2023年江苏省涟水县红日中学中考数学模拟试卷12

这是一份2023年江苏省涟水县红日中学中考数学模拟试卷12，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．1
2．（3分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》的收视率
B．某城市居民6月份人均网上购物的次数
C．即将发射的气象卫星的零部件质量
D．某品牌新能源汽车的最大续航里程
4．（3分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．经过两点有且只有一条直线
B．平行四边形的对角线相等
C．有两角相等的三角形是等腰三角形
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
5．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
6．（3分）一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为（ ）
A．37B．35C．33.8D．32
7．（3分）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠，如果∠1＝130°，那么∠2等于（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
8．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
二.填空题：（每题3分，共24分，请将答案填在答题卡上）
9．（3分）分解因式：xy﹣x＝ ．
10．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数： ．
12．（3分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 ．
13．（3分）如图，含30°角的Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，顶点O与原点重合，则点B的坐标是 ．
14．（3分）把函数y＝x2﹣1的图象沿x轴向左平移2个单位后，可以得到函数 的图象．
15．（3分）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 ．
16．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
三、解答题：（共11小题，共102分，请将答案填在答题卡上）
17．（8分）计算：
（1）计算：﹣3tan60°+（π﹣2）0；
（2）解方程组：．
18．（6分）利用数轴求不等式组：的解集．
19．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AB上，且DE＝CF，求证：AF＝BE．
20．（9分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ ；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是 分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
21．（9分）在淮安市首届马拉松体育比赛中，我校师生踊跃报名，积极参赛，并取得了非常优秀的成绩，共有1名男学生，2名女学生获奖，另有2名男老师和2名女老师获奖．
（1）要从获奖的7人中随机选取1人参加颁奖大会，选中的人性别是女的概率是 ；
（2）如果从获奖的7人中随机选取一名学生和一名老师参加颁奖大会，用列表或树状图求选取的两人刚好是一男一女的概率．
22．（8分）如图，每一个小方格都是边长为1的单位正方形．△ABC的三个顶点都在格点上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系．
（1）画出△ABC先向左平移3个单位，再向下平移2个单位的△A1B1C1，并写出点B1的坐标 ；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）将点M（﹣3，m）沿y轴翻折后的对应点恰好落在△ABC内（含边界），则m的取值范围是 ．
23．（8分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
25．（10分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），按照方案二所需费用为y2（元），其函数图象如图所示．
（1）学生暑期专享卡每张 元；
（2）成人健身每次需要 元；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）填空：b＝ ，点M的坐标 ；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求直线CM的函数解析式及∠DMC的度数；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（14分）【问题探究】
数学实践小组的同学利用一张宽AD＝2cm的矩形纸片ABCD进行了如下的探究与操作：
第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．
【问题解决】
（1）如图1，填空：四边形AEA′D的形状是 ；
（2）如图2，小明连接了C′E两点，发现线段MC′与ME是相等的，
①请帮助小明写出证明的过程；
②如图2，若AC′＝cm，求DN：EN的值．
【问题延伸】
（3）如图3，若该矩形纸片的长AB＝5cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将纸片沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．在点M从点A向点B运动的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 cm．
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共24分，请将答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．1
【解答】解：比﹣2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数；
分析选项可得，只有A符合．
故选：A．
2．（3分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意；
B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；
C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；
D、主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》的收视率
B．某城市居民6月份人均网上购物的次数
C．即将发射的气象卫星的零部件质量
D．某品牌新能源汽车的最大续航里程
【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；
