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2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题08 反比例函数与几何图形的综合问题（含解析）
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这是一份2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题08 反比例函数与几何图形的综合问题（含解析），共36页。试卷主要包含了反比例函数与几何图形的综合等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
K值的几何意义
利用K值求图形的面积
．
2.反比例函数与几何图形的综合
利用反比例函数的性质与几何图形的性质综合考查，同时考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，注意分类讨论．
1．（2023·广东深圳·中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位于平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 恰好经过点C，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点C作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 点旋转至 SKIPIF 1 < 0 的位置，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，从而得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，解直角三角形求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进一步求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化 SKIPIF 1 < 0 性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2024·广东珠海·一模）如图1，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，且a、b满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点E， 且E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过C、D两点．
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求反比例函数解析式；
(3)以线段 SKIPIF 1 < 0 为对角线作正方形 SKIPIF 1 < 0 （如图2），点T是边 SKIPIF 1 < 0 上一动点，M是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于N，当点T在 SKIPIF 1 < 0 上运动时， SKIPIF 1 < 0 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ，不发生改变，理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，根据斜边上的中线得到， SKIPIF 1 < 0 由此即可得出结论．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 E为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过C、D两点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 的值不发生改变，
理由：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∵M是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为，四边形 SKIPIF 1 < 0 内角和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的值不发生改变．
【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用．
题型一 K值的几何意义
1．（2024·广东深圳·一模）如图，A是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上一点，过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】此题考查了求反比例函数的比例系数，设点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案．
【详解】解：设点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点A在第二象限，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上一点，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2024·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰 SKIPIF 1 < 0 的底边 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，顶点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 几何意义，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，结合等腰三角形性质推出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 的面积，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据反比例函数 SKIPIF 1 < 0 几何意义得到 SKIPIF 1 < 0 进行求解，即可解题．
【详解】解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2024·广东广州·一模）如图，平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 与x轴相切于点B，作直径 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得 SKIPIF 1 < 0 ，由切线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：∵点C在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5．
题型二 反比例函数与三角形的综合问题
1．（2023·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上， SKIPIF 1 < 0 轴于点A，将 SKIPIF 1 < 0 向右平移得到 SKIPIF 1 < 0 '，双曲线交边 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交边 SKIPIF 1 < 0 于点D．
(1)求k，a的值；
(2)求点D的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）用待定系数法求出k的值，然后把点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入解析式求出a的值；
（2）根据平移可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过C点作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，即 SKIPIF 1 < 0 ，进而即可求解.
【详解】（1）解：把点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过C点作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，
由平移可得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，平移的性质，锐角三角函数，掌握平移的性质是解题的关键．
2．（2023·广东茂名·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 一腰 SKIPIF 1 < 0 分别与x轴交于A点，与y轴交于B点，已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 顶点C恰好在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上时，求k值；
(3)把 SKIPIF 1 < 0 沿x轴向右平移a个单位后，点B恰好落在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上，求a的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）过点C作x轴的垂线，垂足为H．先证 SKIPIF 1 < 0 （AAS）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，于是根据待定系数法即可求解；
（3）将点B向右平移a个单位后，得到 SKIPIF 1 < 0 ， 把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（1）解：设直线 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过点C作x轴的垂线，垂足为H．
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 轴．
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵点C在反比例函数图象上
∴把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）由（2）可知，反比例函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点B向右平移a个单位后，得到 SKIPIF 1 < 0
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数数反比例函数的解析式，求自变量的值，熟练掌握待定系数法求一次函数数反比例函数的解析式是解题的关键．
题型三 反比例函数与平行四边形的综合问题
1．（2023·广东佛山·二模）如图，已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点C．
(1)求k的值及直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式：
(2)求四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式；
（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．
【详解】（1）解：依题意有：点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图，作CD⊥OA于点D，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长为： SKIPIF 1 < 0 ，
即四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长为6+2 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查求反比例函数解析式，求一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的性质等，解题的关键是通过平行四边形的性质求出点B的坐标．
2．（2023·广东佛山·三模）如图，以平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的顶点O为原点，边 SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ，过点A的反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交 SKIPIF 1 < 0 于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是 SKIPIF 1 < 0 的中点吗？请说明理由；
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)理由见解析
(3)四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数的解析式，一次函数的解析式．
（1）根据平行四边形的性质即可求出B点坐标；
（2）由点A的坐标进可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，即可求出D点坐标，即可得出结论；
（3）由（2）知点D为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，即可求出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．．
