2023-2024学年海南省文昌中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省文昌中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设复数z=i(1+2i)(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.如图，四边形ABCD中，AB=DC，则必有( )
A. AD=CBB. OA=OCC. AC=DBD. DO=OB
3.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若△ABC的面积S=a2+b2−c24，则角C的大小是( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
4.矩形ABCD中，AB=3，AD=2，M为线段AB上靠近A的三等分点，N为线段BC的中点，则DM⋅AN=( )
A. −1B. 0C. 1D. 7
5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC+ccsB=asinA，则△ABC的形状为
．( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
6.如图所示，某数学兴趣小组为了测量嘉兴某地“智标塔”高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为60°，塔底C点的仰角为45°.已知山岭高CD为72米，则塔高BC为( )
A. 72 2−72米B. 72 3−72米C. 72 6−72米D. 144 3−72米
7.已知复数z满足|z−1|=1，则|z+2−2i|的最大值为( )
A. 13−1B. 13C. 13+1D. 2 2
8.在△ABC中，∠BAC=90°，AD是∠BAC的角平分线，AB=3，AC=4，E是AC的中点，则DE的长度为( )
A. 2 377B. 2 177C. 377D. 177
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数−2−i的虚部为−i
B. 在复平面内，复数−2−i的共轭复数对应的点在第四象限
C. 若i为虚数单位，n为正整数，则(1+i1−i)4n=1
D. 若|z|≤1，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为π
10.对于△ABC，下列说法正确的有( )
A. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B. 若A>B，则sinA>sinB
C. 若sin2A+sin2BD. 若b=3，a=4，B=45°，则此三角形有两解
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=g(x)的图象，则( )
A. g(x)=2sin(2x+π3)
B. 函数g(x)的一条对称轴为直线x=π12
C. g(x)在[−π3,π12]上单调递减
D. 当x∈[−π3,3π4]时，若方程g(x)−a=0恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3∈[56π,1112π]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a=(2,1),b=(1,m)，若a⊥b，则m= ______．
13.把复数1+i对应的点向右平移1个单位长度得到点A，把所得向量OA绕点O逆时针旋转90°，得到向量OB，则点B对应的复数为______．
14.在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设AB=a，AC=b，记AN=ma+nb，则m−n= ______；若∠A=π6，△ABC的面积为 3，则AM⋅AN的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=4+mi(m∈R)，且z1−⋅(1−2i)为纯虚数．
(1)求复数z1；
(2)若z2=z1(1−i)2，求复数z−2及|z2|.
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2),b=(3,−2)．
(1)已知|c|=5且c/​/a，求c；
(2)已知|c|= 10，且(2a+c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．
17.(本小题15分)
在△ABC中，atanB=2bsinA．
(Ⅰ)求∠B的大小；
(Ⅱ)若a=8，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：BC边上中线的长为 21；
条件②；csA=−23
条件③：b=7．
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[−π3,π3]时，求f(x)的最值．
(3)当x∈[π6,5π6]时，关于x的不等式af(12x−π6)−f(x+π12)≥4有解，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA−bsinB+(b−c)sinC=0．
(1)求角A；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值；
(3)若△ABC为锐角三角形，求 3(2b+c)a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：z=i(1+2i)=−2+i，
