2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题06 圆中证切线、求弧长面积、并与几何综合问题（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题06 圆中证切线、求弧长面积、并与几何综合问题（含解析），共53页。试卷主要包含了圆与相似，圆与全等，圆的计算等内容，欢迎下载使用。


通用的解题思路：
1.圆与相似
对于圆与相似相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.
2.圆与全等
对于圆与全等相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.
3.圆的计算
对于圆的计算的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.
1．（2023·广东·中考真题）综合探究
如图1，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆．
①如图2， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②如图3， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 可知点E是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而证明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①过点O作 SKIPIF 1 < 0 于点F，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G，先证明 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，得到 SKIPIF 1 < 0 ，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而证明 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用直角三角形两锐角互余得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用含 SKIPIF 1 < 0 度角的直角三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ；
②先证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用平行线的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而证明 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）∵点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴O是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）①过点O作 SKIPIF 1 < 0 于点F，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G，则 SKIPIF 1 < 0 ，

∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 为半径， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②过点O作 SKIPIF 1 < 0 于点H，

∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含 SKIPIF 1 < 0 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
2．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以O为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （点C在A的上方）；
②连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点D；
③连接 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于点E．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
【答案】(1)画图见解析，证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后证明出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明出 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（2）首先根据全等三角形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后证明出 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点D在 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴解得 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆 SKIPIF 1 < 0 为直径，半圆 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 处有个吊灯 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0

(1)如图①， SKIPIF 1 < 0 为一条拉线， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 为切点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 为入射光线， SKIPIF 1 < 0 为反射光线， SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
(3)如图③， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为入射光线， SKIPIF 1 < 0 为反射光线交圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 运动到 SKIPIF 1 < 0 的过程中，求 SKIPIF 1 < 0 点的运动路径长．
【答案】(1)2
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，可得出D为 SKIPIF 1 < 0 中点，即可得出 SKIPIF 1 < 0 的长度；
（2）过N点作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点D，可得出 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，根据 SKIPIF 1 < 0 ,可得出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理即可得出答案；
（3）依题意得出点N路径长为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，推导得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可计算给出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线
∴D为 SKIPIF 1 < 0 的中点
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）过N点作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点D，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．

∵ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴N点的运动路径长为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．
题型一 圆中作图问题
1．（2022·广东广州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 SKIPIF 1 < 0 于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是 SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)作线段AC的垂直平分线，由垂径定理推论可知该垂直平分线必经过点O；
(2)由垂径定理得到AF=CF，进而得到OF是△ACB的中位线，由此得到点O到AC的距离OF= SKIPIF 1 < 0 BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD= SKIPIF 1 < 0 ，最后在Rt△CDF中由 SKIPIF 1 < 0 即得答案．
【详解】（1）解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；
②作直线OE，记OE与 SKIPIF 1 < 0 交点为D；
③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；
（2）解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示：
∵OD⊥AC，
∴F为AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF= SKIPIF 1 < 0 BC=3，
∵OF⊥AC，
∴OF的长就是点O到AC的距离；
Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴OD=OA= SKIPIF 1 < 0 AB=5，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵F为AC中点，
∴CF= SKIPIF 1 < 0 AC=4，
Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，
∴CD= SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．
2．（2024·广东广州·一模）如图， SKIPIF 1 < 0 为经过圆心 SKIPIF 1 < 0 的一条线段，且与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 点．
(1)过 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的上方作 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤．
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的半径．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析；
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（ SKIPIF 1 < 0 ）作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径画圆，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作射线 SKIPIF 1 < 0 ，由直径所对的圆周角是直角可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出 SKIPIF 1 < 0 ；
（ SKIPIF 1 < 0 ）证明 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求证；
（ SKIPIF 1 < 0 ）连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
本题考查了过圆外一点作圆的切线，过直线外一点作已知直线的垂线，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示， SKIPIF 1 < 0 即为所求；
（2）证明：如图，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0
（3）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 切线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
3.（2024·广东清远·二模）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是直径， SKIPIF 1 < 0 ，点P在优弧 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)利用尺规作图，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点D．（不写作法，但要求保留作图痕迹）．
(2)在（1）中，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了平行线做图，平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关图形的性质并灵活运用是解题的关键．
（1）运用尺规作出 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到 SKIPIF 1 < 0 的度数，最后根据圆周角定理即可求出 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2024·广东广州·一模）如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 是圆上一点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)尺规作图：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，交半圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交线段直径 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 （保留作图痕迹，不写做法）；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是弧 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
（1）在半圆 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，根据垂径定理的推论可知 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可完成作图；
（2）①连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，设的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ；
②过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，解直角三角形得到 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）解：如图，在半圆 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）解：①连接 SKIPIF 1 < 0 ，

