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2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题09 二次函数中最值、变换、新定义型问题（含解析）
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这是一份2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题09 二次函数中最值、变换、新定义型问题（含解析），共37页。
第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看 SKIPIF 1 < 0 ，二次函数看对称轴与区间的位置关系；
第二步：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；所以 SKIPIF 1 < 0 .
二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。
若自变量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处 SKIPIF 1 < 0 时，取到最值.
若 SKIPIF 1 < 0 ，如图②，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，如图③，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图④，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
1．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过正方形 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点A，B，C，点B在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点D，根据正方形的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，然后可得点 SKIPIF 1 < 0 ，进而代入求解即可．
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点D，如图所示：
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小
【答案】C
【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
3．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过P作 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)2；P（-1，0）
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由 SKIPIF 1 < 0 列出函数式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
顶点式为： SKIPIF 1 < 0 ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵P在线段AB上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， SKIPIF 1 < 0 最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
4．（2022·广东广州·中考真题）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 经过点（0，7）和点（1，6）．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若点P（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）在直线 SKIPIF 1 < 0 上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
②设抛物线G与直线 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在 SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 的图象的最高点的坐标．
【答案】(1)直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）
【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①设G的顶点式，根据点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线 SKIPIF 1 < 0 的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在 SKIPIF 1 < 0 轴上得出答案；
②先根据点Q，点 SKIPIF 1 < 0 的对称，得QQ'=1，可表示点Q和 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线 SKIPIF 1 < 0 经过点（0，7）和点（1，6），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：①设G： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
∵点P（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴G： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
∵（0，-3）不在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，
而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），
∴点P必须位于直线 SKIPIF 1 < 0 的上方，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
另一方面，点P不能在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴所求 SKIPIF 1 < 0 取值范围为： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，QQ'关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且QQ'=1，
∴点Q横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
而点Q在 SKIPIF 1 < 0 上，∴Q（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），Q'（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
∵Q'（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）在G： SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ G： SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ．
∵抛物线G过点（0，-3），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，抛物线G为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
对应区间为-2≤ SKIPIF 1 < 0 ≤-1，整个区间在对称轴 SKIPIF 1 < 0 的右侧，
此时，函数值 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，如图，
∴当 SKIPIF 1 < 0 取区间左端点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；
当 SKIPIF 1 < 0 时，对应区间为 SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ，最高点为顶点P（2，5），如图，
∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等．解题的关键是掌握当 SKIPIF 1 < 0 时，顶点在直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-3），因此， SKIPIF 1 < 0 可能会被忽视．
题型一 二次函数图象与系数a,b,c的关系
1．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ．对于下列结论： SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③多项式 SKIPIF 1 < 0 可因式分解为 SKIPIF 1 < 0 ；④无论 m 为何值时， SKIPIF 1 < 0 ．其中正确个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 图象的性质等等：
先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 可得抛物线与x轴的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 时y有最大值，由此可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，结论①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，结论②错误；
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴的两个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴多项式 SKIPIF 1 < 0 可因式分解为 SKIPIF 1 < 0 ，结论③错误；
∵对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，且函数开口向下，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，y有最大值，
由 SKIPIF 1 < 0 得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴无论m为何值时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，结论④正确；
综上：正确的有①④．
故选：B．
2．如图是二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ．关于下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤方程 SKIPIF 1 < 0 两个根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中正确的结论有（ ）
A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图像与性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．根据二次函数图像判定代数式的正负和数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向下，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴在y轴左侧，根据左同右异，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故①错；
由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
由图象可得： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故③错；
由图象可得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故④正确；
由图象可得： SKIPIF 1 < 0 的两根分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴方程 SKIPIF 1 < 0 两个根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故⑤正确；
故选：B．
3．抛物线 SKIPIF 1 < 0 上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，下列说法正确的有（ ）．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小； ②抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； ④方程 SKIPIF 1 < 0 的一个正数解 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
A．①②B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质和二次函数图像上点的特征，理解二次函数图像的性质是解题的关键．
根据表格信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：①由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 且当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大，根据二次函数图像的对称性可得当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小，故①的说法正确；
②由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，故②的说法正确；
③当 SKIPIF 1 < 0 时的函数值与 SKIPIF 1 < 0 时的函数值相同为 SKIPIF 1 < 0 ，即，故③的说法错误；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数的对称性可得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 的正数解满足 SKIPIF 1 < 0 ，故④的说法正确．
故选：D．
题型二 二次函数中线段最小值
1．如题，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的对称轴上一动点，当 SKIPIF 1 < 0 周长最小时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
(3)点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，射线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，交射线 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)存在，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 关于对称轴的对称点为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交对称轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，得出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（3）分两种情况： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0