B、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；
C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；
D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（3分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．经过两点有且只有一条直线
B．平行四边形的对角线相等
C．有两角相等的三角形是等腰三角形
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，是真命题；
B、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题；
C、有两角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
D、圆的切线垂直于经过切点的半径，是真命题；
故选：B．
5．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
6．（3分）一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为（ ）
A．37B．35C．33.8D．32
【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：28，32，35，37，37，
位于最中间的数是35，
∴这组数的中位数是35．
故选：B．
7．（3分）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠，如果∠1＝130°，那么∠2等于（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
【解答】解：如图，AB∥CD，
∴∠BEG＝∠1＝130°，
由折叠可知：∠2＝∠BEF，
∴∠2＝∠BEG＝65°．
故选：C．
8．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
二.填空题：（每题3分，共24分，请将答案填在答题卡上）
9．（3分）分解因式：xy﹣x＝ x（y﹣1） ．
【解答】解：xy﹣x＝x（y﹣1）．
故答案为：x（y﹣1）．
10．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【解答】解：由题意得：2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数： （答案不唯一） ．
【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：（答案不唯一）．
12．（3分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 7 ．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7．
13．（3分）如图，含30°角的Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，顶点O与原点重合，则点B的坐标是 （0，2） ．
【解答】解：在Rt△OBC中，∠C＝90°，∠COB＝30°，
∴OB＝2BC，
∵OC＝，
∴CB＝1，OB＝2，
∵点B在y轴上，
∴B点坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）．
14．（3分）把函数y＝x2﹣1的图象沿x轴向左平移2个单位后，可以得到函数 y＝（x+2）2﹣1 的图象．
【解答】解：把函数y＝x2﹣1的图象沿x轴向左平移2个单位后，所得函数图象的关系式是：y＝（x+2）2﹣1．
故答案为：y＝（x+2）2﹣1．
15．（3分）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 ．
【解答】解：如图，连接AB．
∵OA＝AB＝，OB＝2，
∴OB2＝OA2+AB2，
∴∠OAB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∴sin∠AOB＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 2+ ．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
∴的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+．
故答案为：2+．
三、解答题：（共11小题，共102分，请将答案填在答题卡上）
17．（8分）计算：
（1）计算：﹣3tan60°+（π﹣2）0；
（2）解方程组：．
【解答】解：（1）原式＝3﹣3×+1
＝3﹣3+1
＝1；
（2），
①×2，得：4x+2y＝12③，
③﹣②，得：3x＝15，
解得：x＝5，
把x＝5代入①，可得：2×5+y＝6，
解得：y＝﹣4，
∴原方程组的解为．
18．（6分）利用数轴求不等式组：的解集．
【解答】解：解不等式2x+1＞x，得：x＞﹣1，
解不等式﹣x≥1，得：x≤3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
19．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AB上，且DE＝CF，求证：AF＝BE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴AE＝BF，
∴AE﹣EF＝BF﹣EF，
即AF＝BE．
20．（9分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ 20% ；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是 84.5 分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数分布直方图如图所示：
（2）m＝10÷50＝20%，
故答案为：20%；
（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为＝84.5，
因此中位数是84.5，
故答案为：84.5；
（4）1200×＝672（人），
答：估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生大约有672人．
21．（9分）在淮安市首届马拉松体育比赛中，我校师生踊跃报名，积极参赛，并取得了非常优秀的成绩，共有1名男学生，2名女学生获奖，另有2名男老师和2名女老师获奖．
（1）要从获奖的7人中随机选取1人参加颁奖大会，选中的人性别是女的概率是 ；
（2）如果从获奖的7人中随机选取一名学生和一名老师参加颁奖大会，用列表或树状图求选取的两人刚好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）从获奖的7人中随机选取1人参加颁奖大会，选中的人性别是女的概率是＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选取的两人刚好是一男一女的结果有6种，
