2023-2024学年云南省大理市高一下学期6月质量检测试数学卷（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省大理市高一下学期6月质量检测试数学卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为23与12，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为( )
A. 29B. 727C. 827D. 13
2.已知z满足2z+41+i=z+i，则z=( )
A. −2−iB. 2−iC. −2+iD. 2+i
3.在复平面内，复数z=2i−1+2i的共轭复数的虚部为( )
A. −25B. 25C. 25iD. −25i
4.已知向量a=−1,1,b=2,3，则b在a上的投影向量的坐标为( )
A. 12,12B. 12,−12C. −12,−12D. −12,12
5.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的( )
A. 3倍B. 3倍C. 3 3倍D. 9倍
6.如图，在▵ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB,AC于点M，N，且AB=xAM,AC=yAN，则1x+1y的最小值为( )
A. 1B. 2C. 4D. 2
7.对于两条不同直线m，n和两个不同平面α,β，以下结论中正确的是( )
A. 若m//α,n⊥α，则m⊥nB. 若α//β,m//α，则m//β
C. 若α⊥β,m//α，则m⊥βD. 若m⊥n,n⊥α，则m//α
8.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是( )
A. 勒洛四面体最大的截面是正三角形
B. 若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为2
C. 勒洛四面体ABCD的体积是8 6π
D. 勒洛四面体ABCD内切球的半径是4− 6
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定两组数据，其中第一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是4，方差是12，第二组数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2，则对第二组数据分析正确的有( )
A. 和是58B. 平均数是10C. 方差是92D. 标准差是1
10.下列说法正确的是( )
A. AC+BO+OA−DC−DO−OB=0
B. 若a⋅b<0，则a与b的夹角是钝角
C. 向量e1=2,−3,e2=12,−34能作为平面内所有向量的一个基底
D. 若a⊥b，则a在b上的投影向量为0
11.如图，在▵ABC中，∠BAC=60∘，AB=4，AC=6，点D为BC的中点，AE=mAB，AF=nAC，AD与EF交于点G，AG=λGD，则下列结论正确的是( )
A. 当λ=2时，AG=13AB+13ACB. 当λ=2时，1m+1n=3
C. 当λ=3时，3AB⋅AG=28D. 若BG⋅AC=−6，则λ=13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知三个复数z1，z2，z3，且z1=z2=2，z3= 2，z1，z2所对应的向量OZ1，OZ2满足OZ1⋅OZ2=0；则z3−z1−z2的最大值为 ．
13.已知平面向量m与m+n的夹角为π6，若|m|−λ|n|≤0恒成立，则实数λ的取值范围为 ．
14.相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼(如图(1))，如图(2)，为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30∘,∠CDB=45∘，BD=13m，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60∘，则该楼的高度AB为_______ ._____m．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知复数z1=4+mi(m∈R)，且z1⋅(1−2i)为纯虚数．
(1)求复数z1；
(2)若z2=z1(1−i)2，求复数z2及z2．
16.(本小题12分)
已知非零向量e1,e2不共线．
(1)如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3e1−e2，求证：A，B，D三点共线；
(2)若ke1+e2和e1+ke2是方向相反的两个向量，试确定实数k的值．
17.(本小题12分)
第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图．
(1)试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数;
