初中数学浙教版九年级上册4.1 比例线段精品课时作业

这是一份初中数学浙教版九年级上册4.1 比例线段精品课时作业，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知m+2nn=157，则n:m等于 ( )
A. 7:1B. 1:7C. 4:5D. 5:4
2.若xy=43，则下列等式成立的是( )
A. 3x=4yB. x3=y4C. 4x=3yD. 3x=4y
3.校园里一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，如果将AB看作一条线段，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10cm，那么AP的长度为( )
A. (5 5−1)cmB. ( 5−1)cmC. (10 5−10)cmD. (5 5−5)cm
4.5.如果a+1=b−1=c2=2000，且a+b+
c=2000k，那么k的值为
( )
A. 14B. 4C. −14D. −4
5.已知2ab+c=2ba+c=2ca+b=k，则k=( )
A. 1B. ±1C. 1或−2D. 2
6.如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC=12AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E.若AE=mAB，则m的值为( )
A. 5−12B. 5−22C. 5−1D. 5−2
7.已知1x−1y=3，则分式2x+3xy−2yx−2xy−y的值为 ( )
A. 35B. −3C. 9D. −95
8.某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比(约等于0.618).已知CD=80cm，则AB约是( )
A. 30cmB. 49cmC. 55cmD. 129cm
9.如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点.若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是( )
A. S1>S2B. S110.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE.以下结论不正确的是( )
A. ∠BCE=36°
B. BC=AE
C. BEAC= 5−12
D. S△AECS△BEC= 5+12
11.若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则最短的线段MP的长为( )
A. ( 5−1)cmB. 5−12cmC. (3− 5)cmD. 3− 52cm
12.人们把 5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a= 5−12，b= 5+12，得ab=1，记S1=21+a+21+b，S2=61+a2+61+b2，S3=121+a3+121+b3，S4=201+a4+201+b4，…，则1S1+1S2+1S3+⋯+1S10的值为( )
A. 1B. 910C. 1011D. 10
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，Rt△OAB的直角边OA=2，AB=1，OA在数轴上，在OB上截取BC=BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是______．
14.若ab=34，则2a−bb=______．
15.若x=2y(y≠0)，则xy=____．
16.如图，若线段AB=4，点C是线段AB上黄金分割点(AC>BC)，则线段AC长是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知ba=dc≠1，求证：a+ba−b=c+dc−d．
18.(本小题8分)
已知a2=b3=c4，且a+b+c=27，求a，b，c的值．
19.(本小题8分)
如图1所示，点C把线段AB分成AC与CB，若ACAB=CBAC，则称线段AB被点C黄金分割(gldensectin)，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
(1)根据上述定义求黄金比；
(2)在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．
①作线段AB的垂直平分线，得线段AB的中点M；
②过点B作AB垂线l；
③以点B为圆心，以BM为半径作圆交l于N；
④连接AN，以N为圆心，以NB为半径作圆交AN于P；
⑤以点A为圆心，以AP为半径作圆交AB于C．
(3)证明你按以上步骤作出的C点就是线段AB的黄金分割点．
20.(本小题8分)
计算：(1)已知x=2− 3，y=2+ 3，求x2+xy+y2的值．
(2)已知ab=cd=ef=37(b+d+f≠0)，求a+c−eb+d−f的值．
21.(本小题8分)
阅读下列材料：任意给定一个矩形ABCD，如果存在另一个矩形A′B′C′D′，使它的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的k倍(k≥2，且k是整数).那么我们把矩形A′B′C′D′叫做矩形ABCD的k倍矩形．例如：矩形ABCD的长和宽分别为3和1，它的周长和面积分别为8和3；矩形A′B′C′D′的长和宽分别为4+ 10和4− 10，它的周长和面积分别为16和6，这时，矩形A′B′C′D′的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的2倍，则矩形A′B′C′D′叫做矩形ABCD的2倍矩形．解答下列问题：
