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云南省昆明市五华区2023-2024学年高一下学期6月质量检测卷数学试题（含答案）
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这是一份云南省昆明市五华区2023-2024学年高一下学期6月质量检测卷数学试题（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若复数z的虚部小于0，且z2＝﹣1，则z（1﹣z）＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
2．（5分）已知向量＝（1，），则下列选项中与共线的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知平面向量满足，，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，则直线D1E与平面ACD1所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）在三角形ABC中，若D，E分别为边CA，且AC＝5AD，BC＝3BE，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．“大于3点”与“不大于3点”
B．“大于3点”与“小于2点”
C．“大于3点”与“小于4点”
D．“大于3点”与“小于5点”
8．（5分）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，N，O，P为△ABC所在平面上的点，满足||＝||，++＝，•＝•＝•，a+b＝（a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边），则欧拉线一定过（ ）
A．M，N，PB．M，N，OC．M，O，PD．N，O，P
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）若复数z满足：z（1﹣i）＝|z|（1+i），则（ ）
A．z的实部为0
B．z的虚部为任意一个实数
C．z+＝0
D．z＞0
（多选）10．（6分）已知向量，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则x＝2
C．当x＜2时，与的夹角为锐角
D．若x＝1，则与的夹角的余弦值为
（多选）11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝3，AA1＝2，P，Q分别为A1D1，D1C1的中点，S为棱BC的三等分点，BS＝1，Q，S三点作一个平面α与C1C，AB，A1A分别交于点R，M，N，即得到一个截面PQRSMN，则（ ）
A．PQ∥MS
B．AN＝CR
C．MN与平面ABCD所成的角的正切值为
D．点A到截面α的距离为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知甲的三分球投篮命中率为0.4，则他投两个三分球，两个都投中的概率 ．
13．（5分）已知向量，，若，则x＝ ．
14．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，，则四棱锥P﹣ABCD外接球表面积为 ；若点Q是线段AC上的动点，则|PQ|+|QB|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）若，求λ的值；
（2）若，求λ的值．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝7，bc＝40，求△ABC的周长．
17．（15分）某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25
元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，其质量分别在[25，35），45），[45，[55，65），75），[75（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；
（2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表）
（3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD
（1）求三棱锥Q﹣PAD的体积；
（2）求平面PBC与平面BCD夹角的余弦值．
19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥PD，PA＝PD
（1）求证：PM⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）在棱PA上是否存在一点N，使得PC∥平面BMN？若存在，求的值，请说明理由．
2023-2024学年云南省昆明市五华区高一（下）质检数学试卷（6月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若复数z的虚部小于0，且z2＝﹣1，则z（1﹣z）＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
【分析】设复数z＝a+bi，b＜0，然后根据z2＝﹣1，解得z＝﹣i，最后代入求解即可．
【解答】解：设复数z＝a+bi，b＜02＝﹣8，
所以z2＝a2﹣b5+2abi，所以a＝0，z＝﹣i，
所以z（2﹣z）＝﹣i（1+i）＝﹣i﹣i2＝5﹣i．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2．（5分）已知向量＝（1，），则下列选项中与共线的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，以及单位向量的定义，即可求解．
【解答】解：向量＝（1，），
则，
故与共线的单位向量是±＝，
结合选项可知，B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，以及单位向量的定义，属于基础题．