∵D是 SKIPIF 1 < 0 的中点
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，经检验， SKIPIF 1 < 0 是方程的解，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
题型二 圆与三角形的综合问题
1．（2022·广东·中考真题）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)试判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并给出证明；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 ，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴CD= SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
2．（2024·广东惠州·一模）如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径，点C平分弧 SKIPIF 1 < 0 ，点D为弧 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点F，过C作射线 SKIPIF 1 < 0 与射线 SKIPIF 1 < 0 相交于点E，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据圆周角定理和切线的判定定理以及等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）利用已知条件和勾股定理可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2024·广东广州·一模）如图， SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)证明见详解；
(2) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由圆周角定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的长，由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用平行线判定出 SKIPIF 1 < 0 ，由相似三角形的比值关系求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ；由三角形的中位线定理求出 SKIPIF 1 < 0 的长，再通过勾股定理求 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】（1）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质及判定，三角函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
4．（2024·广东东莞·一模）如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 的内接 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于点P，交 SKIPIF 1 < 0 于另一点B，点C是弧 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（不与A，M重合），射线 SKIPIF 1 < 0 交线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点D，分别连接 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求BC的长．
【答案】(1)详见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用圆周角定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，先证明 SKIPIF 1 < 0 是直径，再求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是直径，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系．
5．（2024·广东·一模）综合探究：
如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作半圆O，半径 SKIPIF 1 < 0 绕点O顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接 SKIPIF 1 < 0 并延长到点D，使得 SKIPIF 1 < 0 ，过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点E，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，当点E与点O重合时，判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由；
(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)如图3，若点P是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与半圆O相切时，判断直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，理由见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ．理由见解析
【分析】（1）由圆周角定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知条件 SKIPIF 1 < 0 和等腰三角形“三线合一”性质推知 SKIPIF 1 < 0 ，再由等腰 “三线合一”性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到结论；
（2）分类讨论：点E在线段 SKIPIF 1 < 0 和线段 SKIPIF 1 < 0 上，借助勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 的长度；
（3）由三角形中位线定理知 SKIPIF 1 < 0 ，又由切线的性质知 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行线的性质即可得到答案．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，理由如下：
如图1， SKIPIF 1 < 0 是圆O的直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点E与点O重合，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当点E在 SKIPIF 1 < 0 上时，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
当点E在 SKIPIF 1 < 0 上时，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，BC的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ．理由如下：
如图3，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点C是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点O是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 与半圆O相切，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质等知识，根据点E的位置正确分类是解题的关键．
题型三 圆与平行四边形的综合问题
1．（2024·广东江门·一模）如图，等腰 SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上的中线，过点C作 SKIPIF 1 < 0 的平行线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点E， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 的半径为5， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质知 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．得出 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线．则 SKIPIF 1 < 0 ．又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，即可得证；
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．垂径定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后求得 SKIPIF 1 < 0 ，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（2）证明：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．

