2023年江苏省常州市经开初级中学中考数学模拟试卷（二）（含解析）

2023年江苏省常州市经开初级中学中考数学模拟试卷（二）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  一次函数的图象与轴的交点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，则下列结论不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  估算的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  如图，中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示有下列结论：；；；为实数；若，是该抛物线上的三点，则其中，正确结论的序号有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  计算： ______ ．

10.  化简：______．

11.  分解因式：______．

12.  一种花瓣的花粉颗粒直径约为米，将数据用科学记数法表示为______．

13.  已知关于的一元二次方程的一个根是，则 ______ ．

14.  已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积等于______．

15.  如图，中，是上一点，，，则______度．

16.  如图，为的直径，点在圆上，交于点，连接，，则______．

17.  已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：

则当时，的取值范围是                 ．

18.  如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，且，，点从点开始沿轴的正方向移动，点在平分线上移动，则点到原点的最大距离是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．

21.  本小题分
如图，、、三点在同一条直线上，，，．
求证：
若，求的度数．

22.  本小题分
学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
______，______．
该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
请计算扇形统计图中“次”所对应扇形的圆心角的度数；
若该校共有名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“次及以上”的人数．

23.  本小题分
一只不透明的袋子中装有个白球、个蓝球和个红球，这些球除颜色外都相同．
从袋中随机摸出个球，摸出红球的概率为______；
从袋中随机摸出个球不放回后，再从袋中余下的个球中随机摸出个球．求两次摸到的球颜色不相同的概率．

24.  本小题分
某中学为了奖励在学校诗词大会上获奖的同学，计划购买甲、乙两种奖品共件，其中甲种奖品每件元，乙种奖品每件元如果购买甲、乙两种奖品共花费元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件．

25.  本小题分
如图，直线与双曲线交于点，．
求直线与双曲线的解析式．
点在轴上，如果，求点的坐标．
 

26.  本小题分
如图，函数的图象交轴于点和点，交轴于点．
求抛物线的函数解析式；
点在抛物线上，求当时点的坐标．

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为；
若，则点与点的“非常距离”为
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图中线段与线段长度的较大值点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点．
已知点，为轴上的一个动点，
若点与点的“非常距离”为，写出一个满足条件的点的坐标；
直接写出点与点的“非常距离”的最小值；
已知是直线上的一个动点，
如图，点的坐标是，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；
如图，是以原点为圆心，为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点与点的坐标．

 

28.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，且是的中点，以为直径的交直线于点位于点右下方，交轴于点，连接交于点．
若点的坐标为，请直接写出，两点的坐标和的长；
若，求的度数；
如图，是上一点，在的条件下，若四边形的面积是，记．
用含的代数式表示；
求当取最大值时的半径．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、与不是同类项，不能合并，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．
根据合并同类项法则判断、；根据积的乘方法则判断；根据幂的乘方法则判断．
本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、另一底面的三角形是直角三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误；
B、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；
C、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；
D、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误．
故选：．
根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．
本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，不能有两个侧面在两三角形的同一侧．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入求出值是解题的关键．
代入求出值，进而即可得出发一次函数的图象与轴的交点坐标．
【解答】
解：当时，，
一次函数的图象与轴的交点坐标为．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时减去，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
B、在不等式的两边同时乘以，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
C、在不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变，即，故本选项不符合题意；
D、当，时，不等式不成立，故本选项符合题意；
故选：．
由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先估算出的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出的取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，延长交于点；

由题意得：，，
为等边三角形，
，；
在与中，
，
≌，
，
，且；
由题意得：，
，，
；
由勾股定理得：，
，
故选：．
连接，延长交于点，证明≌，得到；求出、的长，即可解决问题．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出在等边三角形的高上是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为，
，
，故结论正确；
抛物线的开口向下，顶点在第二象限，与轴的一个交点在和之间，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
抛物线与轴的交点在负半轴上，
，故结论正确；
对于，当时，，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，顶点在第三象限，开口向下，
点在第二象限，
，
由，
，
，
即：，故结论正确；
对于，当时，，当为实数时，，
抛物线的对称轴为，
点为抛物线的顶点，
又抛物线的开口向下，
为抛物线的最大值，
，
即：，故结论正确；
抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
观察函数的图象可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，
，故结论不正确．
综上所述：正确的结论是．
故选：．
根据抛物线的对称轴可对结论进行判断；根据抛物线与轴的两个交点坐标的位置可判断出抛物线与轴交点的位置，进而可对结论进行判断；根据抛物线与轴的两个交点坐标的位置可判断出点的位置，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴可求出顶点坐标为，由此可判定为抛物线的最大值，据此可对结论进行判定；根据抛物线的开口向下，且对称轴为直线可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，据此可对结论进行判断，进而可得出答案．
此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据绝对值的性质去绝对值后计算即可．
本题考查有理数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式．
分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
本题考查了分式的加减运算．最后要注意将结果化为最简分式．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取后，利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
本题考查了科学记数法表示较小的数，关键是用为负整数表示较小的数．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解，属于基础题．
将代入一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求出即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程的一个根是，
则，
解得．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积，
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥的侧面积的求法，牢记公式是解答本题的关键，难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．
设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【解答】解：，
，，
设，
，
，
，
在中，
，
，
解得：．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查圆周角定理，关键是根据直径和垂直得出的度数．
连接，得出的度数，进而得出的度数，利用互余解答即可．
【解答】