【详解】（1）解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，A、C的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：把点 SKIPIF 1 < 0 代入反比例函数 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
解方程组
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
即点D为 SKIPIF 1 < 0 的中点；
（3）解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型四 反比例函数与矩形的综合问题
1．（2023·广东肇庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形 SKIPIF 1 < 0 的顶点A、D在坐标轴上，其坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 轴．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 对应的函数解析式
(2)若反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过 SKIPIF 1 < 0 的中点M，请判断这个反比例函数的图象是否经过点B，并说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)点B不在反比例函数图象上，理由见解析．
【分析】本题主要考查的是矩形的性质、反比例函数的性质、全等三角形的性质和判定：
（1）过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为E．先证明 SKIPIF 1 < 0 ，依据相似三角形的性质可求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得 SKIPIF 1 < 0 的长，故此可得到点C的坐标，设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将点C，D的坐标代入求解即可；
（2）过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ．先证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得点B的坐标，然后再求得反比例反函数比例系数k的值，然后根据点B的坐标是否符合函数解析式进行判断即可．
【详解】（1）如图所示：过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为E．
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标代入得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B不在反比例函数图象上．
2．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形 SKIPIF 1 < 0 的两边 SKIPIF 1 < 0 分别在坐标轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点D，并与 SKIPIF 1 < 0 分别交于点E、F．一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过E、F两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点P是x轴上一动点，当 SKIPIF 1 < 0 的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，一次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得反比例函数表达式；再求出点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则此时 SKIPIF 1 < 0 最小．求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式后令 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到点 SKIPIF 1 < 0 坐标．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
∴由中点坐标公式可得点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∴点 SKIPIF 1 < 0 和点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴一次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则此时 SKIPIF 1 < 0 最小．如图．
由 SKIPIF 1 < 0 坐标可得对称点 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 坐标，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．
3．（2023·广东清远·三模）如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，F是 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 边交于点E．
(1)当F为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先利用坐标与图形求得点F坐标，再利用待定系数法求解k值即可求解；
（2）易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用坐标与图形和三角形的面积公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵F为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点F在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴该函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵在边 SKIPIF 1 < 0 上，不与A，B重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，S有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解答的关键．
4．（2023·广东汕头·三模）如图，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的图像经过矩形 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边的中点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线的解析式；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标：
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一动点，使得 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
(3)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设矩形 SKIPIF 1 < 0 的长 SKIPIF 1 < 0 ，宽 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，分别表示出 SKIPIF 1 < 0 的面积，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求出点 SKIPIF 1 < 0 横坐标，纵坐标的关系，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，根据勾股定理可的 SKIPIF 1 < 0 的关系，联立方程即可求解；
（3）根据题意，分类讨论，以 SKIPIF 1 < 0 为底，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ，运用相似三角形求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，由此即求出 SKIPIF 1 < 0 的直线解析式，再根据与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，图形结合即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设矩形 SKIPIF 1 < 0 的长 SKIPIF 1 < 0 ，宽 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 边中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数图像上，且反比例函数图像在第一象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴双曲线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
在 SKIPIF 1 < 0 中，根据勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：①当 SKIPIF 1 < 0 时，以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 所在直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式是为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 所在直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式是为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，掌握坐标与图形的性质，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 与几何图形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题的关键．
题型五 反比例函数与菱形的综合问题
1．（2023·广东江门·二模）如图，已知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式．
【答案】(1)见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，再根据勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，根据矩形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 根据菱形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，待定系数法即可得到结论；
【详解】（1）证明：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 此反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2023·广东珠海·一模）如图1，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点C在x轴负半轴上，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过点B，且交 SKIPIF 1 < 0 边于点D，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数 SKIPIF 1 < 0 于点N．在点P运动过程中，直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先求出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据菱形性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，然后用待定系数法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式即可；
（2）根据B点坐标求出k的值，再求出点D坐标，然后利用 SKIPIF 1 < 0 求出结果即可；
（3）分两种情况讨论，分别画出图形，根据平行四边形的性质求出点N的坐标即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点D的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：存在；理由如下：
当四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形时，如图所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形时，如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴此时 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时 SKIPIF 1 < 0 ；