点 SKIPIF 1 < 0 关于对称轴的对称点为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交对称轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）存在．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍）．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
分以下两种情况：
①如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 轴．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
②如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题以及相似三角形的性质，解题的关键是求出二次函数解析式．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 （b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当 SKIPIF 1 < 0 的值最小时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上方，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点D，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将A、B代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线解析式确定与x轴的交点坐标，再由对称的性质及两点之间线段最短即可确定点M的位置，然后代入一次函数解析式求解即可；
（3）过点P作 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点E，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 有最大值．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴交于A、B两点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将A、B代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，连接 SKIPIF 1 < 0 交对称轴于点M，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）过点P作 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点E，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 代数式 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时有最大值 ，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，解题的关键是构造辅助线证 SKIPIF 1 < 0 ．
3．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)线段 SKIPIF 1 < 0 上有一动点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值最小时，请直接写出此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
(3)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，C SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
(3)最大值为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和 SKIPIF 1 < 0 的值可得出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，可得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点即为所求点 SKIPIF 1 < 0 ，再根据直角三角形的三边关系可得出结论；
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，表达 SKIPIF 1 < 0 的长，再根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入 SKIPIF 1 < 0
得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点即为所求点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， 过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
由(1)得： SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别看作 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底边，则它们的高相同，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，并正确表达面积的比值．
题型三 二次函数中面积最值问题
1．如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请求出 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
(3)点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上移动，连接 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)4
(3)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（3）当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方时，则点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴下方时，由 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ①；
（2）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标得，直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 面积有最大值，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为4；
（3）解：当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方时，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平行于x轴
则点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 关于抛物线对称轴对称，
则点 SKIPIF 1 < 0 ；
当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴下方时，
设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标得，直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ；
综上，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
2．如图，在直角坐标系中有一直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将此三角形绕原点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①是否存在一点P，使 SKIPIF 1 < 0 的面积最大？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，点P的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)①存在，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析；② SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据正切函数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据旋转的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，据此求出A、B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）①可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，可用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 的长，当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时，则 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，可求得其最大值；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而推出 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 轴，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是由 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 而得到的，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入解析式得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 的面积最大， SKIPIF 1 < 0 的面积有最大值为 SKIPIF 1 < 0
理由如下：
设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点坐标代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
如图 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点在第二象限，
SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 点上方，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 有最大值时， SKIPIF 1 < 0 的面积有最大值，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知，存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 的面积最大， SKIPIF 1 < 0 的面积有最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在第二象限，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 在二象限，横坐标小于 SKIPIF 1 < 0 矛盾，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时， SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，解直角三角形，旋转的性质等等，解（1）的关键是利用旋转的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P为直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上的任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
(3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过P作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于Q，求出直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数性质可得 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求出抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，分三种情况：①当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 的中点重合， SKIPIF 1 < 0 ，②当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，③当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，分别解方程组可得答案．
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过P作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于Q，如图：
由 SKIPIF 1 < 0 得直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：抛物线上存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
题型四 二次函数平移、翻折、旋转问题
1．如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 和抛物线的解析式；
(2)如图2，将位于 SKIPIF 1 < 0 轴下方的抛物线沿 SKIPIF 1 < 0 轴向上翻折形成“ SKIPIF 1 < 0 ”图象，将直线 SKIPIF 1 < 0 向上平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到直线 SKIPIF 1 < 0 ．当直线 SKIPIF 1 < 0 与“ SKIPIF 1 < 0 ”图象有两个交点时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先后求出 SKIPIF 1 < 0 坐标即可求出解析式；
（2）画出平移后 SKIPIF 1 < 0 的图像，分析当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间移动时，和在 SKIPIF 1 < 0 上方移动时，直线 SKIPIF 1 < 0 与“ SKIPIF 1 < 0 ”图象有两个交点，分情况讨论，然后直接求解直线解析式即可．