3．（5分）已知平面向量满足，，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量的坐标可求出的值，然后对两边平方进行数量积的运算即可求出的值，然后根据向量夹角的余弦公式求出的值，然后即可得出向量与向量的夹角．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴，
∴，且，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，则直线D1E与平面ACD1所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线D1E与平面ACD1所成角的正弦值．
【解答】解：以DA，DC1所在直线为x，y，z轴，
设正方体的棱长为4，
则B8（4，4，6），D1（0，7，4），0，6），4，0），8，0），
，
，
所以DB1⊥AD1，DB5⊥CD1，
由于AD1∩CD2＝D1，
所以DB1⊥平面ACD7，
即平面ACD1的法向量为，，
设直线D1E与平面ACD1所成的角为α，
则．
故选：B．
【点评】本题考查利用空间向量求解线面角，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（5分）在三角形ABC中，若D，E分别为边CA，且AC＝5AD，BC＝3BE，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由三角形的面积公式可判断A；
过点E作EF∥CA，交DB于点F，通过相似比结合DC＝4AD可得，即可判断B；
由向量的线性运算可判断C，D．
【解答】解：对于A，显然，∴；
对于B，过点E作EF∥CA，则，，
∵DC＝4AD，∴，即，∴，故B正确；
对于D，∵，
∴
＝，故D正确，
对于C，由D知，，∵，
∴，
∴＝，
则，
∴，
∴，
则，故C错误．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和三角形的面积，属于中档题．
6．（5分）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由A，D，P三点共线可得，由E，P，C三点共线可得，再由平面向量基本定理得到关于λ，μ的方程组，求解后代入即可求得．
【解答】解：∵D，E分别为BC和BA的三等分点，点E靠近点A，
∴，，
∵A，D，P三点共线，
∴＝，
∵E，P，C三点共线，
∴＝，
由平面向量基本定理可得：，解得，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，属于中档题．
7．（5分）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．“大于3点”与“不大于3点”
B．“大于3点”与“小于2点”
C．“大于3点”与“小于4点”
D．“大于3点”与“小于5点”
【分析】根据对立事件和互斥事件的定义分别判断即可．
【解答】解：对于A，“大于3点”与“不大于3点”不能同时发生，
但必有一个发生，是互斥且对立事件；
对于B，“大于4点”与“小于2点”不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥不对立事件；
对于C，“大于3点”与“小于3点”不能同时发生，
但必有一个发生，是互斥且对立事件；
对于D，“大于3点”与“小于5点”能同时发生，
故不是互斥事件，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了对立事件和互斥事件，熟练掌握定义是解题的关键，是基础题．
8．（5分）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，N，O，P为△ABC所在平面上的点，满足||＝||，++＝，•＝•＝•，a+b＝（a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边），则欧拉线一定过（ ）
A．M，N，PB．M，N，OC．M，O，PD．N，O，P
【分析】由题设条件，分别判定M为外心，N为重心，O为垂心，点P的位置和a，b，c有关，故不一定，由此得出结论．
【解答】解：因为M，N，O，P为△ABC所在平面上的点
由||＝||，可知点M为△ABC的外心，
设BC边的中点为D，则，
又++＝，∴，
所以4，即A，N，
故点N为△ABC的重心，
由a+b＝可知，
当a＝b＝c时，点P是△ABC的重心，
由•＝•可得：＝，即OB⊥AC，
同理可得：OC⊥AB，OA⊥BC，
故点O为△ABC的垂心，
由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过M，N．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积性质，属中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）若复数z满足：z（1﹣i）＝|z|（1+i），则（ ）
A．z的实部为0
B．z的虚部为任意一个实数
C．z+＝0
D．z＞0
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的混合运算法则及模的性质即可判断出正确答案．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
因为z（1﹣i）＝|z|（1+i），所以，
化简得，，
所以，所以a＝0．
∴，故A，B，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知向量，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则x＝2
C．当x＜2时，与的夹角为锐角
D．若x＝1，则与的夹角的余弦值为
【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，利用特例说明C，由数量积的坐标表示计算B、D．
【解答】解：对于A：若，因为，，
则2x＝﹣1×2，解得；
对于B：若，则，解得x＝5；
对于C：当时，此时与共线同向；
对于D：若x＝1时，则，，，
