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    (沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题05数列求和之倒序相加法求和专练(原卷版+解析)

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    专题05 数列求和之倒序相加法求和专练(原卷版)错误率:___________易错题号:___________一、单选题1.已知是上的奇函数,,,则数列的通项公式为( )A. B. C. D.2.已知函数,则的值为( )A.1 B.2 C.2020 D.20213.设,为数列的前n项和,求的值是( )A. B.0 C.59 D.4.已知各项都不相等的数列,2,,,圆,圆,若圆平分圆的周长,则的所有项的和为( )A.2014 B.2015 C.4028 D.40305.已知函数,若等比数列满足,则( ).A.2020 B. C.2 D.二、填空题6.若(),则数列的通项公式是___________.7.已知函数,数列是正项等比数列,且,________.8.设函数,定义,其中,,则__________.9.已知数列,2,3,,,圆,圆,若圆平分圆的周长,则数列的所有项的和为___.10.设数列的通项公式为,利用等差数列前项和公式的推导方法,可得数列的前2020项和为___________.三、解答题11.在数列中,.(1)求证:数列为等差数列;(2)设数列满足,求的通项公式及的前项和.12.已知数列的前项和为,且,函数对任意的都有,数列满足….(1)求数列,的通项公式;(2)若数列满足,是数列的前项和,求.13.已知函数,,为数列的前n项和,求的值.14.已知函数对任意的,都有,数列满足….求数列的通项公式.15.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2﹣4(n∈N*),函数f(x)对∀x∈R有f(x)+f(1﹣x)=1,数列{bn}满足+f+f(1).(1)分别求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)已知数列{cn}满足cn=an•bn,数列{cn}的前n项和为Tn,若存在正实数k,使不等式k(n2﹣9n+49)Tn>10n2an对于一切的n∈N*恒成立,求k的取值范围.16.已知数列的前n项和,函数对任意的都有,数列满足.(1)分别求数列、的通项公式;(2)若数列满足,是数列的前n项和,是否存在正实数,使不等式对于一切的恒成立?若存在请指出的取值范围,并证明;若不存在请说明理由.17.已知函数,数列的前n项和为,点均在函数的图象上,函数.(1)求数列的通项公式;(2)求的值;(3)令,求数列的前2020项和.18.{}是公差为1的等差数列,.正项数列{}的前n项和为,且.(1)求数列{}和数列}的通项公式;(2)在和之间插入1个数,使,,成等差数列,在和之间插入2个数,,使,,,成等差数列,…,在和之间插入n个数,,…,,使,,,…,,成等差数列.①记,求{}的通项公式;②求的值.19.设奇函数对任意都有求和的值;数列满足:,数列是等差数列吗?请给予证明;20.设函数,设,.(1)求数列的通项公式.(2)若,,数列的前项和为,若对一切成立,求的取值范围. 专题05 数列求和之倒序相加法求和专练(解析版)错误率:___________易错题号:___________一、单选题1.已知是上的奇函数,,,则数列的通项公式为( )A. B. C. D.【标准答案】C由在上为奇函数,知,令,则,得到.由此能够求出数列的通项公式.【详解详析】由题已知是上的奇函数,故,代入得:, ∴函数关于点对称,令,则,得到,∵,,倒序相加可得,即,故选:C.【名师指路】思路点睛:利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心,再用换元法得到,最后利用倒序相加法求解数列的通项公式.2.已知函数,则的值为( )A.1 B.2 C.2020 D.2021【标准答案】C【思路指引】设,得到,再利用倒序相加求和得解.【详解详析】解:函数,设,则有,所以,所以当时,,令,所以,故.故选:C【名师指路】方法点睛:数列求和常用的方法有:(1)公式法;(2)错位相减法;(3)裂项相消法;(4)分组求和法;(5)倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.3.设,为数列的前n项和,求的值是( )A. B.0 C.59 D.【标准答案】A【思路指引】由题得 ①, ②,两式相加化简即得解.