又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线．
∴点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ．又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（3）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，切线的判定，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2024·广东江门·模拟预测）综合探究
如图，在扇形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．
(2)当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动时，在 SKIPIF 1 < 0 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由．
(3)求证： SKIPIF 1 < 0 是定值．
【答案】(1)见解析；
(2)存在，1；
(3)见解析．
【分析】本题主要考查圆的基本性质以及勾股定理：
（1）道德证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可证 SKIPIF 1 < 0 ，得出四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．
（2）根据点A是 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，计算出 SKIPIF 1 < 0 ，进一步可得出结论
【详解】（1）证明：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．
（2）解：存在，线段 SKIPIF 1 < 0 的长度不变．
∵点A是 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0
在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是定值．
题型四 圆与矩形的综合问题
1．（2024·广东汕头·一模）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点D，E．作 SKIPIF 1 < 0 于点F， SKIPIF 1 < 0 于点G．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线，
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的半径，
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了圆切线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定：
（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求证；
（2）根据垂径定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，通过证明四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的半径为r，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线．
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的半径为r，即 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，根据勾股定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 的半径为5．
2．（2024·广东广州·一模）矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，矩形的对角线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点O．
①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；
②在 SKIPIF 1 < 0 的劣弧 SKIPIF 1 < 0 上取一点E，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
(2)如图2，点P是该矩形的边 SKIPIF 1 < 0 上一动点，若四边形 SKIPIF 1 < 0 与四边形 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
【答案】(1)①见解析；② SKIPIF 1 < 0
(2)8
【分析】（1）①根据矩形的性质，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到点A，B，C在以O为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，根据矩形的性质，得 SKIPIF 1 < 0 ，判定点D在以O为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆；
②过点E作在 SKIPIF 1 < 0 于点D，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理计算x，利用面积公式解答即可．
（2）根据折叠的性质，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，当点C，D，H三点共线时， SKIPIF 1 < 0 最小，此时 SKIPIF 1 < 0 面积的为 SKIPIF 1 < 0 ，最小．
【详解】（1）①∵矩形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点A，B，C在以O为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点D在以O为圆心的同一个圆上，
故A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；
②如图，过点E作在 SKIPIF 1 < 0 于点D，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）根据折叠的性质，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当点C，D，H三点共线时， SKIPIF 1 < 0 最小，
此时 SKIPIF 1 < 0 面积的为 SKIPIF 1 < 0 ，最小．
【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．
题型五 圆与菱形的综合问题
1．（2024·广东东莞·一模）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点E，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作 SKIPIF 1 < 0 ，与边 SKIPIF 1 < 0 交于点F， 点E在 SKIPIF 1 < 0 上，
(1)求证： 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
(2)若点G为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， 求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
(3)在（2）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）根据菱形的性质，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，且点O是直径 SKIPIF 1 < 0 的中点，得出 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的半径，即可作答．
（3）根据菱形的性质，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合勾股定理， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，得证 SKIPIF 1 < 0 ，代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）证明：如图，连接 SKIPIF 1 < 0
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点G为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且点O是直径 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的半径
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（3）解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、切线的判定、勾股定理、相似三角的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
2．（2023·广东佛山·一模）如图，菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，过点E作 SKIPIF 1 < 0 于点F．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
(3)在（2）的条件下，若点G是 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，通过菱形的性质和圆的性质证明 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，证得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得证；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据菱形和圆的有关性质，求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理解答即可．
（3）如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于两点，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）
证明：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的半径
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线．
（2）解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：如图，过点C作 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点M，
由（2）知， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴线段 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查的是圆和菱形的综合题，运用了圆周角定理，圆的切线的判定，含有60°的特殊菱形的性质，以及特殊角的三角函数的运算，再对圆和菱形的基础进行整合提高，最后再运用圆的动点知识，求出动线段的取值范围。这是一道代几综合题型，侧重几何综合考察。从思想方法上看，本题运用模型思想、三角函数运算、转化思想、运动变化观念等，渗透增量，巧设简化意识的考查。本题体现出多种解答数学问题的思想方法，贴近生活、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台，培养了学生的数学综合素养。
3．（2023·广东广州·二模）如图1，菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 为射线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，在射线 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．作 SKIPIF 1 < 0 的外接圆，设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当圆心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ___________；
(2)当点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上时，
①判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并证明；
②当 SKIPIF 1 < 0 为何值时， SKIPIF 1 < 0 有最大值？并求出最大值；
(3)如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；将优弧 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的弧长 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是相切，见解析；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值1
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）可证得 SKIPIF 1 < 0 ，进而解直角三角形 SKIPIF 1 < 0 和直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得结果；
（2）①连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用圆周角定理推出 SKIPIF 1 < 0 ，继而推出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是相切；
②连接 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 得方程 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数得最值，得到当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为1；
（3）可推出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，可推出点A是对称后的优弧的圆心，根据弧长公式得出结果．
【详解】（1）解：菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1；
（2）解：① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是相切，理由如下：
证明：如图1，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的半径，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是相切；
②如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为1．
（3）解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵将优弧 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，