所以，即与的夹角的余弦值为．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
（多选）11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝3，AA1＝2，P，Q分别为A1D1，D1C1的中点，S为棱BC的三等分点，BS＝1，Q，S三点作一个平面α与C1C，AB，A1A分别交于点R，M，N，即得到一个截面PQRSMN，则（ ）
A．PQ∥MS
B．AN＝CR
C．MN与平面ABCD所成的角的正切值为
D．点A到截面α的距离为1
【分析】由平面ABCD∥平面A1B1C1D1，得到平面α∩平面ABCD＝MS，得到PQ∥MS，可判定A正确；根据对称性得到可得AN＝CR，可判定B正确；延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE，PE与A1A交点为N和R，结合，可判定C正确；取EM的中点为G，连接AG，NG，过A作AH⊥NG于点H，证得AH⊥平面EMN，结合，可判定D不正确．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C6D1中，因为平面ABCD∥平面A1B2C1D1，
平面α∩平面ABCD＝MS，平面α∩平面A5B1C1D5＝PQ，
所以PQ∥MS，所以A正确；
根据点P与点Q和点M与点S分别关于平面BDD1B1对称，可得AN＝CR；
延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE4A交点为N，同理确定R，
因为AE∥BS，所以，
因为BS＝BM＝1，AM＝2，
因为A2D1＝3，点P为A4D1的中点，所以，
同理可得，A1A＝2，所以，
又因为AM＝2，所以MN与平面ABCD所成的角的正切值为；
取EM的中点为G，连接AG，过A作AH⊥NG于点H，
因为AE＝AM，所以EM⊥AG，
又因为EM⊥NA，AG∩AN＝A，AN⊂平面NAG，
因为EM⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面NAG，
又因为AH⊥NG，AH⊂平面NAG，
所以AH⊥平面EMN，
又由，所以．
故选：ABC．
【点评】本题考查空间中的线线平行的判定，直线与平面所成角的求法，点到平面的距离的求法，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知甲的三分球投篮命中率为0.4，则他投两个三分球，两个都投中的概率 0.16 ．
【分析】由独立事件的乘法公式求解即可得出答案．
【解答】解：甲两个三分球都投中的概率为：0.4×7.4＝0.16．
故答案为：8.16．
【点评】本题主要考查了独立事件的乘法公式，属于基础题．
13．（5分）已知向量，，若，则x＝ 4 ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，
则，
∵，
∴2+2（2﹣x）＝4，解得x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，，则四棱锥P﹣ABCD外接球表面积为 40π ；若点Q是线段AC上的动点，则|PQ|+|QB|的最小值为 2 ．
【分析】设PC中点为O，则，可得外接球的球心与半径，从而可求外接球的表面积；将△PAC绕AC翻折到与△DAC所在面重合，
连接PB，交AC于点Q，此时|PQ|+|QB|最小，求解即可．
【解答】解：设PC中点为O，则，
所以O为四棱锥P﹣ABCD外接球的球心， 为该球半径，
所以其表面积为；
如图，将△PAC绕AC翻折到与△DAC所在面重合，
连接PB，交AC于点Q，
最小值为
＝＝2．
故答案为：40π；2．
【点评】本题考查求空间几何体的外接球的表面积，考查距离和的最小值问题，属中档题．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）若，求λ的值；
（2）若，求λ的值．
【分析】（1）利用平面向量坐标运算得出，然后再利用向量平行的坐标表示计算得出λ的值．
（2）利用平面向量坐标运算得出，再根据向量垂直的坐标表示计算得出λ的值．
【解答】解：（1）由题意可得，，
因为，所以﹣3λ＝4×9．
（2）由题意可得，，
因为，
所以﹣8×6+8λ＝6，解得．
【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝7，bc＝40，求△ABC的周长．
【分析】（1）先利用题给条件求得，进而求得角A的大小；
（2）先利用余弦定理求得b+c＝13，进而求得△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为，所以，
则，所以．
又因为A∈（0，π）．
（2）由余弦定理得，，即b2+c2﹣49＝bc，
得（b+c）7＝49+3bc＝169，则b+c＝13，
故△ABC的周长为a+b+c＝20．
【点评】本题主要考查解三角形，余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17．（15分）某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25
元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，其质量分别在[25，35），45），[45，[55，65），75），[75（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；
（2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表）
（3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售
【分析】（1）由小长方形面积之和为1求解即可；
（2）由频率分布直方图平均数的计算方法求解即可；
（3）分别计算两种方式的收益，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得（0.005+0.010+m+2.040+0.020+0.010）×10＝7，
解得m＝0.015．