【详解详析】令 ①则 ②①+②可得:,,..故选:A4.已知各项都不相等的数列,2,,,圆,圆,若圆平分圆的周长,则的所有项的和为( )A.2014 B.2015 C.4028 D.4030【标准答案】D【思路指引】根据两圆的关系求出两圆的公共弦,求出圆的圆心,得到,利用倒序相加法即可求得结果.【详解详析】根据题意知,圆与圆相交,设交点为,, 圆,圆,相减可得直线的方程为: 圆平分圆的周长,直线经过圆的圆心,,.的所有项的和为.故选:D【名师指路】方法点睛:求数列和常用的方法:(1)等差等比数列:分组求和法;(2)倒序相加法;(3)(数列为等差数列):裂项相消法;(4)等差等比数列:错位相减法.5.已知函数,若等比数列满足,则( ).A.2020 B. C.2 D.【标准答案】A【思路指引】由函数解析式可知,,而根据等比数列的性质 恰好满足两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入,利用倒序求和解决求和问题【详解详析】∵,∴.∵数列为等比数列,且,∴.∴,∴由倒序求和可得.故选:A.二、填空题6.若(),则数列的通项公式是___________.【标准答案】【思路指引】根据自变量的和为1时,函数值的和为2,运用数列的求和方法,倒序相加法求和,计算数列的通项公式.【详解详析】, ,两式相加可得,,所以 .故答案为:【名师指路】本题考查倒序相加法求和,重点考查推理能力和计算能力,属于基础题型.7.已知函数,数列是正项等比数列,且,________.【标准答案】由,求得,根据数列是正项等比数列,由等比数列的性质,得到,结合倒序相加法求和,即可求解.【详解详析】由题意,函数,可得,又由数列是正项等比数列,且,根据等比数列的性质可得,设,则,所以,可得,即.故答案为:.【名师指路】倒序相加法求和:如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数时,求解这个数列的前项和,即可采用倒序相加法求解.8.设函数,定义,其中,,则__________.【标准答案】【思路指引】计算出,再利用倒序相加法可求得.【详解详析】对于函数,有,即,解得,对任意的,,则,因为,所以,因此,.故答案为:.9.已知数列,2,3,,,圆,圆,若圆平分圆的周长,则数列的所有项的和为___.【标准答案】4032【思路指引】根据两圆的关系求出两圆的公共弦,求出圆的圆心,得到,利用倒序相加法即可求得结果.【详解详析】根据题意知,圆与圆相交,设交点为,, 圆,圆,相减可得直线的方程为: 圆平分圆的周长,直线经过圆的圆心,,即,的所有项的和为.故答案为:4032.【名师指路】方法点睛:求数列和常用的方法:(1)等差等比数列:分组求和法;(2)倒序相加法;(3)(数列为等差数列):裂项相消法;(4)等差等比数列:错位相减法.10.设数列的通项公式为,利用等差数列前项和公式的推导方法,可得数列的前2020项和为___________.【标准答案】【思路指引】由题设函数式易得,再由,应用倒序相加得,即可求数列的前2020项和.【详解详析】∵,又,∴,∴,∴. 故答案为:三、解答题11.在数列中,.(1)求证:数列为等差数列;(2)设数列满足,求的通项公式及的前项和.【标准答案】(1)证明见解析;(2).【思路指引】(1)若数列为等差数列,则后一项为,所以等式左右两边同时减去,化简即可得到,则可证明结论. (2)由第(1)问的证明结果,可以求出数列的通项公式,进而求出数列的通项公式,代入中求出,即可通过等差数列前n项和公式求出.【详解详析】解:,变形为:,即,所以数列为等差数列,首项为公差为1.(2)由(1)可知,,即,所以,所以.【名师指路】本题考查等差数列的证明,考查等差数列求和,涉及到了数列的构造,属于基础题.12.已知数列的前项和为,且,函数对任意的都有,数列满足….(1)求数列,的通项公式;(2)若数列满足,是数列的前项和,求.【标准答案】(1),(2)【思路指引】(1)利用与之间的关系即可求得;根据的函数性质,利用倒序相加法即可容易求得;(2)由(1)中所求,即可求得,利用错位相减法即可求得.【详解详析】(1)因为即当时,,当时,,,即是等比数列,首项为,公比为,;因为,.故….….①+②,得,(2)因为, …. ①… ②①-②得… 则,故.【名师指路】本题考查利用的关系求数列的通项公式,以及利用错位相减法和倒序相加法求数列的前项和,涉及等比数列前项和的计算,属综合中档题.13.已知函数,,为数列的前n项和,求的值.【标准答案】【思路指引】先证明,再利用倒序相加法求和得解.【详解详析】因为. 所以设=(1)=(2)(1)+(2)得:,所以=.14.已知函数对任意的,都有,数列满足….求数列的通项公式.【标准答案】【思路指引】由题得,所以….