∴选取的两人刚好是一男一女的概率为＝．
22．（8分）如图，每一个小方格都是边长为1的单位正方形．△ABC的三个顶点都在格点上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系．
（1）画出△ABC先向左平移3个单位，再向下平移2个单位的△A1B1C1，并写出点B1的坐标 （﹣2，0） ；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）将点M（﹣3，m）沿y轴翻折后的对应点恰好落在△ABC内（含边界），则m的取值范围是 ≤m≤3 ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）将点M（﹣3，m）沿y轴翻折后的对应点恰好落在△ABC内（含边界），则m的取值范围是
∵B（1，2），C（4，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，
当x＝3时，y＝，
观察图象可知，满足条件的m的值为≤m≤3．
故答案为：≤m≤3．
23．（8分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？
【解答】解：设甲工程队每天修x米，则乙工程队每天修（1500﹣x）米，根据题意可得：
＝，
解得：x＝900，
经检验得：x＝900是原方程的根，
答：甲工程队每天修900米．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝8，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∵CD•AE＝AC•CE，
∴CD＝＝．
25．（10分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），按照方案二所需费用为y2（元），其函数图象如图所示．
（1）学生暑期专享卡每张 30 元；
（2）成人健身每次需要 25 元；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【解答】解：（1）由图象可得，
学生暑期专享卡每张30元，
故答案为：30；
（2）成人健身每次需要：（180﹣30）÷10÷0.6
＝150÷10÷0.6
＝15÷0.6
＝25（元），
故答案为：25；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择方案一所需费用更少．
理由：当x＝8时，方案一需要花费：30+25×0.6×8＝150（元），方案二需要花费：25×0.8×8＝160（元），
∵150＜160，
∴八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择方案一所需费用更少．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）填空：b＝ 3 ，点M的坐标 （3，﹣3） ；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求直线CM的函数解析式及∠DMC的度数；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2﹣2x，令y＝0，得x2﹣2x＝0，
解得x＝0或6，
∴A（6，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴0＝﹣3+b，
∴b＝3，
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，
∴M（3，﹣3）；
故答案为：3；（3，﹣3）；
（2）如图1中，设平移后的直线的解析式y＝﹣x+n．
∵平移后的直线经过M（3，﹣3），
∴﹣3＝﹣+n，
∴n＝﹣，
∴平移后的直线CM的解析式为y＝﹣x﹣①，
过点D（2，0）作DH⊥MC于H，
则直线DH的解析式为y＝2x﹣4②，
联立①②并解得，
∴H（1，﹣2），
∵D（2，0），M（3，﹣3），
∴DH＝＝，HM＝＝，
∴DH＝HM．
∴∠DMC＝45°．
（3）存在，理由：
如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．
∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA，
∴∠EFA＝∠BAO，
∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO＝＝＝，
∴tan∠GFH＝tan∠EFK＝，
∵GH∥EK，
∴＝＝，设GH＝4k，EK＝3k，
则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k，
∴OF＝AF＝12k＝3，
∴k＝，
∴OF＝3，FK＝AK＝，EK＝，
∴OK＝，
∴E（，）．
27．（14分）【问题探究】
数学实践小组的同学利用一张宽AD＝2cm的矩形纸片ABCD进行了如下的探究与操作：
第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．
【问题解决】
（1）如图1，填空：四边形AEA′D的形状是 正方形 ；
（2）如图2，小明连接了C′E两点，发现线段MC′与ME是相等的，
①请帮助小明写出证明的过程；
②如图2，若AC′＝cm，求DN：EN的值．
【问题延伸】
（3）如图3，若该矩形纸片的长AB＝5cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将纸片沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．在点M从点A向点B运动的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 ﹣ cm．
【解答】（1）解：依题意，∠A＝∠ADA′＝∠BA′D＝90°，
∴四边形AEA′D是矩形．
又AD＝A′D，
∴四边形AEA′D是正方形．
故答案为：正方形．
（2）①证明：连接EC、EC′，则由翻折的对称性可知EC＝EC′，
又由（1）可知AE＝AD＝BC，
∴Rt△AEC′≌Rt△BCE，
∴AC′＝BE．
在Rt△BEM和Rt△AC′M中，又由∠A＝∠B，∠AMC′＝∠BME，
∴△BEM≌△AC′M，
∴MC′＝ME．
②解：∵AC′＝cm，∴C′D＝cm，
Rt△AMC′中，设AM＝x，则x2+＝（2﹣x）2，
解得AM＝x＝，MC′＝．
Rt△AC′M和Rt△DFC′中，
∵∠AMC′+∠AC′M＝90°，∠AC′M+∠DC′F＝90°，
∴∠AMC′＝∠DC′F．
∴Rt△AC′M∽Rt△DFC′．
∴．
解得DF＝＝1．
DN：EN＝S△C′DF：S△C′EF．
而S△C′DF＝，
S△C′EF＝SAEFD﹣S△C′EF﹣S△AEC′
＝3﹣﹣
＝，
∴DN：EN＝：＝．
（3）解：∵边MB'与边CD交于点E，
∴∠BNM＝∠B′NM≥∠ENM．
故∠ENM≤∠ENB．
当M在点A处时，NE＝，
M移动到AM＝2时，点E向右移动到NE＝2，
当M移动到∠ENM＝∠ENB时，点E又向左移动到NE＝NB＝．
当M继续移动时，边MB'与边CD不相交，不合题意．
故点E移动的路径长为﹣．
故答案为：﹣．