（2）该果园这200个蜜桔的平均质量约为30×0.05+40×5.10+50×0.15+60×0.40+70×4.20+80×0.10＝59克/个，
（3）依题意可估计该果园这5万个蜜桔的总质量为7×59＝295万克＝2950千克，
若按原销售方案进行销售，则可获得的收益约为2950×25＝73750元；
若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，
则可获得的收益约为（0.05+0.10+3.15）×500×140+（0.40+0.20+4.10）×500×160＝77000元．
因为77000＞73750，所以按新方案进行销售．
【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD
（1）求三棱锥Q﹣PAD的体积；
（2）求平面PBC与平面BCD夹角的余弦值．
【分析】（1）根据面面垂直得线面垂直，由等体积法即可求解；
（2）根据面面垂直得线面垂直，进而根据面面角的几何法求解其平面角，利用三角形的边角关系即可求解．
【解答】解：（1）如图，取AB中点O，
∵△PAB是正三角形，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，且两平面的交线为AB，
∴PO⊥平面ABCD，∴，
，
又，
则；
（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
过O作OH⊥BC于H，连接PH，
∵PO、OH⊂平面POH，
∴BC⊥平面POH，则BC⊥PH，
∴∠PHO即为平面PBC与平面BCD的夹角，
在Rt△PHO中，因为，
所以，
即，
即平面PBC与平面BCD夹角的余弦值为．
【点评】本题考查了空间几何体的体积、二面角的求解，考查了运算能力，属于中档题．
19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥PD，PA＝PD
（1）求证：PM⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）在棱PA上是否存在一点N，使得PC∥平面BMN？若存在，求的值，请说明理由．
【分析】（1）依题意可得PM⊥AD，再由底面ABCD为矩形，则AD∥BC，即可得证；
（2）由已知证明PD⊥平面PAB，进一步可得平面PAB⊥平面PCD；
（3）连接BM、AC，BM∩AC＝O，连接ON，依题意可得△COB∽△AOM，则，再由线面平行的性质得到ON∥PC，即可得解．
【解答】解：（1）证明：因为PA＝PD，M为AD的中点，
又底面ABCD为矩形，所以AD∥BC．
（2）证明：∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．
又PA⊥PD，PA∩AB＝A、AB⊂平面PAB，
而PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；
（3）存在，且，理由如下：
连接BM、AC，连接ON，
因为ABCD是矩形，且M为AD的中点，所以，
又PC∥平面BMN，平面APC∩平面BMN＝ON，
所以ON∥PC，
所以．
【点评】本题考查线线垂直的证明，面面垂直的证明，线面平行的性质定理，属中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/20 10:45:01；用户：15290311958；邮箱：15290311958；学号：48861359
1．（5分）若复数z的虚部小于0，且z2＝﹣1，则z（1﹣z）＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
2．（5分）已知向量＝（1，），则下列选项中与共线的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知平面向量满足，，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，则直线D1E与平面ACD1所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）在三角形ABC中，若D，E分别为边CA，且AC＝5AD，BC＝3BE，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．“大于3点”与“不大于3点”
B．“大于3点”与“小于2点”
C．“大于3点”与“小于4点”
D．“大于3点”与“小于5点”
8．（5分）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，N，O，P为△ABC所在平面上的点，满足||＝||，++＝，•＝•＝•，a+b＝（a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边），则欧拉线一定过（ ）
A．M，N，PB．M，N，OC．M，O，PD．N，O，P
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）若复数z满足：z（1﹣i）＝|z|（1+i），则（ ）
A．z的实部为0
B．z的虚部为任意一个实数
C．z+＝0
D．z＞0
（多选）10．（6分）已知向量，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则x＝2
C．当x＜2时，与的夹角为锐角
D．若x＝1，则与的夹角的余弦值为
（多选）11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝3，AA1＝2，P，Q分别为A1D1，D1C1的中点，S为棱BC的三等分点，BS＝1，Q，S三点作一个平面α与C1C，AB，A1A分别交于点R，M，N，即得到一个截面PQRSMN，则（ ）
A．PQ∥MS
B．AN＝CR
C．MN与平面ABCD所成的角的正切值为
D．点A到截面α的距离为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知甲的三分球投篮命中率为0.4，则他投两个三分球，两个都投中的概率 ．
13．（5分）已知向量，，若，则x＝ ．