解：连接，

为的直径，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．

17.【答案】 

【解析】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线，
所以，时，，
所以，时，的取值范围为．
故答案为：．
根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出时，，然后写出时，的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到的另一个的值是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：点在平分线上移动，
，
如图，作的外接圆，连接，，，，过点作，交的延长线于，

，
，
，
，，
，
，
，
，
当点在上时，有最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
作的外接圆，连接，，，，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，，的长，由勾股定理可求的长，由三角形的三边关系可求解．
本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，单项式乘多项式，零指数幂，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式可得  ；
解不等式可得  ；
原不等式组的解集为 ，
在数轴上表示为：
． 

【解析】求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能求出不等式组的解集．
 

21.【答案】证明：，
，，
．
，
在和中，
，
≌，
；

解：≌，

． 

【解析】根据平行线的性质可得，，再由可得，然后可利用证明≌，进而得到；
根据全等三角形的性质可得，然后根据邻补角的性质进行计算即可．
此题主要考查了全等三角形的性质和判定，关键是掌握全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
 

22.【答案】解：，  ；
，；
扇形统计图中“次”所对应扇形的圆心角的度数为；
估计该校学生在一周内借阅图书“次及以上”的人数为人，
答：估计该校学生在一周内借阅图书“次及以上”的人数为人． 

【解析】解：被调查的总人数为人，
，，即，
故答案为：，；
由于共有个数据，其中位数为第、个数据的平均数，
而第、个数据均为，
所以中位数为，
出现次数最多的是，
所以众数为，
故答案为：、；
见答案
见答案．
先由次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得的值，用次的人数除以总人数求得的值；
根据中位数和众数的定义求解；
用乘“次”对应的百分比即可得；
用总人数乘样本中“次及以上”的人数所占比例即可得．
本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】；
如图所示：
，
所有的可能有种，符合题意的有种，故两次摸到的球颜色不相同的概率为：． 

【解析】解：从袋中随机摸出个球，摸出红球的概率为：；
故答案为：；
见答案．
直接利用概率公式求出摸出红球的概率；
利用树状图得出所有符合题意的情况，进而列概率公式求出即可．
此题主要考查了树状图法求概率，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键．
 

24.【答案】解：设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，
由题意得：，
解得：，
答：甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件． 

【解析】设甲种奖品购买了件，乙种奖品购买了件，根据购买甲、乙两种奖品共件，购买甲、乙两种奖品共花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

25.【答案】解：双曲线经过点，
．
双曲线的解析式为．
点在双曲线上，
点的坐标为．
直线经过点，，
，解得，
直线的解析式为；
当时，，
点．
设点的坐标为，
，，，
，即，
解得：，．
点的坐标为或． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；根据三角形的面积公式以及，得出．
把的坐标代入可求出，即可求出反比例函数解析式，把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，把，的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出，解之即可得出结论．
 

26.【答案】解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
如图，当在下方时，过点作交于点，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，，
，
≌，
，，
当时，，解或，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得或，
；
如图，当在上方时，过点作交于点，过点作轴交于点，
，
，
同理可得≌，
，，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
；
综上所述：点坐标为或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
当在下方时，过点作交于点，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明≌，可求，直线与抛物线的交点即为点；当在上方时，过点作交于点，过点作轴交于点，同理可得≌，求出，直线与抛物线的交点为点．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：为轴上的一个动点，
设点的坐标为．
，
，
解得，或；
点的坐标是或；
点与点的“非常距离”的最小值为；


如图，取点与点的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若，则点与点的“非常距离”为”解答，此时即，
是直线上的一个动点，点的坐标是，
设点的坐标为，
，
此时，，
点与点的“非常距离”的最小值为：，
此时；
当点在过原点且与直线垂直的直线上时，点与点的“非常距离”最小，设点位于第二象限．
则，
解得，，
故E
，
解得，，
则点的坐标为，
最小值为． 

【解析】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．
根据点位于轴上，可以设点的坐标为由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得的值；
设点的坐标为因为，所以点与点的“非常距离”最小值为；
设点的坐标为根据材料“若，则点与点的“非常距离”为”知，、两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点的坐标；
当点在过原点且与直线垂直的直线上时，点与点的“非常距离”最小，即解答思路同上．
 

28.【答案】解：设点，，
点是的中点，点的坐标为，
，
，，
点，，
，，
，
连接，

点的坐标为，
，
是直径，
，
，
，
，
；
连接，，

，
，
，
，
为直径，
，
，
，且，
，且，
，
，，且，
≌
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，且，
；
连接，作于，由知垂直平分，

，，
，
，，
，
设，
，，
，
，
，
，
由题意得，
化简得，
，
，
；
，
，
当时，取最大值，
此时，，，即，重合，
，
直径，
半径为． 

【解析】由中点坐标可求点，点坐标，由三角形的面积公式可求的值，由勾股定理可求的长；
由题意可得，由平行线分线段成比例可得，由三角形中位线可得，由“”可证≌，可得，即可证是等边三角形，即可求的度数；
连接，作于，可求出，用，表示出、、的长，由，可得出，则的值可求出；
可求出当时，取最大值，取最大值，此时，，，即，重合，则，则半径可求出．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，勾股定理以及二次函数的性质，熟练掌握这些性质是解本题的关键．