(1)填空：一个矩形的周长和面积分别为10和6，则它的2倍矩形的周长为 ，面积为 ．
(2)已知矩形ABCD的长和宽分别为2和1，那么是否存在它的k倍矩形A′B′C′D′，且A′B′:AB=B′C′:BC?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
22.(本小题8分)
已知线段a、b、c满足a3=b2=c6，且a+2b+c=26．
(1)求a、b、c的值;
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
23.(本小题8分)
已知x2=y3=z4，且2x+3y−z=18，求x+y+z的值．
24.(本小题8分)
已知a2=b3≠0，，求代数式5a−2ba2−4b2⋅(a−2b)的值．
25.(本小题8分)
已知：a2=b3≠0，求代数式5a−2ba2−4b2⋅(a−2b)的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵m+2nn=157，
∴7m+14n=15n，
∴7m=n，
∴n：m=7：1．
故答案为：A．
根据已知条件得出7m=n，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
此题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件得出7m+14n=15n是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵xy=43，∴3x=4y，故C错误；D正确；
∵3x=4y ，∴3y=4x，故A错误；
∵x3=y4，∴3y=4x，故B错误；
故选：D．
根据比例的性质逐个判断即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ab=cd，那么ad=bc．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
【解答】
解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10cm，
∴AP= 5−12AB= 5−12×10=(5 5−5)(cm)．
4.【答案】B
【解析】解：首先，根据题目中的条件，我们可以得到a、b、c的值：
a=2000−1=1999 b=2000+1=2001 c=2000 x2=4000
接下来，我们计算a、b、c的和：
a+b+c=1999+2001+4000=8000，
最后，根据题目中的另一个条件a+b+c=2000k，我们可以求出k的值：
k=a+b+c2000=80002000=4。
故答案为：k的值为4。
5.【答案】C
【解析】解：分两种情况：
①当a+b+c≠0时，根据等比性质，
得k=2a+2b+2cb+c+a+c+a+b=1；
②当a+b+c=0时，
则a+b=−c，k=2ca+b=−2．
综上所述，k的值为1或−2．
故选：C．
分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k=2ca+b计算得出结果．
本题考查了比例的性质，熟悉等比性质：若ab=cd=⋅⋅⋅=mn=k，则a+c+⋅⋅⋅+mb+d+⋅⋅⋅+n=k(b+d+⋅⋅⋅+n≠0).特别注意条件的限制(分母是否为0).进行分类讨论是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：令AB的长为2a，
则BC=12AB=a，
在Rt△ABC中，
AC= (2a)2+a2= 5a．
因为CD=CB，AE=AD，
所以AE=( 5−1)a，
则AE= 5−12AB，
所以m的值为 5−12．
故选：A．
令AB的长为2a，根据题中所给作图步骤，可得出BC的长为a，再用勾股定理表示出AC的长，进而可得出AD(即AE)的长，据此可解决问题．
本题考查黄金分割，能用含a的代数式表示AE及AB的长是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查分式的化简求值.解题的关键是能够对已知条件和代数式进行正确的变形，难度不大．首先将已知条件变形为y−x=3xy，从而得到x−y=−3xy，然后将原式变为2x−y+3xyx−y−2xy，整体代入求解即可．
【解答】
解：∵1x−1y=3，
∴y−x=3xy，即x−y=−3xy，
∴原式=2x−y+3xyx−y−2xy
=−6xy+3xy−3xy−2xy
=35．
故选A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键，
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】
解：由题意得：ABCD= 5−12≈0.618，
∵CD=80cm，
∴AB= 5−12CD=0.618×80≈49(cm)．
9.【答案】C
【解析】【分析】根据H是AB的黄金分割点求出AH2=BH⋅AB，求出S1=AH2,S2=BH⋅BC=BH⋅AB，最后对比即可解答．
【详解】解：∵点H即是线段AB的黄金分割点，
∴AH2=BH⋅AB，
∵S1=AH2,S2=BH⋅BC=BH⋅AB，
∴S1=S2．
故选：C