①….②,两式相加即得解.【详解详析】因为,.故….①….②①+②,得,.所以数列的通项公式为.15.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2﹣4(n∈N*),函数f(x)对∀x∈R有f(x)+f(1﹣x)=1,数列{bn}满足+f+f(1).(1)分别求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)已知数列{cn}满足cn=an•bn,数列{cn}的前n项和为Tn,若存在正实数k,使不等式k(n2﹣9n+49)Tn>10n2an对于一切的n∈N*恒成立,求k的取值范围.【标准答案】(1),;(2).【思路指引】(1)利用可求的通项,利用倒序相加法可求的通项.(2)利用错位相减法求出,再利用参变分离分法可求的取值范围.【详解详析】(1)由可得即.因为,故,因为,故即. (2).,故,所以,故.又不等式等价于:,因为,当且仅当时等号成立,故,故.16.已知数列的前n项和,函数对任意的都有,数列满足.(1)分别求数列、的通项公式;(2)若数列满足,是数列的前n项和,是否存在正实数,使不等式对于一切的恒成立?若存在请指出的取值范围,并证明;若不存在请说明理由.【标准答案】(1),;(2)存在,.【思路指引】(1)利用求得,利用倒序相加法求得.(2)利用错位相减求和法求得,由分离常数,结合基本不等式求得的取值范围.【详解详析】(1),,,时满足上式,故(),∵,∴,∵ ①∴ ②∴①+②,得,∴.(2)∵,∴,∴ ① ②得,即,要使得不等式恒成立,恒成立,∴对于一切的恒成立,即,令(),则,,当且仅当时等号成立,故,所以为所求.17.已知函数,数列的前n项和为,点均在函数的图象上,函数.(1)求数列的通项公式;(2)求的值;(3)令,求数列的前2020项和.【标准答案】(1)(2)(3)【思路指引】(1)由题意可得:,由即可求解;(2)求出的表达式,由指数的运算即可求解;(3)结合(2)的结论,利用倒序相加法即可求解.(1)因为点均在函数的图象上,所以,当时,,当时,,适合上式,所以.(2)因为,所以,所以.(3)由(1)知,可得,所以,①又因为,②因为,所以①②,得,所以.18.{}是公差为1的等差数列,.正项数列{}的前n项和为,且.(1)求数列{}和数列}的通项公式;(2)在和之间插入1个数,使,,成等差数列,在和之间插入2个数,,使,,,成等差数列,…,在和之间插入n个数,,…,,使,,,…,,成等差数列.①记,求{}的通项公式;②求的值.【标准答案】(1),(2)①;②【思路指引】(1)利用等差数列的通项公式将展开化简,求得首项,可得;根据递推式,确定,再写出,两式相减可求得;(2)①根据等差数列的性质,采用倒序相加法求得结果;②根据数列的通项的特征,采用错位相减法求和即可.(1)设数列{}的公差为d,则d=1,由,即,可得,所以{}的通项公式为;由可知:当,得,当时,,两式相减得;,即,所以{}是以为首项,为公比的等比数列,故.(2)①,两式相加,得所以;②,,两式相减得:,故.19.设奇函数对任意都有求和的值;数列满足:,数列是等差数列吗?请给予证明;【标准答案】解:(1),;(2)是等差数列.【思路指引】(1)根据,且f(x)是奇函数,将代入,可求的值,再结合奇函数得到.令,即可求得结论;(2)利用倒序相加法结合第一问的结论,求出Sn,进而求出数列{an}的通项公式,再根据定义即可证得数列{an}是等差数列.【详解详析】解:(1)∵,且f(x)是奇函数∴ ∴,故因为,所以.令,得,即.(2)令又两式相加.所以,故,又.故数列{an}是等差数列.【名师指路】本题主要考查数列与不等式的综合问题,考查奇函数性质的应用,考查倒序相加求和,属于中档题.20.设函数,设,.(1)求数列的通项公式.(2)若,,数列的前项和为,若对一切成立,求的取值范围.【标准答案】(1);(2).【思路指引】(1)计算的值,然后用倒序相加法计算;(2)由裂项相消法求得,注意分类,,时可转化为求函数(数列)的最大值.【详解详析】(1);时,,,相加得,所以,又,所以对一切正整数,有;(2),,,,即,,时,,,,即,,,,所以即时,取得最大值,,综上,.【名师指路】本题考查对数的运算,考查倒序相加法求和,考查数列不等式恒成立问题.注意一个和满足首尾两项的和与到尾两项等距离的两项的和相等时,可用倒序相加法求和,在函数式的计算中也常用到这种方法.数列不等式恒成立问题,需把不等式化简,能求和的求和,不能求和的用放缩法放缩后求和,然后还可能结合函数的知识求解,但要注意此函数的定义域是正整数集合.

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