【详解】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 中，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）将直线 SKIPIF 1 < 0 移动到如图位置时，直线 SKIPIF 1 < 0 与“ SKIPIF 1 < 0 ”图象有三个交点，
平移后的 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 与翻折后的抛物线只有一个交点时，
翻折后的函数解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时，
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与“ SKIPIF 1 < 0 ”图象有两个交点，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
【点睛】此题考查函数的综合应用，解题关键是取已知点代入解析式进行求解，难点是判断函数的交点个数，直接画出函数图像，找到函数有两个交点的范围，分情况讨论求解．
2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点，交x轴于另一点B．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分 SKIPIF 1 < 0 时，求P点坐标；
(3)将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．
①直线EF的解析式是______；
②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是______．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴交DP延长线与点E，过D作 SKIPIF 1 < 0 轴交x轴于点F．证明 SKIPIF 1 < 0 ，求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而求得直线DE的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线解析式即可求解；
（3）①根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ；
②连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，当GM最大时，△GFE面积最大，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 以及二次函数的性质求得当 SKIPIF 1 < 0 时，△GFE面积最大， SKIPIF 1 < 0 ，根据①的方法求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据中点公式求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 解之得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
（2）过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴交DP延长线与点E，过D作 SKIPIF 1 < 0 轴交x轴于点F．
由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，BD平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线DE的解析式为 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
（3）①直线EF解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，
∴对于抛物线上任意一点 SKIPIF 1 < 0 关于原点旋转90°后对应点为 SKIPIF 1 < 0 在旋转后图形上， SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称的点 SKIPIF 1 < 0 在旋转后图形上，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴图形2关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴直线EF解析式为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
②GH最大值为 SKIPIF 1 < 0
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当GM最大时，△GFE面积最大，
又∵ SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，△GFE面积最大， SKIPIF 1 < 0
由①可知 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴GH的最大值为： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
题型五 二次函数中的新定义型问题
1．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的“等值点”．
(1)请判断函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图像的“等值点”分别为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）有两个“等值点”．存在函数 SKIPIF 1 < 0 （异于 SKIPIF 1 < 0 ），若对于任意的自变量 SKIPIF 1 < 0 ，都有点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离相等；当 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，请结合图像求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)存在； SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上有两个“等值点”，可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可；
（3）先根据函数有两个“等值点”，利用根的判别式可初步确定 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，依据抛物线性质和图像可得 SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且图像恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，图像 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，最大值比最小值大 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称性确定抛物线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再分析抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图像和性质；然后根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的位置进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上有两个“等值点”，坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在函数 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不符合题意，舍去）
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在函数 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴方程 SKIPIF 1 < 0 没有实数根，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）有两个“等值点”，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由函数 SKIPIF 1 < 0 知：图像开口向上，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且图像恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，图像 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
最大值比最小值大 SKIPIF 1 < 0 ；
∵点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，即点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
配方，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴该图像为抛物线，开口向下，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且图像恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，图像 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，即过点 SKIPIF 1 < 0 ，
最大值比最小值大 SKIPIF 1 < 0 ，
情况 SKIPIF 1 < 0 ：当 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的下方，此时点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 上方，即 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，2所示，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
情况2：当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，即两个函数恰好都经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图3，4所示，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去，
情况3：当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的上方，如图5，6所示，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 下方，即 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，二次函数图像和性质，对称的性质，数形结合思想和分类讨论．能够画出函数图像的草图是解题的关键．
2．新定义：若函数图象恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，我们称 SKIPIF 1 < 0 为该函数的“永恒点”．如：一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，无论 SKIPIF 1 < 0 值如何变化，该函数图象恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数 SKIPIF 1 < 0 的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是__________，落在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是__________；
【知识迁移】点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点，设点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，请问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？如果是，请求出 SKIPIF 1 < 0 的值；如果不是，请说明理由．
【答案】【初步理解】 SKIPIF 1 < 0 ；【理解应用】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；【知识迁移】是，２
【分析】【初步理解】解析式变形为 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可;
【理解应用】由二次函数变形为 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可;
【知识迁移】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，作辅助线如解析图，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，构建相似三角形，找出比例关系即可；
【详解】解：【初步理解】由一次函数变形为 SKIPIF 1 < 0 ，，
当 SKIPIF 1 < 0 时，无论 SKIPIF 1 < 0 值如何变化， SKIPIF 1 < 0
故一次函数 SKIPIF 1 < 0 必过一定点 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【理解应用】由二次函数变形为 SKIPIF 1 < 0 ，，
当 SKIPIF 1 < 0 时，无论 SKIPIF 1 < 0 值如何变化， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，无论 SKIPIF 1 < 0 值如何变化， SKIPIF 1 < 0
故二次函数 SKIPIF 1 < 0 必过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以二次函数 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，落在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【知识迁移】由题意得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由上一小题得： SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形．本题主要理解新定义，构建相似三角形解题，有一定的难度．
x
…
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
…
y
…
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
3
3
…
第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看 SKIPIF 1 < 0 ，二次函数看对称轴与区间的位置关系；
第二步：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；所以 SKIPIF 1 < 0 .