本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、黄金分割点等知识点，利用黄金分割点的定义得到AH2=BH⋅AB是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC2=72°，
由题意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE=12∠ACB=36°，
∴∠A=∠ACE=36°，
∴AE=CE，
∵∠CEB=∠A+∠ACE=72°，
∴∠B=∠CEB=72°，
∴CB=CE，
∴AE=CE=CB，
∵∠BCE=∠BAC，∠ABC=∠EBC
∴△ABC∽△CBE
∴BEBC=BCAB
∵BC=AE
∴BEAE=AEAB
∴BEAE= 5−12，
∴S△BCES△AEC=BEAE= 5−12，
∴S△AECS△BCE=2 5−1= 5+12，
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC=∠ACB=72°，再根据题意可得：CP平分∠ACB，从而可得∠BCE=∠ACE=36°，然后利用等量代换可得∠A=∠ACE=36°，从而可得AE=CE，再利用三角形的外角性质可得∠B=∠CEB=72°，从而可得CB=CE，进而可得AE=CE=CB，最后根据△ABC∽△CBE可得BEBC= 5−12，从而可得BEAE= 5−12，再利用三角形的面积可得S△BCES△AEC=BEAE= 5−12，从而进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图−基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
根据黄金分割点的定义，知NP为较长线段;则NP= 5−12MN，代入MN的值即可得出NP的值，然后计算MN−NP即可得到MP．
【解答】
解：∵P为线段MN的黄金分割点(MP∴NP= 5−12MN= 5−12×2=( 5−1)cm，
∴MP=MN−NP=2−( 5−1)=(3− 5)cm．
12.【答案】C
【解析】解：∵ab=1，
∴S1=21+a+2aa+ab=21+a+2a1+a=2+2a1+a=2=1×2，
S2=61+a2+6a2a2+(ab)2=61+a2+6a2a2+(ab)2=61+a2+6a21+a2=6+6a21+a2=6=2×3，
S3=121+a3+121+b3=121+a3+12a3a3+(ab)3=121+a3+12a31+a3=12+12a31+a3=12=3×4，
同理：S4=20=4×5，…，S10=10×11，
∴1S1+1S2+1S3+⋯+1S10
=11×2+12×3+13×4+14×5+…+110×11
=1−12+12−13+13−14+14−15+…+110−111
=1−111
=1011．
故选：C．
根据ab=1得S1=21+a+2aa+ab=21+a+2a1+a=1×2，S2=61+a2+6a2a2+(ab)2=61+a2+6a21+a2=6=2×3，同理：S3=12=3×4，S4=20=4×5，…，S10=10×11，则1S1+1S2+1S3+⋯+1S10=11×2+12×3+13×4+14×5+…+110×11，然后再把算式中的每一个分数分成两个分数的差，再进行加减运算即可得出答案．
此题主要考查了分式的运算，分数的加减运算，根据已知条件分别求出S1=1×2，S2=6=2×3，S3=12=3×4，S4=20=4×5，…，S10=10×11是解决问题的关键．
13.【答案】 5−12
【解析】解：∵Rt△OAB的直角边OA=2，AB=1，
∴OB= OA2+AB2= 22+12= 5，
又∵BA=BC，
∴OC=OB−BC= 5−1=OP，
∵点D是OP的中点，
∴OD=12OP= 5−12，
即点D所表示的数为： 5−12，
故答案为： 5−12．
根据勾股定理求出OB，进而求出OC，最后求出OD即可．
本题考查数轴表示数的意义和方法、勾股定理 ，求出OD的长是解决问题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：∵ab=34，
∴设a=3k，b=4k，
∴2a−bb=6k−4k4k=2k4k=12．
故答案为12．
利用比例的性质可设a=3k，b=4k，然后把a=3k，b=4k代入2a−bb中进行分式的混合运算即可．
本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)进行计算．
15.【答案】2
【解析】【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
直接利用比例的性质变形求出答案．
【解答】
解：∵x=2y(y≠0)，
∴xy=2yy=2．
16.【答案】2 5−2
【解析】【分析】
本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义知AC为较长线段，则AC= 5−12AB，代入数据即可得出AC的值，即可解答．
【解答】
解：由于C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AC为较长线段，AB=4，
则AC= 5−12AB=2 5−2．
故答案为2 5−2．
17.【答案】证明：∵ba=dc，∴1+ba=1+dc，即a+ba=c+dc． ①∵ba=dc，∴1−ba=1−dc，即a−ba=c−dc． ②由 ① ②可得a+ba−b=c+dc−d．
【解析】略
18.【答案】a=6，b=9，c=12．
【解析】见答案
19.【答案】解：(1)设AB=1，AC=x，则BC=1−x，