故复数z在复平面内对应的点(−2,1)位于第二象限．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及几何意义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行向量与相等向量、相反向量之间的关系与应用问题，属于基础题．
根据AB=DC，得出四边形ABCD是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【解答】
解：四边形ABCD中，AB=DC，
∴AB/​/DC，且AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴AD=−CB，A错误；
OA=−OC，B错误；
AC≠BD，C错误；
DO=OB，D正确．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，
△ABC的面积S=a2+b2−c24，
可得12absinC=a2+b2−c24，
可得sinC=a2+b2−c22ab=csC，
∴C=45°．
故选：C．
直接利用三角形的面积以及余弦定理求解即可．
本题考查余弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力．
4.【答案】C
【解析】解：以{AB,AD}为基底向量，
则DM=AM−AD=13AB−AD,AN=AB+BN=AB+12AD，
因为AB⊥AD，
则AB⋅AD=0，
所以DM⋅AN=(13AB−AD)⋅(AB+12AD)=13AB2−56AB⋅AD−12AD2=13×9−12×4=1．
故选：C．
以{AB,AD}为基底向量表示DM,AN，根据数量积的定义及运算律分析运算．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及变形、两角和与差的正弦公式的逆用、利用诱导公式化简，属于基础题．
由题意利用正弦定理可得sinBcsC+sinCcsB=sinAsinA，利用两角和的正弦公式和诱导公式求得sinA的值，进而可得角A的大小，由此即可判断△ABC的形状．
【解答】
解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由题意知bcsC+ccsB=asinA，
由正弦定理得b=2RsinB，c=2RsinC，a=2RsinA，
则sinBcsC+sinCcsB=sinAsinA，则sin(B+C)=sinAsinA，
因为sin(B+C)=sin[π−(B+C)]=sinA，所以sinA=sinAsinA
因为sinA≠0，所以sinA=1，所以A=π2，故三角形为直角三角形．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：在△CDA中，AD=CDtan∠DCA=72tan45°=72，
在△ABD中，DB=ADtan∠BAD=72tan60°=72 3，
所以BC=BD−CD=72( 3−1)．
故选：B．
△CDA中求出AD，再在△ABD中求得BD，从而可得BC．
本题考查解三角形，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设z=x+yi，x，y∈R，
则|z−1|=|x−1+yi|= (x−1)2+y2=1，
即(x−1)2+y2=1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆，
所以|z+2−2i|可理解为圆(x−1)2+y2=1上的点(x,y)到(−2,2)的距离，
所以|z+2−2i|的最大值为 (1+2)2+(0−2)2+1= 13+1．
故选：C．
|z−1|=1几何意义为圆(x−1)2+y2=1上的点，|z+2−2i|理解为圆(x−1)2+y2=1上的点(x,y)到(−2,2)的距离，利用圆的性质求最值即可．
本题主要考查了复数几何意义的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠BAC=90°，AD是∠BAC的角平分线，AB=3，AC=4，
所以BC= AB2+AC2=5，sinB=ACBC=45，
因为BDCD=ABAC=34，又BD+CD=5，
所以解得BD=157，
在△ABD中，又∠BAD=45°，
由正弦定理BDsin∠BAD=ADsinB，可得157 22=AD45，解得AD=12 27，
在△ADE中，AE=2，∠EAD=45°，
由余弦定理可得DE2=AE2+AD2−2AE⋅AD⋅cs∠EAD，可得DE2=22+(12 27)2−2×2×12 27× 22=14849，
所以DE=2 377．
故选：A．
由题意利用勾股定理可求BC的值，可求sinB=45，利用角平分线的性质可求得BD的值，在△ABD中，由正弦定理可求得AD的值，在△ADE中，由余弦定理可得DE的值．
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，复数−2−i的虚部为−1，故A错误；
对于B，在复平面内，复数−2−i的共轭复数为−2+i，对应的点的坐标为(−2,1)，在第二象限，故B错误；
对于C，∵n为正整数，∴(1+i1−i)4n=[(1+i)2(1−i)(1+i)]4n=[(2i2)4]n=1，故C正确；
对于D，若|z|≤1，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形是以原点为圆心，以1为半径的圆，面积为π，故D正确．
故选：CD．
由复数的基本概念判断A与B；利用复数代数形式的乘除运算化简判断C；由复数的几何意义判断D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：A：由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A=π−2B，