14．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，，则四棱锥P﹣ABCD外接球表面积为 ；若点Q是线段AC上的动点，则|PQ|+|QB|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）若，求λ的值；
（2）若，求λ的值．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝7，bc＝40，求△ABC的周长．
17．（15分）某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25
元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，其质量分别在[25，35），45），[45，[55，65），75），[75（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；
（2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表）
（3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD
（1）求三棱锥Q﹣PAD的体积；
（2）求平面PBC与平面BCD夹角的余弦值．
19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥PD，PA＝PD
（1）求证：PM⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）在棱PA上是否存在一点N，使得PC∥平面BMN？若存在，求的值，请说明理由．
2023-2024学年云南省昆明市五华区高一（下）质检数学试卷（6月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若复数z的虚部小于0，且z2＝﹣1，则z（1﹣z）＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
【分析】设复数z＝a+bi，b＜0，然后根据z2＝﹣1，解得z＝﹣i，最后代入求解即可．
【解答】解：设复数z＝a+bi，b＜02＝﹣8，
所以z2＝a2﹣b5+2abi，所以a＝0，z＝﹣i，
所以z（2﹣z）＝﹣i（1+i）＝﹣i﹣i2＝5﹣i．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2．（5分）已知向量＝（1，），则下列选项中与共线的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，以及单位向量的定义，即可求解．
【解答】解：向量＝（1，），
则，
故与共线的单位向量是±＝，
结合选项可知，B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，以及单位向量的定义，属于基础题．
3．（5分）已知平面向量满足，，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量的坐标可求出的值，然后对两边平方进行数量积的运算即可求出的值，然后根据向量夹角的余弦公式求出的值，然后即可得出向量与向量的夹角．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴，
∴，且，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，则直线D1E与平面ACD1所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线D1E与平面ACD1所成角的正弦值．
【解答】解：以DA，DC1所在直线为x，y，z轴，
设正方体的棱长为4，
则B8（4，4，6），D1（0，7，4），0，6），4，0），8，0），
，
，
所以DB1⊥AD1，DB5⊥CD1，
由于AD1∩CD2＝D1，
所以DB1⊥平面ACD7，
即平面ACD1的法向量为，，
设直线D1E与平面ACD1所成的角为α，
则．
故选：B．
【点评】本题考查利用空间向量求解线面角，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（5分）在三角形ABC中，若D，E分别为边CA，且AC＝5AD，BC＝3BE，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由三角形的面积公式可判断A；
过点E作EF∥CA，交DB于点F，通过相似比结合DC＝4AD可得，即可判断B；
由向量的线性运算可判断C，D．
【解答】解：对于A，显然，∴；
对于B，过点E作EF∥CA，则，，
∵DC＝4AD，∴，即，∴，故B正确；
对于D，∵，
∴
＝，故D正确，
对于C，由D知，，∵，
∴，
∴＝，
则，
∴，
∴，
则，故C错误．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和三角形的面积，属于中档题．
6．（5分）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由A，D，P三点共线可得，由E，P，C三点共线可得，再由平面向量基本定理得到关于λ，μ的方程组，求解后代入即可求得．
【解答】解：∵D，E分别为BC和BA的三等分点，点E靠近点A，
∴，，
∵A，D，P三点共线，
∴＝，
∵E，P，C三点共线，
∴＝，
由平面向量基本定理可得：，解得，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，属于中档题．
7．（5分）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．“大于3点”与“不大于3点”
B．“大于3点”与“小于2点”
C．“大于3点”与“小于4点”
D．“大于3点”与“小于5点”
【分析】根据对立事件和互斥事件的定义分别判断即可．
【解答】解：对于A，“大于3点”与“不大于3点”不能同时发生，
但必有一个发生，是互斥且对立事件；
对于B，“大于4点”与“小于2点”不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥不对立事件；
对于C，“大于3点”与“小于3点”不能同时发生，