∴点A，O关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴弧 SKIPIF 1 < 0 在以A为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径的圆上．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
题型六 圆与正方形形的综合问题
1．（2024·广东佛山·一模）如图，点 SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作 SKIPIF 1 < 0 交线段 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）作 SKIPIF 1 < 0 ，根据正方形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由角平分线的性质定理，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解，
（2）根据正方形的性质，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的长，根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的度数，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解，
本题考查了，切线的判定，正方形的性质，角平分线的性质定理，扇形的面积，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵正方形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线，
（2）解：∵正方形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2024·广东东莞·一模）如图1，点E在正方形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上，延长 SKIPIF 1 < 0 至点F，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点H，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作圆O，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 为圆O的切线；
②若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为1，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)见详解
(2)①见详解；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 是正方形，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）①证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据直角三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 是直径运用圆周角定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出， SKIPIF 1 < 0 ，从而证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明；
②过点C作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M，得出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在直角 SKIPIF 1 < 0 中，用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）① SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为圆O的切线．
②过点C作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】该题主要考查了圆综合，涉及的主要知识点有相似三角形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，切线的证明，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等，解答该题的关键是掌握以上知识点．
3．（2024·广东珠海·一模）如图1， SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 边 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， 在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ， 以 SKIPIF 1 < 0 为半径作圆， 恰好使得 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若正方形的边长为4时，求 SKIPIF 1 < 0 的半径；
(2)如图2， 将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，其所在直线与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与边 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
②求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；②证明见解析
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，先证明 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，再证明 SKIPIF 1 < 0 是梯形的中位线，设 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由梯形中位线性质及正方形性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）①连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，利用正方形性质、旋转性质及圆周角定理得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，即可得到答案；②过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，得到四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，进而结合等腰直角三角形的判定、全等的判定与性质、正方形的判定与性质得到相应边的关系，设正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到所证等式成立．
【详解】（1）解：连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 是梯形的中位线，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：①连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，且将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，则 SKIPIF 1 < 0 ；
② 过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
由①知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
由①知 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题难度较大，综合性强，涉及圆周角定理、梯形中位线的判定与性质、勾股定理、旋转性质、圆周角定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定，根据问题作出相应辅助线求解是解决问题的关键．
4．（2024·广东珠海·一模）综合与实践
素材：一张边长为4的正方形纸片
步骤1：对折正方形纸片 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ，把纸片展平．
步骤2：再一次折叠纸片，点 SKIPIF 1 < 0 落在点 SKIPIF 1 < 0 处，并使折痕经过点 SKIPIF 1 < 0 ，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如题1图，若点 SKIPIF 1 < 0 落在边 SKIPIF 1 < 0 上，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(2)如题2图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式；
(3)如题3图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆，若 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 相切，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）证明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，据此求解即可；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，同理证明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理求解即可；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交边 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，求得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，据此求解即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ，理由如下，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
同理四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，

由折叠的性质知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：设 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交边 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，

设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．