综上分析可知，点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相关图形，利用数形结合思想解决问题．
题型六 反比例函数与正方形的综合问题
1．（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的图象经过点C，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点C顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，点A的对应点恰好落在y轴点 SKIPIF 1 < 0 处，过点C作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E．
(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形；
(2)求反比例函数的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查反比例函数与几何综合题，涉及全等三角形的判定与性质，正方形的判定，待定系数法等知识，运用数形结合思想解题是解题的关键．
（1）先证明四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 从而得证；
（2）先得出点C的坐标，再运用待定系数法求解即可．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 轴于点D，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E． SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形；
（2）设正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为a，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的解析式： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2024·广东广州·一模）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，在第一象限的图象经过正方形的顶点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和反比例函数的解析式：
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合），在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使以点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形的性质分别求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而求出反比例函数解析式；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，同（1）得出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 分别为对角线，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的关系式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
同（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合），点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
综上所述：以点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2023·广东湛江·三模）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与坐标轴交于A、D两点，以 SKIPIF 1 < 0 为边在 SKIPIF 1 < 0 右侧作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，过C作 SKIPIF 1 < 0 轴于G点．过点C的反比例函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于E、F两点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求E、F两点坐标；
(3)填空：不等式 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据正方形的性质，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 轴，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与坐标轴交于A、D两点，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即可作答；
（3）结合（2）中的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由图象知，不等式 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）解：依题意，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故将点C代入反比例函数 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（3）解：由图象知，结合（2）中的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不等式 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的应用，一次函数与反比例函数的交点问题，涉及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
通用的解题思路：
K值的几何意义
利用K值求图形的面积
．
2.反比例函数与几何图形的综合
利用反比例函数的性质与几何图形的性质综合考查，同时考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，注意分类讨论．
1．（2023·广东深圳·中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位于平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 恰好经过点C，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点C作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 点旋转至 SKIPIF 1 < 0 的位置，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，从而得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，解直角三角形求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进一步求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化 SKIPIF 1 < 0 性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2024·广东珠海·一模）如图1，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，且a、b满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点E， 且E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过C、D两点．
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求反比例函数解析式；
(3)以线段 SKIPIF 1 < 0 为对角线作正方形 SKIPIF 1 < 0 （如图2），点T是边 SKIPIF 1 < 0 上一动点，M是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于N，当点T在 SKIPIF 1 < 0 上运动时， SKIPIF 1 < 0 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ，不发生改变，理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，根据斜边上的中线得到， SKIPIF 1 < 0 由此即可得出结论．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 E为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过C、D两点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 的值不发生改变，
理由：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∵M是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为，四边形 SKIPIF 1 < 0 内角和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的值不发生改变．
【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用．
题型一 K值的几何意义
1．（2024·广东深圳·一模）如图，A是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上一点，过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】此题考查了求反比例函数的比例系数，设点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案．
【详解】解：设点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点A在第二象限，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上一点，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2024·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰 SKIPIF 1 < 0 的底边 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，顶点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 几何意义，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，结合等腰三角形性质推出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 的面积，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据反比例函数 SKIPIF 1 < 0 几何意义得到 SKIPIF 1 < 0 进行求解，即可解题．
【详解】解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2024·广东广州·一模）如图，平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 与x轴相切于点B，作直径 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得 SKIPIF 1 < 0 ，由切线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：∵点C在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5．
题型二 反比例函数与三角形的综合问题
1．（2023·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上， SKIPIF 1 < 0 轴于点A，将 SKIPIF 1 < 0 向右平移得到 SKIPIF 1 < 0 '，双曲线交边 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交边 SKIPIF 1 < 0 于点D．
(1)求k，a的值；
(2)求点D的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）用待定系数法求出k的值，然后把点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入解析式求出a的值；
（2）根据平移可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过C点作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，即 SKIPIF 1 < 0 ，进而即可求解.