二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。
若自变量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处 SKIPIF 1 < 0 时，取到最值.
若 SKIPIF 1 < 0 ，如图②，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，如图③，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图④，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
1．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过正方形 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点A，B，C，点B在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点D，根据正方形的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，然后可得点 SKIPIF 1 < 0 ，进而代入求解即可．
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点D，如图所示：
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小
【答案】C
【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
3．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过P作 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)2；P（-1，0）
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由 SKIPIF 1 < 0 列出函数式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
顶点式为： SKIPIF 1 < 0 ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵P在线段AB上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， SKIPIF 1 < 0 最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
4．（2022·广东广州·中考真题）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 经过点（0，7）和点（1，6）．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若点P（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）在直线 SKIPIF 1 < 0 上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
②设抛物线G与直线 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在 SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 的图象的最高点的坐标．
【答案】(1)直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）
【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①设G的顶点式，根据点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线 SKIPIF 1 < 0 的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在 SKIPIF 1 < 0 轴上得出答案；
②先根据点Q，点 SKIPIF 1 < 0 的对称，得QQ'=1，可表示点Q和 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线 SKIPIF 1 < 0 经过点（0，7）和点（1，6），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：①设G： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
∵点P（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴G： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
∵（0，-3）不在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，
而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），
∴点P必须位于直线 SKIPIF 1 < 0 的上方，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
另一方面，点P不能在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴所求 SKIPIF 1 < 0 取值范围为： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，QQ'关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，且QQ'=1，
∴点Q横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
而点Q在 SKIPIF 1 < 0 上，∴Q（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），Q'（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
∵Q'（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）在G： SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ G： SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ．
∵抛物线G过点（0，-3），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，抛物线G为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
对应区间为-2≤ SKIPIF 1 < 0 ≤-1，整个区间在对称轴 SKIPIF 1 < 0 的右侧，
此时，函数值 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，如图，
∴当 SKIPIF 1 < 0 取区间左端点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；
当 SKIPIF 1 < 0 时，对应区间为 SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ，最高点为顶点P（2，5），如图，
∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等．解题的关键是掌握当 SKIPIF 1 < 0 时，顶点在直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-3），因此， SKIPIF 1 < 0 可能会被忽视．
题型一 二次函数图象与系数a,b,c的关系
1．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ．对于下列结论： SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③多项式 SKIPIF 1 < 0 可因式分解为 SKIPIF 1 < 0 ；④无论 m 为何值时， SKIPIF 1 < 0 ．其中正确个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 图象的性质等等：
先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 可得抛物线与x轴的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 时y有最大值，由此可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，结论①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，结论②错误；
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴的两个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴多项式 SKIPIF 1 < 0 可因式分解为 SKIPIF 1 < 0 ，结论③错误；
∵对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，且函数开口向下，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，y有最大值，
由 SKIPIF 1 < 0 得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴无论m为何值时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，结论④正确；
综上：正确的有①④．
故选：B．
2．如图是二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ．关于下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤方程 SKIPIF 1 < 0 两个根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中正确的结论有（ ）
A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图像与性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．根据二次函数图像判定代数式的正负和数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向下，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴在y轴左侧，根据左同右异，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故①错；
由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
由图象可得： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故③错；
由图象可得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故④正确；
由图象可得： SKIPIF 1 < 0 的两根分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴方程 SKIPIF 1 < 0 两个根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故⑤正确；
故选：B．
3．抛物线 SKIPIF 1 < 0 上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，下列说法正确的有（ ）．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小； ②抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； ④方程 SKIPIF 1 < 0 的一个正数解 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
A．①②B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质和二次函数图像上点的特征，理解二次函数图像的性质是解题的关键．
根据表格信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：①由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 且当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大，根据二次函数图像的对称性可得当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小，故①的说法正确；
②由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，故②的说法正确；
③当 SKIPIF 1 < 0 时的函数值与 SKIPIF 1 < 0 时的函数值相同为 SKIPIF 1 < 0 ，即，故③的说法错误；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数的对称性可得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 的正数解满足 SKIPIF 1 < 0 ，故④的说法正确．
故选：D．
题型二 二次函数中线段最小值
1．如题，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的对称轴上一动点，当 SKIPIF 1 < 0 周长最小时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
(3)点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，射线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，交射线 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)存在，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 关于对称轴的对称点为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交对称轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，得出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（3）分两种情况： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0