但必有一个发生，是互斥且对立事件；
对于D，“大于3点”与“小于5点”能同时发生，
故不是互斥事件，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了对立事件和互斥事件，熟练掌握定义是解题的关键，是基础题．
8．（5分）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，N，O，P为△ABC所在平面上的点，满足||＝||，++＝，•＝•＝•，a+b＝（a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边），则欧拉线一定过（ ）
A．M，N，PB．M，N，OC．M，O，PD．N，O，P
【分析】由题设条件，分别判定M为外心，N为重心，O为垂心，点P的位置和a，b，c有关，故不一定，由此得出结论．
【解答】解：因为M，N，O，P为△ABC所在平面上的点
由||＝||，可知点M为△ABC的外心，
设BC边的中点为D，则，
又++＝，∴，
所以4，即A，N，
故点N为△ABC的重心，
由a+b＝可知，
当a＝b＝c时，点P是△ABC的重心，
由•＝•可得：＝，即OB⊥AC，
同理可得：OC⊥AB，OA⊥BC，
故点O为△ABC的垂心，
由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过M，N．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积性质，属中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）若复数z满足：z（1﹣i）＝|z|（1+i），则（ ）
A．z的实部为0
B．z的虚部为任意一个实数
C．z+＝0
D．z＞0
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的混合运算法则及模的性质即可判断出正确答案．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
因为z（1﹣i）＝|z|（1+i），所以，
化简得，，
所以，所以a＝0．
∴，故A，B，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知向量，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则x＝2
C．当x＜2时，与的夹角为锐角
D．若x＝1，则与的夹角的余弦值为
【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，利用特例说明C，由数量积的坐标表示计算B、D．
【解答】解：对于A：若，因为，，
则2x＝﹣1×2，解得；
对于B：若，则，解得x＝5；
对于C：当时，此时与共线同向；
对于D：若x＝1时，则，，，
所以，即与的夹角的余弦值为．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
（多选）11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝3，AA1＝2，P，Q分别为A1D1，D1C1的中点，S为棱BC的三等分点，BS＝1，Q，S三点作一个平面α与C1C，AB，A1A分别交于点R，M，N，即得到一个截面PQRSMN，则（ ）
A．PQ∥MS
B．AN＝CR
C．MN与平面ABCD所成的角的正切值为
D．点A到截面α的距离为1
【分析】由平面ABCD∥平面A1B1C1D1，得到平面α∩平面ABCD＝MS，得到PQ∥MS，可判定A正确；根据对称性得到可得AN＝CR，可判定B正确；延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE，PE与A1A交点为N和R，结合，可判定C正确；取EM的中点为G，连接AG，NG，过A作AH⊥NG于点H，证得AH⊥平面EMN，结合，可判定D不正确．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C6D1中，因为平面ABCD∥平面A1B2C1D1，
平面α∩平面ABCD＝MS，平面α∩平面A5B1C1D5＝PQ，
所以PQ∥MS，所以A正确；
根据点P与点Q和点M与点S分别关于平面BDD1B1对称，可得AN＝CR；
延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE4A交点为N，同理确定R，
因为AE∥BS，所以，
因为BS＝BM＝1，AM＝2，
因为A2D1＝3，点P为A4D1的中点，所以，
同理可得，A1A＝2，所以，
又因为AM＝2，所以MN与平面ABCD所成的角的正切值为；
取EM的中点为G，连接AG，过A作AH⊥NG于点H，
因为AE＝AM，所以EM⊥AG，
又因为EM⊥NA，AG∩AN＝A，AN⊂平面NAG，
因为EM⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面NAG，
又因为AH⊥NG，AH⊂平面NAG，
所以AH⊥平面EMN，
又由，所以．
故选：ABC．
【点评】本题考查空间中的线线平行的判定，直线与平面所成角的求法，点到平面的距离的求法，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知甲的三分球投篮命中率为0.4，则他投两个三分球，两个都投中的概率 0.16 ．
【分析】由独立事件的乘法公式求解即可得出答案．
【解答】解：甲两个三分球都投中的概率为：0.4×7.4＝0.16．
故答案为：8.16．
【点评】本题主要考查了独立事件的乘法公式，属于基础题．
13．（5分）已知向量，，若，则x＝ 4 ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，
则，
∵，
∴2+2（2﹣x）＝4，解得x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，，则四棱锥P﹣ABCD外接球表面积为 40π ；若点Q是线段AC上的动点，则|PQ|+|QB|的最小值为 2 ．
【分析】设PC中点为O，则，可得外接球的球心与半径，从而可求外接球的表面积；将△PAC绕AC翻折到与△DAC所在面重合，