解得A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰或直角三角形，故A错误；
B：由A>B得a>b，所以2RsinA>2RsinB(R为△ABC外接圆半径)，
得sinA>sinB，故B正确；
C：由正弦定理得a2+b2所以π2D：由正弦定理得asinA=bsinB，则sinA=asinBb=2 23> 22=sinB，
又a>b，所以A>B=45°，所以满足sinA=2 23的A有两个，故D正确．
故选：BCD．
根据诱导公式可得A=B或A+B=π2，即可判断A；根据正弦定理的应用即可判断BD；根据余弦定理的应用即可判断C．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A.由图知A=2,T4=512π−π6=π4,T=π,ω=2πT=2，
f(5π12)=−2⇒2sin(2×5π12+φ)=−2⇒5π6+φ=3π2+2kπ,k∈Z，
φ=23π+2kπ,k∈Z，因为|φ|<π，所以φ=23π，
则f(x)=2sin(2x+23π)，
所以g(x)=2sin[2(x−π6)+23π]=2sin(2x+π3)，故A正确；
B.当x=π12时，g(x)=2sin(π6+π3)=2sinπ2=2，此时g(x)取到最大值，
所以x=π12是g(x)的一条对称轴，故B正确；
C.因为g(x)=2sin(2x+π3),x∈[−π3,π12]，所以2x+π3∈[−π3,π2]，
而y=sinx在[−π3,π2]上单调递增，所以g(x)在[−π3,π12]上单调递增，故C错；
D.由g(x)−a=0，得2sin(2x+π3)=a，因为x∈[−π3,3π4]，
所以2x+π3∈[−π3,116π]，
所以y=2sint,t∈[−π3,116π]的图象如下：
所以t2+t3=32π×2=3π，即2x2+π3+2x3+π3=3π，所以x2+x3=76π，
而t1=2x1+π3∈[−π3,−π6]，所以x1∈[−π3,−π4]，
则x1+x2+x3∈[56π,1112π]，故D正确．
故选：ABD．
A，根据图象显示可得函数周期，最值，代入最低点即可得f(x)，再平移即可得y=g(x)；B，将x=π12代入计算看是否取最值即可；C，求出2x+π3的范围，利用正弦函数的单调性来判断；D，画图，通过图象观察结合函数对称性进行计算．
本题考查三角函数的性质，考查函数与方程的关系，属于中档题．
12.【答案】−2
【解析】解：因为a⊥b，
所以a⋅b=2×1+1×m=0⇒m=−2．
故答案为：−2．
根据向量垂直的坐标运算求参数即可．
本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
13.【答案】−1+2i
【解析】解：因为复数1+i对应的点的坐标为(1,1)，
所以点A的坐标为(2,1)，即向量OA=(2,1)，
所以向量OB=(−1,2)，即点B的坐标为(−1,2)，
所以点B对应的复数为−1+2i．
故答案为：−1+2i．
根据复数在复平面对应的点的概念并进行平移确定点A，进而确定OA与OB，进而得解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】12 6
【解析】解：在△ABC中，由M是边BC的中点，N是线段BM的中点，
可得AN=AB+BN=AB+14BC=AB+14(AC−AB)=34AB+14AC，
又因为AB=a，AC=b，所以AN=34a+14b，
又AN=ma+nb，所以m=34,n=14，即m−n=34−14=12；
由M是边BC的中点可得：AN=12AB+12AC，
则AM⋅AN=(12AB+12AC)⋅(34AB+14AC)=38AB2+12AB⋅AC+18AC2
=38|a|2+12|a|⋅|b|csπ6+18|b|2，
由题意有：S△ABC=12|a||b|sinπ6= 3，可得|a||b|=4 3，
即AM⋅AN=38|a|2+18|b|2+12×4 3× 32≥2 38×18×(4 3)2+3=3+3=6，
当且仅当|a|=2，|b|=2 3时等号成立，
则AM⋅AN的最小值为6．
故答案为：12，6．
空1：由向量的线性运算可得AN=34AB+14AC，从而利用平面向量基本定理可知m=34,n=14，从而问题得解；
空2：由三角形的面积公式12|a||b|sinA可得|a||b|=4 3，把AM⋅AN转化到基底AB,AC的线性表示上再计算数量积可得AM⋅AN=38|a|2+18|b|2+3，再利用均值不等式即可求得最小值．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
15.【答案】解：(1)z1=4+mi，则z1−=4−mi，z1−⋅(1−2i)=(4−mi)⋅(1−2i)=4−2m−(8+m)i，
又其为纯虚数，故4−2m=0，8+m≠0，解得m=2，故z1=4+2i．
(2)z2=z1(1−i)2=4+2i(1−i)2=4+2i−2i=(4+2i)⋅2i4=−4+8i4=−1+2i，
则|z2|= (−1)2+22= 5，z−2=−1−2i．
【解析】(1)根据共轭复数的定义和复数的乘法运算，结合纯虚数的定义，即可求得结果；
(2)根据(1)中所求z1，结合复数的除法运算，求得z2，再求z−2及|z2|即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】解：(1)已知向量a=(1,2),b=(3,−2)，
又c/​/a，
设c=λa=(λ,2λ)，
又|c|=5，
则λ2+4λ2=25，
解得λ=± 5，
