2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题02 利用锐角三角形函数解决实际问题（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题02 利用锐角三角形函数解决实际问题（含解析），共23页。试卷主要包含了仰角与俯角问题，坡度问题，方位角问题，46°≈0，7厘米等内容，欢迎下载使用。


通用的解题思路：
1.仰角与俯角问题
仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．
2.坡度问题
坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母 SKIPIF 1 < 0 表示．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用 SKIPIF 1 < 0 表示，则有 SKIPIF 1 < 0 .
3.方位角问题
方向角：平面上，通过观察点 SKIPIF 1 < 0 作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点 SKIPIF 1 < 0 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.
1．（2023·广东深圳·中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则每爬1m耗能 SKIPIF 1 < 0 ，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）（ ）

A．58JB．159JC．1025JD．1732J
【答案】B
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】 SKIPIF 1 < 0
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
2．（2023·广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂 SKIPIF 1 < 0 ，两臂夹角 SKIPIF 1 < 0 时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ，参考数据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，作作 SKIPIF 1 < 0 于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中利用 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，继而求出 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于D，

∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 边上的中线，也是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
答：A，B两点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2022·广东广州·中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．
(1)求BC的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角 SKIPIF 1 < 0 为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cs54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；②旗杆AB高度约 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据BC =5CD，求解即可；
（2）①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，根据相似的性质求解即可；②当 SKIPIF 1 < 0 时，作点D到AB的垂线段DF，在Rt△ADF中， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 时，作点D到AB的垂线段DF，
则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，
Rt△ADF中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
∴旗杆AB高度约12.8m．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质，解直角三角形．
题型一 仰角与俯角问题
1．（2024·广东江门·模拟预测）随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活．小琪利用无人机从点 SKIPIF 1 < 0 竖直上升到点 SKIPIF 1 < 0 ，测得点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 的俯角为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 后无人机到达点 SKIPIF 1 < 0 ，此时测得点 SKIPIF 1 < 0 的俯角为 SKIPIF 1 < 0 ．求无人机从点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的平均速度．（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ，参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】无人机从点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的平均速度 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
根据题意可得：结合平行线性质，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长，再在 SKIPIF 1 < 0 中，利用锐角三角函数的定义求出 SKIPIF 1 < 0 的长，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的长，最后进行计算即可解答．
【详解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 无人机从点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的平均速度 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2024·广东汕尾·二模）综合与实践：
凤山祖庙旅游区位于广东省汕尾市区东面的品清湖畔．该景区主建筑由凤山公园、凤山祖庙、凤仪台妈祖（天后圣母）石像三大部分组成，既是汕尾市著名的风景区，也是粤东地区百姓尤其是沿海渔民朝拜妈祖的地方．小明为测量妈祖石像的高度，制定了如下测量方案：如图，当小明在点A（眼睛）处仰望石像顶部点D，测得仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，再往石像的方向前进 SKIPIF 1 < 0 至点B（眼睛）处，测得仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，且小明的眼睛距离地面 SKIPIF 1 < 0 ，请帮他求出妈祖石像的高度．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ，结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长 SKIPIF 1 < 0 与石像交于C，设 SKIPIF 1 < 0 ，解 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，解 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 SKIPIF 1 < 0 与石像交于C，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴妈祖石像的高度为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2024·广东湛江·一模）安铺镇是广东四大古镇之一，它始建于明代1444年，迄今为止已有500多年的历史．九（1）班的小明要测量安铺镇文阁塔的高度，如图，小明在文阁塔前的平地上选择一点A，在点A和文阁塔之间选择一点 SKIPIF 1 < 0 ，测得 SKIPIF 1 < 0 ，用测角仪在 SKIPIF 1 < 0 处测得文阁塔顶部 SKIPIF 1 < 0 的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 处测得仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，已知测角仪的高 SKIPIF 1 < 0 ．请你帮小明计算出文阁塔 SKIPIF 1 < 0 的高度．（结果保留根号）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，有关仰角俯角的问题，先作辅助线，然后根据已知条件得到边长和角度，然后根据解直角三角形可得到结果，构造出来直角三角形是解题的关键．
【详解】
解：如图，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
，
由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个外角，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
答：文阁塔 SKIPIF 1 < 0 的高度是 SKIPIF 1 < 0 ．
题型二 坡度问题
1．（2024·广东深圳·一模）如图所示，折线 SKIPIF 1 < 0 是一段登山石阶，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 部分的坡角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 部分的坡角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求石阶路（折线 SKIPIF 1 < 0 ）的长．
(2)如果每级石阶的高不超过 SKIPIF 1 < 0 ，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足 SKIPIF 1 < 0 时，按一级石阶计算．可能用到的数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1)120米
(2)472级
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，计算即可．
（2）先计算 SKIPIF 1 < 0 的长度，单位化成厘米后除以20，计算即可．
本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （级）．
答：这一段登山石阶至少有472级台阶．
2．（2024·广东江门·一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚B处出发，已知西面山坡的坡度 SKIPIF 1 < 0 （坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即 SKIPIF 1 < 0 ）．同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的坡度 SKIPIF 1 < 0 ，坡面 SKIPIF 1 < 0 米．
(1)求甲、乙两人出发时的水平距离 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)已知甲每分钟比乙多走10米．两人同时出发，并同时达到山顶A．求：甲、乙两人的登山速度．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 米