由ACAB=BCAC，得AC2=AB⋅CB，
则x2=1×(1−x)，
整理得；x2+x−1=0，
解得：x1= 5−12，x2=− 5−12(不合题意，舍去)．
所以ACAB= 5−12．
故黄金比为： 5−12．
(2)如图2中，点C即为所求作．
(3)设AB=x，则BM=AM=BN=12x，
由勾股定理得，AN= AB2+BN2= 52x，
则AC=AP= 5−12x，
∴AC= 5−12AB，
∴ACAB= 5−12
∴点C为是线段AB的黄金分割点．
【解析】(1)设AB=1，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．
(2)根据要求作出图形即可．
(3)设AB=x，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
本题考查作图−复杂作图，黄金分割等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：(1)∵x=2− 3，y=2+ 3，
∴x+y=(2− 3)+(2+ 3)=4，xy=(2− 3)×(2+ 3)=1，
∴原式=(x+y)2−xy
=42−1
=15；
(2)∵ab=cd=ef=37(b+d+f≠0)，
∴a=37b，c=37d，e=37f，
∴原式=37b+37d−37fb+d−f
=37(b+d−f)b+d−f
=37．
【解析】本题考查的是二次根式的化简求值和比例的性质，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则、完全平方公式和比例的性质是解题的关键．
(1)根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，利用完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
(2)根据比例的性质得a=37b，c=37d，e=37f，代入所求的式子即可求出答案．
21.【答案】【详解】(1)解：∵这个矩形的周长和面积分别为10和6，
∴它的2倍矩形的周长为：10×2=20，它的2倍矩形的面积为：6×2=12，
故答案为：20；12
(2)不存在，理由如下：
假设存在，
∵A′B′:AB=B′C′:BC，且矩形ABCD的长和宽分别为2和1
∴A′B′:B′C′=AB:BC=2:1，即：A′B′=2B′C′，AB=2BC，
∴22B′C′+B′C′=k⋅22BC+BC，即：k⋅BC=B′C′，
由k倍矩形的定义得：
A′B′⋅B′C′=k⋅AB⋅BC，
即：2B′C′⋅B′C′=k⋅2BC⋅BC，
即：2k⋅BC⋅k⋅BC=k⋅2BC⋅BC，
∴2k2=2k，
解得：k=1或k=0，
∵k≥2，
∴不存在满足条件的k．

【解析】【分析】本题考查了k倍矩形的定义、比例的性质：
(1)根据k倍矩形的定义即可求解；
(2)根据k倍矩形的定义得k⋅BC=B′C′，进而可得A′B′⋅B′C′=k⋅AB⋅BC，即2k2=2k，解方程即可求解；
熟练掌握k倍矩形的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设a3=b2=c6=k(k≠0)，
则a=3k，b=2k，c=6k．
因为a+2b+c=26，
所以3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
所以a=3×2=6，b=2×2=4，c=6×2=12．
(2)因为线段x是线段a、b的比例中项，
所以x2=ab=6×4=24，
所以x=2 6(舍负)．

【解析】【分析】本题考查比例的性质和比例线段.根据比例的性质和比例线段的定义求解即可．
(1)设a3=b2=c6=k(k≠0)，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
(2)根据比例中项的定义列式x2=ab=6×4=24求解即可．
23.【答案】解：设x2=y3=z4=k，则x=2k，y=3k，z=4k，
∵2x+3y−z=18，
∴4k+9k−4k=18，
∴k=2，
∴x=4，y=6，z=8，
∴x+y+z=4+6+8=18．
【解析】设x2=y3=z4=k，得出x=2k，y=3k，z=4k，再根据2x+3y−z=18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值．
此题考查比例的性质，关键是设x2=y3=z4=k，得出k的值．
24.【答案】解：5a−2ba2−4b2⋅(a−2b)
=5a−2b(a+2b)(a−2b)⋅(a−2b)
=5a−2ba+2b，
∵a2=b3≠0，
∴a=23b，
∴原式=103b−2b23b+2b=10b−6b2b+6b=4b8b=12．
【解析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表示出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
25.【答案】解：5a−2ba2−4b2⋅(a−2b)
=5a−2b(a+2b)(a−2b)⋅(a−2b)
=5a−2ba+2b，
∵a2=b3≠0，
∴a=23b，
∴原式=103b−2b23b+2b
=10b−6b2b+6b
=4b8b
=12．
【解析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表示出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．