云南省昆明市五华区2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份云南省昆明市五华区2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共13页。

数学
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在△ABC中，|AB−AC|= 3|AB+AC|，AB=AC=2，则AB⋅AC=( )
A. −2 3B. 2 3C. −2D. 2
2.已知集合A={x| x<2}，B={x||x−1|<2}，则A∩B=( )
A. {x|03.已知a=sin 2，b=2sin2，c=lg2(sin 2)，则a，b，c的大小关系为
( )
A. c4.若集合A={x|2x>1}，集合B={x|lnx>0}，则“x∈A”是“x∈B”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.2011年春节，六安一中校办室要安排从正月初一至正月初六由指定的六位领导参加的值班表．要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法( )
A. 336B. 408C. 240D. 264
6.已知(x−2)6=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+…+a6(x−1)6，则a3=( )
A. 15B. −15C. 20D. −20
7.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )
A. B. 4C. D. 4或
8.直线y= 3x的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 不存在
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x1，x2∈R，x1A. f(x1)>f(x2)B. f(x)的值域为(0,1)
C. f(1−x)+f(x)=12D. f(x1)+f(x2)210.某射击运动员进行打靶练习，已知打十枪，每发的靶数为9，10，7，8，10，10，6，8，9，7，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则下列说法正确的是( )
A. b=8B. a>bC. a11.自然界中存在一个神奇的数列，比如植物一年生长新枝的数目，某些花朵的花瓣数，具有1，1，2，3，5，8，13，21⋯这样的规律，从第三项开始每一项都是前两项的和，这个数列称为斐波那契数列.设数列{an}为斐波那契数列，则有an+an+1=an+2(n∈N*)，以下是等差数列的为
( )
A. a2021，a2022，a2023B. a2021，a2023，a2024
C. S2021，S2022，S2023D. S2021，S2023，S2024
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设tanα= 33,π<α<3π2,则sinα−csα的值______．
13.12.在ΔABC中，a=4，c=6，sin2A=sinC，则b=_____．
14.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=6，E为PD中点，过EB作平面α分别与线段PA、PC交于点M，N，且AC//α，则PMPA= (1) ，四边形EMBN的面积为 (2) ．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx．
(1)当a=1时，证明：f(x)存在唯一的零点；
(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
设an=xn，bn=(1n)2，Sn为数列{an⋅bn}的前n项和，令fn(x)=Sn−1，x∈R，a∈N*．
(Ⅰ)若x=2，求数列{2n−1an}的前n项和Tn；
(Ⅱ)求证：对∀n∈N*，方程fn(x)=0在xn∈[23,1]上有且仅有一个根；
(Ⅲ)求证：对∀p∈N*，由(Ⅱ)中xn构成的数列{xn}满足017.(本小题15分)
如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．
(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
(2)求BM与平面A1B1M所成的角大小．
18.(本小题17分)
已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P(2,2)，以C1上一点C2为圆心的圆过定点A(0,1)，记M、N为圆C2与x轴的两个交点．
(1)求抛物线C1的方程；
(2)当圆心C2在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论．
19.(本小题12分)
设函数f(x)=lnx+ax2+1，a∈R．
(1)当a=−12时，求函数y=f(x)的单调区间；
(2)若函数y=f(x)的图象总在直线y=12的下方，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积，平面向量的模，属于基础题。
将|AB−AC|= 3|AB+AC|两边平方，结合AB=AC=2可直接求出结果．
【解答】解；由题意得：
AB−AC2=AB2−2AB·AC+AC2
=3AB2+6AB·AC+3AC2，
则AB·AC=−2，
故选C．
2.【答案】C
【解析】解：A={x| x<2}={x|0≤x<4}，
B={x||x−1|<2}={x|−1则A∩B={x|0≤x<3}，
故选：C．
分别解关于A，B的集合，求出A，B的交集即可．
本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正弦函数的图象，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