(2)甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，根据坡度比设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理即可求解；
（2）设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为 SKIPIF 1 < 0 分钟/米，列分式方程即可求解．
【详解】（1）解：过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 米；
（2）解：由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为 SKIPIF 1 < 0 分钟/米，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
经检验： SKIPIF 1 < 0 是分式方程的解，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；
题型三 方位角问题
1．（2024·广东汕头·一模）如图， SKIPIF 1 < 0 是一条东西走向的海岸线，码头 SKIPIF 1 < 0 和码头 SKIPIF 1 < 0 相距30海里，在码头 SKIPIF 1 < 0 南偏东 SKIPIF 1 < 0 的海岛 SKIPIF 1 < 0 处有一艘轮船正向码头 SKIPIF 1 < 0 正南方向的海岛 SKIPIF 1 < 0 行驶，轮船到达海岛 SKIPIF 1 < 0 后测得海岛 SKIPIF 1 < 0 在海岛 SKIPIF 1 < 0 的北偏东75°方向上，而码头 SKIPIF 1 < 0 在海岛 SKIPIF 1 < 0 的北偏西30°方向上．
(1)已知关于 SKIPIF 1 < 0 两角和的公式 SKIPIF 1 < 0 ，请利用公式计算 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)利用（1）的结论，求码头 SKIPIF 1 < 0 与海岛 SKIPIF 1 < 0 之间的距离．（参考数据， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结果精确到 SKIPIF 1 < 0 海里）．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)码头 SKIPIF 1 < 0 与海岛 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 海里
【分析】本题考查解直角三角形的应用．
（1）根据公式 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用（1）的结论解直角三角形 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
（2）如图，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
答：码头 SKIPIF 1 < 0 与海岛 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 海里．
2．（2024·广东中山·一模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求B，C两地的距离．（运算结果保留根号）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 两地的距离为 SKIPIF 1 < 0 千米
【分析】
本题考查了解直角三角形中与方位角有关的应用：
（1）由平行线的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，由平角可求得 SKIPIF 1 < 0 的度数，由三角形内角和即可求得结果；
（2）过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为G，则在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦函数关系可求得 SKIPIF 1 < 0 的长度，再在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦函数关系即可求得 SKIPIF 1 < 0 的长度，即 SKIPIF 1 < 0 两地的距离．
【详解】（1）解：如图：
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的度数为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为G，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 千米， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （千米），
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （千米），
SKIPIF 1 < 0 两地的距离为 SKIPIF 1 < 0 千米．
题型四 其他实际场景问题
1．（2024·广东肇庆·一模）传统工艺品油纸伞是我国的非物质文化遗产，使用历史已有1000多年．伞是由伞柄，伞骨，伞面三部分组成．伞柄是伞的主心骨，伞骨是用来支撑整个伞面的，伞面是伞中重要的组成部分．如图，伞打开时，其伞面的直径 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ，相对两根伞骨的最大夹角 SKIPIF 1 < 0 ，求此伞的伞骨 SKIPIF 1 < 0 的长度．（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ，参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】此伞的伞骨 SKIPIF 1 < 0 的长度约为 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了垂径定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键．
根据垂径定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角函数求出 SKIPIF 1 < 0 即可，
【详解】解：由题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于E点，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴此伞的伞骨 SKIPIF 1 < 0 的长度约为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2024·广东汕头·一模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的灾害，消防车是消防教援的主要装备．图 SKIPIF 1 < 0 是某种消防车云梯，图 SKIPIF 1 < 0 是其工作示意图，当云梯 SKIPIF 1 < 0 升起时， SKIPIF 1 < 0 与底盘 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，液压杆 SKIPIF 1 < 0 与底盘 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ．已知液压杆 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，解直角三角形 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而解直角三角形 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据线段的和差关系即可求解，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
答： SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2024·广东汕头·一模）如图，在斜坡传送带 SKIPIF 1 < 0 上有一矩形 SKIPIF 1 < 0 ，已知斜坡夹角 SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，对角线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 度数；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题主要考查了矩形的性质、对顶角相等、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，可得在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，根据矩形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后由 SKIPIF 1 < 0 求解即可；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，由锐角三角函数可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求解即可．
【详解】（1）解：延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如下图，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2024·广东珠海·一模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 SKIPIF 1 < 0 与水平地面相切于点C，推杆 SKIPIF 1 < 0 与铅垂线 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆 SKIPIF 1 < 0 与铁环 SKIPIF 1 < 0 相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离 SKIPIF 1 < 0 最小，测得 SKIPIF 1 < 0 ．已知铁环 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，推杆 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ，求此时 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)证明见详解；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形两锐角互余，切线的性质：
（1）过B作 SKIPIF 1 < 0 ，根据切线得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；
（2）根据（1）及 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角函数求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可得到答案；
【详解】（1）解：过B作 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵铁环 SKIPIF 1 < 0 与水平地面相切于点C，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵推杆 SKIPIF 1 < 0 与铁环 SKIPIF 1 < 0 相切于点B，
，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，推杆 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2024·广东梅州·一模）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线 SKIPIF 1 < 0 表示可转动支架，支架 SKIPIF 1 < 0 可以伸缩调节，投影探头 SKIPIF 1 < 0 始终垂直于水平桌面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架 SKIPIF 1 < 0 厘米，探头 SKIPIF 1 < 0 厘米．