点 SKIPIF 1 < 0 关于对称轴的对称点为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交对称轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）存在．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍）．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
分以下两种情况：
①如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 轴．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
②如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题以及相似三角形的性质，解题的关键是求出二次函数解析式．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 （b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当 SKIPIF 1 < 0 的值最小时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上方，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点D，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将A、B代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线解析式确定与x轴的交点坐标，再由对称的性质及两点之间线段最短即可确定点M的位置，然后代入一次函数解析式求解即可；
（3）过点P作 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点E，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 有最大值．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴交于A、B两点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将A、B代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，连接 SKIPIF 1 < 0 交对称轴于点M，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）过点P作 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点E，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 代数式 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时有最大值 ，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，解题的关键是构造辅助线证 SKIPIF 1 < 0 ．
3．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)线段 SKIPIF 1 < 0 上有一动点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值最小时，请直接写出此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
(3)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，C SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
(3)最大值为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和 SKIPIF 1 < 0 的值可得出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，可得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点即为所求点 SKIPIF 1 < 0 ，再根据直角三角形的三边关系可得出结论；
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，表达 SKIPIF 1 < 0 的长，再根据二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入 SKIPIF 1 < 0
得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点即为所求点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， 过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
由(1)得： SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别看作 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底边，则它们的高相同，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，并正确表达面积的比值．
题型三 二次函数中面积最值问题
1．如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请求出 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
(3)点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上移动，连接 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)4
(3)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（3）当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方时，则点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴下方时，由 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ①；
（2）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标得，直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 面积有最大值，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为4；
（3）解：当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方时，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平行于x轴
则点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 关于抛物线对称轴对称，
则点 SKIPIF 1 < 0 ；
当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴下方时，
设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标得，直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ；
综上，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
2．如图，在直角坐标系中有一直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将此三角形绕原点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①是否存在一点P，使 SKIPIF 1 < 0 的面积最大？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，点P的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)①存在，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析；② SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据正切函数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据旋转的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，据此求出A、B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）①可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，可用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 的长，当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时，则 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，可求得其最大值；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而推出 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 轴，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是由 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 而得到的，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入解析式得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 的面积最大， SKIPIF 1 < 0 的面积有最大值为 SKIPIF 1 < 0
理由如下：
设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点坐标代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
如图 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点在第二象限，
SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 点上方，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 有最大值时， SKIPIF 1 < 0 的面积有最大值，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知，存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 的面积最大， SKIPIF 1 < 0 的面积有最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在第二象限，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 在二象限，横坐标小于 SKIPIF 1 < 0 矛盾，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时， SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，解直角三角形，旋转的性质等等，解（1）的关键是利用旋转的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P为直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上的任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
(3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过P作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于Q，求出直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数性质可得 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求出抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，分三种情况：①当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 的中点重合， SKIPIF 1 < 0 ，②当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，③当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，分别解方程组可得答案．
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过P作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于Q，如图：
由 SKIPIF 1 < 0 得直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：抛物线上存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
题型四 二次函数平移、翻折、旋转问题
1．如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 和抛物线的解析式；
(2)如图2，将位于 SKIPIF 1 < 0 轴下方的抛物线沿 SKIPIF 1 < 0 轴向上翻折形成“ SKIPIF 1 < 0 ”图象，将直线 SKIPIF 1 < 0 向上平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到直线 SKIPIF 1 < 0 ．当直线 SKIPIF 1 < 0 与“ SKIPIF 1 < 0 ”图象有两个交点时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先后求出 SKIPIF 1 < 0 坐标即可求出解析式；
（2）画出平移后 SKIPIF 1 < 0 的图像，分析当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间移动时，和在 SKIPIF 1 < 0 上方移动时，直线 SKIPIF 1 < 0 与“ SKIPIF 1 < 0 ”图象有两个交点，分情况讨论，然后直接求解直线解析式即可．