可看出01，lg 2(sin2)<0，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：0∴2sin2>20=1，lg 2(sin2)∴c故选A．
4.【答案】B
【解析】解：集合A={x|2x>1}={x|x>0}，
集合B={x|lnx>0}={x|x>1}，
则B⊊A
则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
故选：B．
分别求出关于集合A、B的范围，结合集合的包含关系判断即可．
不同考查了充分必要条件，考查指数、对数的运算，是一道基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
∵校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻
做出6个人的所有排列减去不合题意的即可，
6个人全排列有A66=720种结果，
两个校长相邻有A22A55=240种结果，
两个主任相邻有有A22A55=240种结果，
其中有校长和主任同时相邻的情况共有A22A22A44=96
∴符合条件的共有720−240−240+96=336，
故选：A．
本题是一个分步计数问题，做出6个人的所有排列减去不合题意的即可，6个人全排列有A66种结果，两个校长相邻有A22A55种结果，两个主任相邻有有A22A55种结果，其中有校长和主任同时相邻的情况，加减以后得到结果．
本题考查分步计数原理，在解题的过程中，注意有限制条件的元素的排列问题，先排列带有限制条件的元素，在排列没有限制条件的元素．
6.【答案】B
【解析】解：∵(x−2)6=[−1+(x−1)]6=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+…+a6(x−1)6，
则a3=C63⋅(−1)3=−15，
故选：B．
根据(x−2)6=[−1+(x−1)]6，利用二项展开式的通项公式，求得a3的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．
8.【答案】B
【解析】解：直线y= 3x的斜率为 3，
所以其倾斜角为60°．
故选：B．
先求出斜率，进而可求出倾斜角．
本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，x1因为x10，4x1+2>0，4x2+2>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，故A正确；
对于B，4x>0,4x+2>2,f(x)=14x+2∈(0,12)，故f(x)的值域为(0,12)，故B错误；
对于C，f(1−x)+f(x)=141−x+2+14x+2=4x4+2⋅4x+14x+2=4x+24+2⋅4x=12，故C正确；
对于D，因为x1，x2∈R，x1所以f(0)=13,f(2)=142+2=118，f(x1)+f(x2)2=f(0)+f(2)2=736，
f(x1+x22)=f(1)=14+2=16，所以f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)，故D错误．
故选：AC．
由单调性的定义可判断A；由f(x)的单调性求f(x)值域可判断B；计算f(1−x)+f(x)=12可判断C；取特值可判断D．
本题主要考查了函数单调性定义的判断及应用，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查平均数、中位数、众数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
分别求出平均数，中位数，众数，由此能得到正确选项．
【解答】
解：打十枪每发的靶数为9，10，7，8，10，10，6，8，9，7，
设其平均数为a，中位数为b，众数为c，
则
a=110×(9+10+7+8+10+10+6+8+9+7)=8.4，
这10个数从小到大为：6，7，7，8，8，9，9，10，10，10，
b=8+92=8.5，故A错误；
c=10，故D正确；
∴a故选：CD．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的定义，数列前n项和与an的关系，属于基础题．
由等差数列定义及斐波那契数列定义逐项判断即可．
【解答】
解：对于A，2a2022≠a2022+a2021+a2021，
即2a2022≠a2021+a2023，故a2021，a2022，a2023不为等差数列，故A错误;
对于B，a2021+a2024=a2021+a2022+a2023=2a2023，所以a2021，a2023，a2024成等差数列，故B正确；
对于C，S2022−S2021=a2022，S2023−S2022=a2023，∵a2022≠a2023，所以S2021，S2022，S2023不为等差数列，故C错误;
对于D；S2023−S2021=a2023+a2022，S2024−S2023=a2024，
∵a2024=a2023+a2022，∴S2023−S2021=S2024−S2023，所以成等差数列，故D正确;
故选：BD．
12.【答案】−12+ 32
【解析】解：∵tanα= 33，π<α<3π2，
∴sec2α=1+tan2α=1+13=43，
∴secα=−2 33，
∴csα=− 32，
∴sinα=csα⋅tanα=− 32× 33=−12，
∴sinα−csα=−12+ 32．
故答案为：−12+ 32．
由tanα= 33，π<α<3π2，利用同角三角函数间的基本关系，先求出secα，再分别求出csα和sinα，由此能求出sinα−csα的值．
本题考查同角三角函数间的基本关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
13.【答案】4或5
【解析】【分析】
先由sin2A=sinC得到csA=sinC2sinA=c2a的值，然后利用余弦定理可求出b的值．
【详解】因为在ΔABC中，a=4，c=6，sin2A=sinC，所以2sinAcsA=sinC，