连接PB，交AC于点Q，此时|PQ|+|QB|最小，求解即可．
【解答】解：设PC中点为O，则，
所以O为四棱锥P﹣ABCD外接球的球心， 为该球半径，
所以其表面积为；
如图，将△PAC绕AC翻折到与△DAC所在面重合，
连接PB，交AC于点Q，
最小值为
＝＝2．
故答案为：40π；2．
【点评】本题考查求空间几何体的外接球的表面积，考查距离和的最小值问题，属中档题．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）若，求λ的值；
（2）若，求λ的值．
【分析】（1）利用平面向量坐标运算得出，然后再利用向量平行的坐标表示计算得出λ的值．
（2）利用平面向量坐标运算得出，再根据向量垂直的坐标表示计算得出λ的值．
【解答】解：（1）由题意可得，，
因为，所以﹣3λ＝4×9．
（2）由题意可得，，
因为，
所以﹣8×6+8λ＝6，解得．
【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝7，bc＝40，求△ABC的周长．
【分析】（1）先利用题给条件求得，进而求得角A的大小；
（2）先利用余弦定理求得b+c＝13，进而求得△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为，所以，
则，所以．
又因为A∈（0，π）．
（2）由余弦定理得，，即b2+c2﹣49＝bc，
得（b+c）7＝49+3bc＝169，则b+c＝13，
故△ABC的周长为a+b+c＝20．
【点评】本题主要考查解三角形，余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17．（15分）某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25
元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，其质量分别在[25，35），45），[45，[55，65），75），[75（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；
（2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表）
（3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售
【分析】（1）由小长方形面积之和为1求解即可；
（2）由频率分布直方图平均数的计算方法求解即可；
（3）分别计算两种方式的收益，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得（0.005+0.010+m+2.040+0.020+0.010）×10＝7，
解得m＝0.015．
（2）该果园这200个蜜桔的平均质量约为30×0.05+40×5.10+50×0.15+60×0.40+70×4.20+80×0.10＝59克/个，
（3）依题意可估计该果园这5万个蜜桔的总质量为7×59＝295万克＝2950千克，
若按原销售方案进行销售，则可获得的收益约为2950×25＝73750元；
若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，
则可获得的收益约为（0.05+0.10+3.15）×500×140+（0.40+0.20+4.10）×500×160＝77000元．
因为77000＞73750，所以按新方案进行销售．
【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD
（1）求三棱锥Q﹣PAD的体积；
（2）求平面PBC与平面BCD夹角的余弦值．
【分析】（1）根据面面垂直得线面垂直，由等体积法即可求解；
（2）根据面面垂直得线面垂直，进而根据面面角的几何法求解其平面角，利用三角形的边角关系即可求解．
【解答】解：（1）如图，取AB中点O，
∵△PAB是正三角形，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，且两平面的交线为AB，
∴PO⊥平面ABCD，∴，
，
又，
则；
（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
过O作OH⊥BC于H，连接PH，
∵PO、OH⊂平面POH，
∴BC⊥平面POH，则BC⊥PH，
∴∠PHO即为平面PBC与平面BCD的夹角，
在Rt△PHO中，因为，
所以，
即，
即平面PBC与平面BCD夹角的余弦值为．
【点评】本题考查了空间几何体的体积、二面角的求解，考查了运算能力，属于中档题．
19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥PD，PA＝PD
（1）求证：PM⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）在棱PA上是否存在一点N，使得PC∥平面BMN？若存在，求的值，请说明理由．
【分析】（1）依题意可得PM⊥AD，再由底面ABCD为矩形，则AD∥BC，即可得证；
（2）由已知证明PD⊥平面PAB，进一步可得平面PAB⊥平面PCD；
（3）连接BM、AC，BM∩AC＝O，连接ON，依题意可得△COB∽△AOM，则，再由线面平行的性质得到ON∥PC，即可得解．
【解答】解：（1）证明：因为PA＝PD，M为AD的中点，
又底面ABCD为矩形，所以AD∥BC．
（2）证明：∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．
又PA⊥PD，PA∩AB＝A、AB⊂平面PAB，
而PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；
（3）存在，且，理由如下：
连接BM、AC，连接ON，
因为ABCD是矩形，且M为AD的中点，所以，
又PC∥平面BMN，平面APC∩平面BMN＝ON，
所以ON∥PC，
所以．
【点评】本题考查线线垂直的证明，面面垂直的证明，线面平行的性质定理，属中档题．
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