(1)当支架 SKIPIF 1 < 0 与水平线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，与支架 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，求探头的端点 SKIPIF 1 < 0 到桌面 SKIPIF 1 < 0 的距离．（结果保留一位小数）
(2)为获得更好的投影效果，调节支架 SKIPIF 1 < 0 ，如图（3）所示，使得 SKIPIF 1 < 0 与水平线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，同时调节支架 SKIPIF 1 < 0 ，使得探头端点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 在同一水平线上，且从点 SKIPIF 1 < 0 看点 SKIPIF 1 < 0 的俯角为 SKIPIF 1 < 0 ，此时支架 SKIPIF 1 < 0 的长度为多少？（结果保留一位小数） （参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1)29.7厘米
(2)31.6厘米
【分析】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理，添加适当的辅助线，构造直角三角形，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交过点 SKIPIF 1 < 0 的水平线于点 SKIPIF 1 < 0 ．根据 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形可得 SKIPIF 1 < 0 厘米， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再解直角三角形得出 SKIPIF 1 < 0 的长度，从而即可得解；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．易得 SKIPIF 1 < 0 ，解直角三角形求出 SKIPIF 1 < 0 的长，由勾股定理得出 SKIPIF 1 < 0 的长，再解直角三角形得出 SKIPIF 1 < 0 的长，从而得出 SKIPIF 1 < 0 的长，最后由勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交过点 SKIPIF 1 < 0 的水平线于点 SKIPIF 1 < 0 ．

由题意得： SKIPIF 1 < 0 厘米， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （厘米）， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 始终垂直于水平桌面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 （厘米）．
∵投影仪的底座高3厘米，
∴探头的端点 SKIPIF 1 < 0 到桌面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 （厘米）．
答：探头的端点 SKIPIF 1 < 0 到桌面 SKIPIF 1 < 0 的距离约为29.7厘米；
（2）解：如图，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．

∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 厘米，
∴ SKIPIF 1 < 0 （厘米），
∴ SKIPIF 1 < 0 （厘米）．
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 （厘米）．
∴ SKIPIF 1 < 0 （厘米）．
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （厘米）．
答：支架 SKIPIF 1 < 0 的长度大约为31.6厘米．
6．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】
项目主题：设计落地窗的遮阳篷
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度 SKIPIF 1 < 0 ，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬
的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．
方案1：直角形遮阳篷
如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷 SKIPIF 1 < 0 ，点 C 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则支撑杆 SKIPIF 1 < 0 m．
(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与 SKIPIF 1 < 0 平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与 SKIPIF 1 < 0 平行)．请求出图2中 SKIPIF 1 < 0 的长度．
方案2：抛物线形遮阳篷
(3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将 SKIPIF 1 < 0 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点， SKIPIF 1 < 0 段可伸缩)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长保持不变．若以C 为原点， SKIPIF 1 < 0 方向为x 轴， SKIPIF 1 < 0 方向为y 轴．
①求该二次函数的表达式．
②若某时刻太阳光与水平地面夹角 SKIPIF 1 < 0 的正切值 SKIPIF 1 < 0 使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离)
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用勾股定理求 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）由题意得到 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用正切定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用正切定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到方程 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的长度可求．
（ 3）①由题意， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，设二次函数为： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数关系式即可；
② SKIPIF 1 < 0 光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 求出x即可．
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）①由F为抛物线顶点，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形
由二次函数对称性可知， SKIPIF 1 < 0
设二次函数为： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴y关于x的关系式为： SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，
过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 (答案不合理，舍去）
∴D′E= SKIPIF 1 < 0 ，
∴遮阳蓬点D上升的高度最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数关系式，勾股定理，解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．