∴csA=sinC2sinA=c2a=62×4=34，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，得b2+36−9b=16，即b2−9b+20=0，
解得b=4或b=5．
故答案为：4或5．
【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】23；3 6
【解析】解：四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=6，E为PD中点，
过EB作平面α分别与线段PA、PC交于点M，N，且AC//α，
连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，
过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，
则平面EMBN就是平面α，
BE= DE2+BD2= 9+18=3 3，
∵MN/​/AC，
∴△PMN∽△PAC，
∴PMPA=MNAC=23，MN=23AC=2 2，
∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD=D，
BD、PD⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
∴MN⊥平面PBD，∴MN⊥BE，
∴四边形EMBN的面积为S=12×MN×BE=12×2 2×3 3=3 6．
故答案为：23；3 6．
过EB作平面α分别与线段PA、PC交于点M，N，且AC//α，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面α，由此能求出结果．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)证明：∵f(x)=ax−1−lnx，
∴当a=1时，f(x)=x−1−lnx(x>0)，
∴f′(x)=1−1x=x−1x，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,1)上单调递减；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增；
∴当x=1时，f(x)取得极小值，也是最小值f(1)=0，
∴f(x)存在唯一的零点x=1；
(2)解：f(x)≥0⇔ax−1−lnx≥0，由于x>0，
∴a≥1+lnxx恒成立，令g(x)=1+lnxx，则a≥g(x)max．
∵g′(x)=−lnxx2，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)在区间(0,1)上单调递增；
当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)在区间(1,+∞)上单调递减；
∴g(x)max=g(1)=1，
∴a≥1，
即实数a的取值范围为[1,+∞)．
【解析】(1)当a=1时，f′(x)=x−1x，由x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，可得x=1时，f(x)取得极小值，也是最小值f(1)=0，从而可证得结论成立；
(2)f(x)≥0⇔ax−1−lnx≥0，分离参数得a≥1+lnxx，构造函数g(x)=1+lnxx，利用导数可求得则g(x)max，从而可得实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查等价转化思想和综合运算能力、属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)若x=2，an=2n，则2n−1an=(2n−1)(12)n，
则Tn=1×(12)1+3×(12)2+…+(2n−1)(12)n，
∴12Tn=1×(12)2+3×(12)3+…+(2n−1)(12)n+1，
∴12Tn=12+2×[(12)2+(12)3+…+(12)n]−(2n−1)(12)n+1
=12+2×14(1−12n−1)1−12−(2n−1)(12)n+1=12+1−(12)n−1−(2n−1)(12)n+1，
∴Tn=3−(12)n−2−(2n−1)(12)n=3−2n+32n；
(Ⅱ)证明：fn(x)=−1+x+x222+x332+…+xnn2(x∈R,n∈N+)，fn′(x)=1+x2+x23+…+xn−1n>0，
故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．
由于f1(x1)=0，当n≥2时，fn(1)=122+132+…+1n2>0，即fn(1)>0．
又fn(23)=−1+23+[(23)222+(23)232+(23)442+…+(23)nn2]≤−13+14⋅i=2n(23)i，
=−13+14×(23)2[1−(23)n−1]1−23=−13⋅(23)n−1<0，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的xn∈[23,1]，满足fn(xn)=0．
(Ⅲ)证明：对于任意p∈N+，由(1)中xn构成数列{xn}，当x>0时，
∵fn+1(x)=fn(x)+xn+1(n+1)2>fn(x)，
∴fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0．
由fn+1(x)在(0,+∞)上单调递增，可得xn+10，
故数列{xn}为减数列，即对任意的n、p∈N+，xn−xn+p>0．
由于fn(xn)=−1+xn+xn222+xn332+…+xnnn2=0，①，
fn+p (xn+p)=−1+xn+p+xn+p232+xn+p332+…+xn+pnn2+[xn+pn+1(n+1)2+xn+pn+2(n+2)2+…+xn+pn+p(n+p)2]，②，
用①减去②并移项，利用0xn−xn+p=k=2nxn+pk−xnkk2+k=n+1n+pxn+pkk2≤k=n+1n+pxn+pkk2≤k=n+1n+p1k2综上可得，对于任意p∈N+，由(1)中xn构成数列{xn}满足0【解析】(Ⅰ)2n−1an=(2n−1)(12)n，利用“错位相减法”即可求得数列{2n−1an}的前n项和Tn；