所以c=( 5,2 5)或(− 5,−2 5)；
(2)由题知，a=(1,2)，|c|= 10，(2a+c)⊥c，
所以|a|= 5，(2a+c)⋅c=0，
所以2a⋅c+c2=0，
所以2|a||c|cs〈a,c〉+|c|2=0，
所以2× 5× 10cs〈a,c〉+10=0，
所以cs〈a,c〉=− 22，
因为〈a,c〉∈[0,π]，
所以向量a与向量c的夹角为3π4．
【解析】(1)设c=λa=(λ,2λ)，得到方程λ2+4λ2=25，解出即可；
(2)由题意得(2a+c)⋅c=0，利用向量数量积运算律及定义得2× 5× 10cs〈a,c〉+10=0，解出即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)因为atanB=2bsinA，
所以sinAsinB=2sinBsinAcsB，
因为sinAsinB>0，
所以csB=12，
由B为三角形内角可得，B=60°；
(Ⅱ)因为a=8，
若选条件①：BC边上中线的长为 21，
设D为BC的中点，则AD= 21，
则BD=4，
△ABD中，由余弦定理可得，cs60°=c2+16−212×4×c=12，
解得，c=5(舍负)，
则△ABC存在，此时△ABC的面积S=12×5×8×sin60°=10 3；
若选条件②；csA=−23，则csA=−23∈(−1,−12)，
故A>120°，B=60°，与三角形内角和矛盾，此时△ABC不存在；
若选条件③：b=7，
则由余弦定理可得，cs60°=82+c2−722×8×c=12，
解得，c=3或c=5，
此时△ABC存在，
当a=8，c=3时，△ABC的面积S=12×8×3× 32=6 3，
当a=8，c=5时，△ABC的面积S=12×5×8× 32=10 3．
【解析】(Ⅰ)结合同角基本关系及正弦定理进行化简可求csB，进而可求B；
(Ⅱ)若选①，结合余弦定理可求出c，然后结合三角形面积公式即可求解；
若选②，结合余弦函数的性质可判断此时三角形不存在；
若选③，结合余弦定理可求c，然后结合三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角基本关系及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，得函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3=sin2x+ 3cs2x
=2(12sin2x+ 32cs2x)=2sin(2x+π3)，
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)．
(2)当x∈[−π3,π3]时，2x+π3∈[−π3,π]，所以sin(2x+π3)∈[− 32,1]，则f(x)∈[− 3,2]，
当2x+π3=−π3即x=−π3时，函数f(x)取得最小值为− 3；
当2x+π3=π2即x=π12时，函数f(x)取得最大值为2；
(3)由题意得x∈[π6,5π6]时，af(12x−π6)−f(x+π12)=2asinx−2cs2x≥4有解，
而此时sinx>0，即a≥2+cs2xsinx有解，只需要a≥(2+cs2xsinx)min即可，
2+cs2xsinx=3−2sin2xsinx=3sinx−2sinx，x∈[π6,5π6]，
令t=sinx,t∈[12,1]，则y=3t−2t在[12,1]上单调递减，
所以当t=1时，ymin=1，即(2+cs2xsinx)min=1，
所以{a|a≥1}．
【解析】(1)根据三角恒等变换化简f(x)的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
(2)由x∈[−π3,π3]，确定2x+π3∈[−π3,π]，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
(3)化简af(12x−π6)−f(x+π12)≥4，参变分离，可得a≥(2+cs2xsinx)min，令t=sinx,t∈[12,1]，则求y=3t−2t在[12,1]上的最小值，即可求得答案．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为asinA−bsinB+(b−c)sinC=0，
所以由正弦定理得a2−b2+(b−c)c=0，整理得b2+c2−a2=bc，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，
因为0所以A=π3；
(2)由余弦定理得22=b2+c2−bc，
所以4=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，即bc≤4，
当且仅当b=c=2时，等号成立，
所以S=12bcsinA≤12×4×sinπ3= 3，
即当△ABC为正三角形时，△ABC面积最大值为 3；
(3)由正弦定理得 3(2b+c)a= 3⋅2sinB+sinCsinA
=4sinB+2sinC
=4sinB+2sin(2π3−B)
=5sinB+ 3csB
=2 7sin(B+φ)，
其中φ为锐角，且tanφ= 35< 33，
所以0<φ<π6，
又因为△ABC为锐角三角形，
所以0所以π6+φ<π3所以sin(π6+φ)故 3(2b+c)a的取值范围为(4,2 7]．
【解析】(1)利用正弦定理边角互化得b2+c2−a2=bc，再利用余弦定理求解即可；
(2)利用余弦定理结合基本不等式求得bc≤4，然后利用面积公式求解即可；
(3)根据正弦定理结合两角和差公式化简得 3(2b+c)a=2 7sin(B+φ)，然后结合锐角三角形性质，根据正弦函数的性质求解范围即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．