【详解】（1）解：把点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过C点作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，
由平移可得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，平移的性质，锐角三角函数，掌握平移的性质是解题的关键．
2．（2023·广东茂名·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 一腰 SKIPIF 1 < 0 分别与x轴交于A点，与y轴交于B点，已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 顶点C恰好在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上时，求k值；
(3)把 SKIPIF 1 < 0 沿x轴向右平移a个单位后，点B恰好落在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上，求a的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）过点C作x轴的垂线，垂足为H．先证 SKIPIF 1 < 0 （AAS）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，于是根据待定系数法即可求解；
（3）将点B向右平移a个单位后，得到 SKIPIF 1 < 0 ， 把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（1）解：设直线 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过点C作x轴的垂线，垂足为H．
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 轴．
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵点C在反比例函数图象上
∴把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）由（2）可知，反比例函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点B向右平移a个单位后，得到 SKIPIF 1 < 0
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数数反比例函数的解析式，求自变量的值，熟练掌握待定系数法求一次函数数反比例函数的解析式是解题的关键．
题型三 反比例函数与平行四边形的综合问题
1．（2023·广东佛山·二模）如图，已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点C．
(1)求k的值及直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式：
(2)求四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式；
（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．
【详解】（1）解：依题意有：点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图，作CD⊥OA于点D，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长为： SKIPIF 1 < 0 ，
即四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长为6+2 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查求反比例函数解析式，求一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的性质等，解题的关键是通过平行四边形的性质求出点B的坐标．
2．（2023·广东佛山·三模）如图，以平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的顶点O为原点，边 SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ，过点A的反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交 SKIPIF 1 < 0 于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是 SKIPIF 1 < 0 的中点吗？请说明理由；
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)理由见解析
(3)四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数的解析式，一次函数的解析式．
（1）根据平行四边形的性质即可求出B点坐标；
（2）由点A的坐标进可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，即可求出D点坐标，即可得出结论；
（3）由（2）知点D为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，即可求出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．．
【详解】（1）解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，A、C的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：把点 SKIPIF 1 < 0 代入反比例函数 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
解方程组
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
即点D为 SKIPIF 1 < 0 的中点；
（3）解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型四 反比例函数与矩形的综合问题
1．（2023·广东肇庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形 SKIPIF 1 < 0 的顶点A、D在坐标轴上，其坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 轴．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 对应的函数解析式
(2)若反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过 SKIPIF 1 < 0 的中点M，请判断这个反比例函数的图象是否经过点B，并说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)点B不在反比例函数图象上，理由见解析．
【分析】本题主要考查的是矩形的性质、反比例函数的性质、全等三角形的性质和判定：
（1）过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为E．先证明 SKIPIF 1 < 0 ，依据相似三角形的性质可求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得 SKIPIF 1 < 0 的长，故此可得到点C的坐标，设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将点C，D的坐标代入求解即可；
（2）过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ．先证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得点B的坐标，然后再求得反比例反函数比例系数k的值，然后根据点B的坐标是否符合函数解析式进行判断即可．
【详解】（1）如图所示：过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为E．
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标代入得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B不在反比例函数图象上．
2．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形 SKIPIF 1 < 0 的两边 SKIPIF 1 < 0 分别在坐标轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点D，并与 SKIPIF 1 < 0 分别交于点E、F．一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过E、F两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点P是x轴上一动点，当 SKIPIF 1 < 0 的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，一次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得反比例函数表达式；再求出点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则此时 SKIPIF 1 < 0 最小．求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式后令 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到点 SKIPIF 1 < 0 坐标．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
∴由中点坐标公式可得点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∴点 SKIPIF 1 < 0 和点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴一次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则此时 SKIPIF 1 < 0 最小．如图．
由 SKIPIF 1 < 0 坐标可得对称点 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 坐标，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．
3．（2023·广东清远·三模）如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，F是 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 边交于点E．
(1)当F为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先利用坐标与图形求得点F坐标，再利用待定系数法求解k值即可求解；
（2）易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用坐标与图形和三角形的面积公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵F为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点F在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴该函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵在边 SKIPIF 1 < 0 上，不与A，B重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，S有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解答的关键．
4．（2023·广东汕头·三模）如图，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的图像经过矩形 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边的中点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线的解析式；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标：