(Ⅱ)由题意可得f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．求得fn(1)>0，fn(23)<0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．
(Ⅲ)由题意可得fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0，由fn+1(x)在(0,+∞)上单调递增，可得xn+10.用 fn(x)的解析式减去fn+p(xn+p)的解析式，变形可得xn−xn+p=k=2nxn+pk−xnkk2+k=n+1n+pxn+pkk2，再进行放大，并裂项求和，可得它小于1n.，综上可得要证的结论成立．
本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，“错位相减法”求数列的前n项和，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．
17.【答案】解：(1)如图，因为C1D1//B1A1，
所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．
因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，
而A1B1=1，B1M= 2，故tan∠MA1B1=B1MA1B1= 2．
即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为 2．
(2)由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面平面BCC1B1，得
A1B1⊥BM①
由(1)知，B1M= 2，
又BM= BC2+CM2= 2，B1B=2，
所以B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M②
又A1B1∩B1M=B1，
∴BM⊥平面A1B1M，
∴BM与面A1B1M所成角为90°．
【解析】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，其中利用平移法，将异面直线夹角转化为解三角形问题是解答(1)的关键，而熟练掌握线面垂直的判定定理是解答(2)的关键．
(1)由长方体的几何特征，可得∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角，解△MA1B1即可得到异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
(2)由长方体的几何特征可得A1B1⊥平面BCC1B1，进而由线面垂直的定义可得A1B1⊥BM，结合(1)中结论及勾股定理可得BM⊥B1M，进而由线面垂直的判定定理可得BM⊥平面A1B1M，即BM与面A1B1M成90度角．
18.【答案】解：(1)由已知，设抛物线方程为x2=2py，则
代入P(2,2)，可得p=1，
∴抛物线C1的方程为x2=2y；
(2)设圆的圆心M(a,b)，则圆的半径为 a2+(b−1)2，
∴圆被x轴截得的弦长为|MN|=2 r2−b2=2 a2+2−2b+1−b2=2 a2−2b+1，
∵a2=2b，
∴|MN|=2；
∴|MN|是一定值．
【解析】(1)设出抛物线方程，代入P，即可求出抛物线的方程；
(2)表示出圆被x轴截得的弦长，利用圆心在抛物线上，即可得出结论
本题考查了待定系数法是求圆锥曲线的常用方法，弦长公式的运用，属于难题．
19.【答案】【解答】
解：(1)当a=−12时，f(x)=lnx−12x2+1，f ′(x)=−x+1x，
f ′(x)=1−x2x，令f′(x)=0，解得x=1或x=−1．
∵x>0,x∈(0,1),f ′(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增，
x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减．
(2)方法一：函数y=f(x)的图象总在直线y=12的下方，可知f(x)max<12
f/(x)=2ax+1x=2ax2+1x,x>0
①当a≥0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，无最大值故不成立
②当a<0时,f/(x)=2ax+1x=2ax2+1x=2a(x2+12a)x,x>0
令f′(x)=0，则x= −12a．
当x∈(0, −12a]时，f′(x)>0；
当x∈( −12a,+∞)时，f′(x)<0．f(x)在(0, −12a]单调递增,( −12a,+∞)单调递减
故x= −12a为函数f(x)的唯一极大值点，
所以函数f(x)的最大值为f( −12a)=12+12ln(−12a)
由题意有12+12ln(−12a)<12，解得a<−12．
(2)方法二
函数y=f(x)的图象总在直线y=12的下方，可知f(x)<12恒成立，
即lnx+ax2+12<0对于x∈(0,+∞)恒成立，
于是有 a<−lnx−12x2令g(x)=−lnx−12x2，x∈(0,+∞)
则只需求g(x)的最小值即可．∵g′(x)=2lnxx3
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
∴g(x)在x=1处取到极小值，也就是最小值为−12
所以a的取值范围为(−∞,−12)．

【解析】【分析】
(1)先确定函数的定义域然后求导数f′(x)，在函数的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，即可求出函数f(x)的单调区间；
(2)解法一：函数y=f(x)的图象总在直线y=12的下方，可知f(x)max<12，然后讨论a的正负求出函数的最大值，建立不等式，解之即可；
解法二：函数y=f(x)的图象总在直线y=12的下方，可知f(x)<12恒成立，即 lnx+ax2+12<0对于x∈(0,+∞)恒成立，然后利用参变量分离的方法进行求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键，属于中档题．