(2)已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率．
18.(本小题12分)
已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且csB+ 3sinB=b+ca．
(1)求A;
(2)若a= 3，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=CC1=2，M，N，P分别是CC1，AB，BB1的中点．
(1)若点E为矩形ABB1A1内动点，使得ME/​/面CPN，求线段ME的最小值;
(2)求证：AB1⊥面A1MB．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.B
6.A
7.A
8.D
9.BC
10.AD
11.ABD
12.3 2
13.[2,+∞)
14.13 6
15.解：(1)z1=4+mi，则z1=4−mi，z1⋅(1−2i)=4−mi⋅1−2i=4−2m−8+mi，
又其为纯虚数，故4−2m=0,8+m≠0，解得m=2，故z1=4+2i．
(2)z2=z1(1−i)2=4+2i1−i2=4+2i−2i=4+2i⋅2i4=−4+8i4=−1+2i，
则z2= −12+22= 5，z2=−1−2i．

16.解：(1)AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3e1−e2，
BD=BC+CD=2e1+8e2+3e1−e2=5e1+5e2=5e1+e2=5AB，
所以AB,BD共线，且有公共点，所以A，B，D三点共线
(2)因为ke1+e2和e1+ke2是方向相反的两个向量，
所以存在实数λ，使ke1+e2=λe1+ke2=λe1+λke2，且λ<0
又e1,e2不共线，所以k=λ1=λk，解得k=1λ=1，或k=−1λ=−1,
因为λ<0，所以k=−1λ=−1，所以k=−1

17.解：(1)由频率分布直方图可得，a=110×(1−0.010×10−0.015×10−0.020×10−0.025×10)=0.03，
即a=0.030，
由频率分布直方图知，这100名志愿者的平均年龄为
10×(25×0.015+35×0.025+45×0.030+55×0.020+65×0.010)=43.5岁;
前三组频率之和为0.7，第四组为0.2，
所以第75百分位数应在第四组，
设第75百分位数为x，则(x−50)×0.020+0.7=0.75，解得x=52.5，
故第75百分位数是52.5岁;
(2)5人中来自医疗组的人数为：40100×5=2，设为a1，a2;
来自服务组的人数为：60100×5=3，设为b1，b2，b3，
从这5人中选取3人的基本事件总数为：
a1b1b2，a1b1b3，a1b2b3，a2b1b2，a2b1b3，a2b2b3，a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，b1b2b3共10种，
其中至少有1人来自医疗组的有9种，
所以至少有1人来自医疗组的概率为910=0.9．
18.解：(1)根据正弦定理，可得csB+ 3sinB=sinB+sinCsinA，
即sinAcsB+ 3sinAsinB=sinB+sinC
∴sinAcsB+ 3sinAsinB=sinB+sin(A+B)
∴sinAcsB+ 3sinAsinB=sinB+sinAcsB+csAsinB
整理得 3sinA−csA=1，即sin(A−π6)=12，又A∈(0,π2)
所以A−π6=π6，即A=π3．
(2)因为AD=12(AB+AC)，两边平方得，AD2=14(AB+AC)2=14(b2+c2+bc)，
在△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2−bc，即b2+c2=3+bc，
所以AD2=14(3+2bc)=34+12bc，
在△ABC中，由正弦定理得，bsinB=csinC=asinA= 3 32=2，
所以b=2sinB，c=2sinC，所以
bc=4sinBsinC=4sinBsin(2π3−B)=2 3sinBcsB+2sin2B=2sin(2B−π6)+1
因为△ABC为锐角三角形，所以0所以π6<2B−π6<5π6，所以12所以中线AD的取值范围是( 72,32].
19.(1)
解：连接MB1，MA，AB1，正方形BCC1B1中MB1//CP，因为MB1⊄面CPN，CP⊂面CPN，
所以MB1//面CPN，在△ABB1中AB1//PN，因为AB1⊄面CPN，PN⊂面CPN，
所以AB1//面CPN，因为AB1∩MB1=B1，CP∩PN=P，所以面AMB1//面CPN，
所以E∈AB1，在△AMB1中AM=B1M= 5，AB1=2 2，当ME⊥AB1时ME最小，
所以ME的最小值为 3；
(2)证明：在正方形ABB1A1中有AB1⊥A1B，若AB1，A1B的交点为D，连接MD、DN，即有矩形MCND，
所以CN//MD，CN⊥DN，又CN⊥AB，DN∩AB=N，所以CN⊥面ABB1A1，
所以MD⊥面ABB1A1，又AB1⊂面ABB1A1，所以MD⊥AB1，又MD∩A1B=D，
所以AB1⊥面A1MB．