所以；②，，两式相减得：，故.19．设奇函数对任意都有求和的值；数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；【标准答案】解：（1），；（2）是等差数列.【思路指引】（1）根据，且f（x）是奇函数，将代入，可求的值，再结合奇函数得到．令，即可求得结论；（2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得数列{an}是等差数列．【详解详析】解：（1）∵，且f（x）是奇函数∴ ∴，故因为，所以．令，得，即．（2）令又两式相加．所以，故，又．故数列{an}是等差数列．【名师指路】本题主要考查数列与不等式的综合问题，考查奇函数性质的应用，考查倒序相加求和，属于中档题.20．设函数，设，．（1）求数列的通项公式．（2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．【标准答案】（1）；（2）．【思路指引】（1）计算的值，然后用倒序相加法计算；（2）由裂项相消法求得，注意分类，，时可转化为求函数（数列）的最大值．【详解详析】（1）；时，，，相加得，所以，又，所以对一切正整数，有；（2），，，，即，，时，，，，即，，，，所以即时，取得最大值，，综上，．【名师指路】本题考查对数的运算，考查倒序相加法求和，考查数列不等式恒成立问题．注意一个和满足首尾两项的和与到尾两项等距离的两项的和相等时，可用倒序相加法求和，在函数式的计算中也常用到这种方法．数列不等式恒成立问题，需把不等式化简，能求和的求和，不能求和的用放缩法放缩后求和，然后还可能结合函数的知识求解，但要注意此函数的定义域是正整数集合．