【详解】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 中，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）将直线 SKIPIF 1 < 0 移动到如图位置时，直线 SKIPIF 1 < 0 与“ SKIPIF 1 < 0 ”图象有三个交点，
平移后的 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 与翻折后的抛物线只有一个交点时，
翻折后的函数解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时，
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与“ SKIPIF 1 < 0 ”图象有两个交点，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
【点睛】此题考查函数的综合应用，解题关键是取已知点代入解析式进行求解，难点是判断函数的交点个数，直接画出函数图像，找到函数有两个交点的范围，分情况讨论求解．
2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点，交x轴于另一点B．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分 SKIPIF 1 < 0 时，求P点坐标；
(3)将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．
①直线EF的解析式是______；
②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是______．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴交DP延长线与点E，过D作 SKIPIF 1 < 0 轴交x轴于点F．证明 SKIPIF 1 < 0 ，求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而求得直线DE的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线解析式即可求解；
（3）①根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ；
②连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，当GM最大时，△GFE面积最大，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 以及二次函数的性质求得当 SKIPIF 1 < 0 时，△GFE面积最大， SKIPIF 1 < 0 ，根据①的方法求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据中点公式求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 解之得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
（2）过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴交DP延长线与点E，过D作 SKIPIF 1 < 0 轴交x轴于点F．
由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，BD平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线DE的解析式为 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
（3）①直线EF解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，
∴对于抛物线上任意一点 SKIPIF 1 < 0 关于原点旋转90°后对应点为 SKIPIF 1 < 0 在旋转后图形上， SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称的点 SKIPIF 1 < 0 在旋转后图形上，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴图形2关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴直线EF解析式为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
②GH最大值为 SKIPIF 1 < 0
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当GM最大时，△GFE面积最大，
又∵ SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，△GFE面积最大， SKIPIF 1 < 0
由①可知 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴GH的最大值为： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
题型五 二次函数中的新定义型问题
1．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的“等值点”．
(1)请判断函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图像的“等值点”分别为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）有两个“等值点”．存在函数 SKIPIF 1 < 0 （异于 SKIPIF 1 < 0 ），若对于任意的自变量 SKIPIF 1 < 0 ，都有点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离相等；当 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，请结合图像求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)存在； SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上有两个“等值点”，可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可；
（3）先根据函数有两个“等值点”，利用根的判别式可初步确定 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，依据抛物线性质和图像可得 SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且图像恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，图像 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，最大值比最小值大 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称性确定抛物线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再分析抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图像和性质；然后根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的位置进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上有两个“等值点”，坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在函数 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不符合题意，舍去）
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在函数 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴方程 SKIPIF 1 < 0 没有实数根，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）有两个“等值点”，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由函数 SKIPIF 1 < 0 知：图像开口向上，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且图像恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，图像 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
最大值比最小值大 SKIPIF 1 < 0 ；
∵点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，即点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
配方，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴该图像为抛物线，开口向下，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且图像恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，图像 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 随着 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，即过点 SKIPIF 1 < 0 ，
最大值比最小值大 SKIPIF 1 < 0 ，
情况 SKIPIF 1 < 0 ：当 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的下方，此时点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 上方，即 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，2所示，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
情况2：当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，即两个函数恰好都经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图3，4所示，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去，
情况3：当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的上方，如图5，6所示，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 下方，即 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，二次函数图像和性质，对称的性质，数形结合思想和分类讨论．能够画出函数图像的草图是解题的关键．
2．新定义：若函数图象恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，我们称 SKIPIF 1 < 0 为该函数的“永恒点”．如：一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，无论 SKIPIF 1 < 0 值如何变化，该函数图象恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数 SKIPIF 1 < 0 的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是__________，落在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是__________；
【知识迁移】点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点，设点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，请问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？如果是，请求出 SKIPIF 1 < 0 的值；如果不是，请说明理由．
【答案】【初步理解】 SKIPIF 1 < 0 ；【理解应用】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；【知识迁移】是，２
【分析】【初步理解】解析式变形为 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可;
【理解应用】由二次函数变形为 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可;
【知识迁移】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，作辅助线如解析图，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，构建相似三角形，找出比例关系即可；
【详解】解：【初步理解】由一次函数变形为 SKIPIF 1 < 0 ，，
当 SKIPIF 1 < 0 时，无论 SKIPIF 1 < 0 值如何变化， SKIPIF 1 < 0
故一次函数 SKIPIF 1 < 0 必过一定点 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【理解应用】由二次函数变形为 SKIPIF 1 < 0 ，，
当 SKIPIF 1 < 0 时，无论 SKIPIF 1 < 0 值如何变化， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，无论 SKIPIF 1 < 0 值如何变化， SKIPIF 1 < 0
故二次函数 SKIPIF 1 < 0 必过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以二次函数 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，落在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【知识迁移】由题意得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由上一小题得： SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形．本题主要理解新定义，构建相似三角形解题，有一定的难度．
x
…
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
…
y
…
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
3
3
…
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