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一动点，使得 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
(3)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设矩形 SKIPIF 1 < 0 的长 SKIPIF 1 < 0 ，宽 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，分别表示出 SKIPIF 1 < 0 的面积，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求出点 SKIPIF 1 < 0 横坐标，纵坐标的关系，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，根据勾股定理可的 SKIPIF 1 < 0 的关系，联立方程即可求解；
（3）根据题意，分类讨论，以 SKIPIF 1 < 0 为底，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ，运用相似三角形求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，由此即求出 SKIPIF 1 < 0 的直线解析式，再根据与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，图形结合即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设矩形 SKIPIF 1 < 0 的长 SKIPIF 1 < 0 ，宽 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 边中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵点 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数图像上，且反比例函数图像在第一象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴双曲线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
在 SKIPIF 1 < 0 中，根据勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：①当 SKIPIF 1 < 0 时，以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 所在直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式是为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 所在直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式是为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，掌握坐标与图形的性质，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 与几何图形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题的关键．
题型五 反比例函数与菱形的综合问题
1．（2023·广东江门·二模）如图，已知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式．
【答案】(1)见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，再根据勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，根据矩形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 根据菱形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，待定系数法即可得到结论；
【详解】（1）证明：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 此反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2023·广东珠海·一模）如图1，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点C在x轴负半轴上，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过点B，且交 SKIPIF 1 < 0 边于点D，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数 SKIPIF 1 < 0 于点N．在点P运动过程中，直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先求出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据菱形性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，然后用待定系数法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式即可；
（2）根据B点坐标求出k的值，再求出点D坐标，然后利用 SKIPIF 1 < 0 求出结果即可；
（3）分两种情况讨论，分别画出图形，根据平行四边形的性质求出点N的坐标即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点D的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：存在；理由如下：
当四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形时，如图所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形时，如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴此时 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时 SKIPIF 1 < 0 ；
综上分析可知，点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相关图形，利用数形结合思想解决问题．
题型六 反比例函数与正方形的综合问题
1．（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的图象经过点C，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点C顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，点A的对应点恰好落在y轴点 SKIPIF 1 < 0 处，过点C作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E．
(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形；
(2)求反比例函数的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查反比例函数与几何综合题，涉及全等三角形的判定与性质，正方形的判定，待定系数法等知识，运用数形结合思想解题是解题的关键．
（1）先证明四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 从而得证；
（2）先得出点C的坐标，再运用待定系数法求解即可．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 轴于点D，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E． SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形；
（2）设正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为a，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的解析式： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2024·广东广州·一模）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，在第一象限的图象经过正方形的顶点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和反比例函数的解析式：
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合），在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使以点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形的性质分别求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而求出反比例函数解析式；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，同（1）得出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 分别为对角线，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的关系式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
同（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合），点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
综上所述：以点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2023·广东湛江·三模）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与坐标轴交于A、D两点，以 SKIPIF 1 < 0 为边在 SKIPIF 1 < 0 右侧作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，过C作 SKIPIF 1 < 0 轴于G点．过点C的反比例函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于E、F两点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求E、F两点坐标；
(3)填空：不等式 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据正方形的性质，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 轴，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与坐标轴交于A、D两点，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即可作答；
（3）结合（2）中的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由图象知，不等式 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）解：依题意，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故将点C代入反比例函数 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（3）解：由图象知，结合（2）中的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不等式 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的应用，一次函数与反比例函数的交点问题，涉及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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