2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八校联考八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式为最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 中，、、所对的边分别是，，，则满足下列条件的不是直角三角形的是

A. 、、 B. ：：：：
C. ：：：： D.

5. 下列说法正确的是

A. 对角线相等的平行四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 平行四边形的对角线互相平分
D. 顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形

6. 如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，有一个水池，水面是边长为尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是

A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺

8. 如图，矩形的顶点、分别在菱形的边和对角线上，连接、，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 在中，，，为边上的中线，若是线段上任意一点，，交直线于点，为的中点，连接并延长交直线于点若，，则边的长为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. ______．
12. 设长方形的面积为，相邻的两边长分别为、，若，，则______．
13. 如图，点、、分别是直角各边的中点，，，，则的长为______．
     

14. 如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为______．
    
     

15. 在中，，，高，则底边的长是______．
16. 如图，四边形中，，点是边上一点，是等边三角形，若，______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算：；
    ．
18. 如图，四边形中，若，，，，．
    判断是否是直角，并说明理由；
    求的度数．
    
     

19. 如图，在四边形中，点、在上，且，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，，则______．

20. 如图，矩形内三个相邻的正方形的边长分别为、和．
    求：图中阴影部分的面积用含和的式子表示；
    若，，且，求阴影部分的面积．

21. 如图，是一个的网格图，图中已画出了线段和线段，其端点，，，均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：
    画出以为边的正方形；
    画一个以为一条对角线的菱形点在的左侧，且面积与中正方形的面积相等；
    在和的条件下，连接，，请直接写出的周长．

22. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕．
    如图，若，，求折痕的长；
    如图，若，且：：，求矩形的周长．

23. 已知正方形，点在对角线上，交于，交于，，垂足为点，求证：
    ；
    ；
    ．

24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形．
    点、分别在边、上，若，，若，求的长；点在线段上，，求证：；
    如图，在平面直角坐标系中，，点、分别是边、上的动点，且，与相交于点若点为边的中点，点为边上任意一点，则的最小值等于______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：：原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：．
最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的概念，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.


，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用二次根式的乘除以及二次根式加减运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、，故本选项不符合题意．
B、，故本选项不符合题意．
C、故本选项不符合题意．
D、最大角不为，故本选项符合题意．
故选：．
满足两个较小边的平方和等于较大边的平方的为直角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，根据此可判断出直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．
 

5.【答案】

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，本选项说法正确，符合题意；
D、顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定定理、平行四边形的性质判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握矩形、菱形、正方形的判定定理、平行四边形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，；
又，
不能得出≌，
不能得出四边形是平行四边形，故A错误；
四边形是平行四边形，
，；
又，
≌，
，，
；
；
四边形是平行四边形，故B正确；
四边形是平行四边形，
，；
又，
，
≌，
，，
；
；
四边形是平行四边形，故C正确；
四边形是平行四边形，
，；
又，
≌，
，；
；
；
四边形是平行四边形，故D正确；
故选：．
可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
 

7.【答案】

【解析】解：设芦苇的长度为尺，则为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度尺，
故选：．
找到题中的直角三角形，设芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答．
本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，

四边形是菱形，
，，
又，
≌，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
故选：．
连接，由菱形的性质得出，，可证明≌，由全等三角形的性质得出，由矩形的性质得出，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：连接，如图所示：

，
，
，是的中点，
，
在中，，，且为边上的中线，
，，
，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
≌，
，
在中，根据勾股定理得，
，
故选：．
连接，易证是的斜边的中点，可得，进一步可知，证明≌，可得，根据勾股定理，可得，即可求出．
本题考查了等腰直角三角形的性质，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等相关知识，本题综合性较强．
 

10.【答案】

【解析】解：过点作，垂足为，取的中点，连接，，

，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，取的中点，连接，，根据已知可求出，先在中求出，的长，从而可得是等边三角形，进而可得，，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出的长，从而求出，的长，最后证明手拉手模型旋转型全等≌，从而利用全等三角形的性质可得，进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．
本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据二次根式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据题意得：，将，代入即可得到的值．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：点、、分别是直角各边的中点，
，．
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
，，
．
故答案是：．
利用三角形中位线定理和矩形的判定与性质求得，则在直角中利用勾股定理求解即可．
本题主要考查了三角形中位线定理，根据题意推知是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：菱形沿折叠，落在边上的点处，
，，，
，
在菱形中，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，可得，根据，求出，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案．
本题考查了菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．
 

15.【答案】或

【解析】解：分两种情况考虑：
如图所示，此时为锐角三角形，
在中，根据勾股定理得：；
在中，根据勾股定理得：，
此时；
如图所示，此时为钝角三角形，
在中，根据勾股定理得：；
在中，根据勾股定理得：，
此时，
综上，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况考虑：如图所示，此时为锐角三角形，在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理求出与的长，由求出的长即可；如图所示，此时为钝角三角形，同理由求出的长即可．
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图：作，交的延长线于点，交的延长线于点，

，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
设，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
作，交的延长线于点，交的延长线于点，根据已知可得，再利用等边三角形的性质可得，，从而可得，然后证明≌，利用全等三角形的性质可得，，再根据已知设，，从而在和中，利用锐角三角函数的定义进行计算求出，，，的长，从而求出，的长，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


．

【解析】先化简，再算加减即可；
先化简，再算乘法与除法，最后算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：是直角，理由见解答：
连接．
，，，
由勾股定理，得．
又，，
，
，
；
．

【解析】连接首先根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理求得；
根据四边形内角和为求出．
此题主要考查了勾股定理的应用以及四边形内角和定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
 

19.【答案】

【解析】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：，，，
，
，
，
即，
故答案为：．
根据平行线的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可；
根据勾股定理得出，进而利用三角形面积公式解答即可．
本题主要考查平行四边形的判定问题，关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答．
 

20.【答案】解：矩形的长为，宽为，
矩形的面积为：，
图中阴影部分的面积为：，
，，，
，
，
或舍去，


，
阴影部分的面积为．

【解析】利用矩形面积减去三个正方形面积即可求解；
根据，的关系式，利用乘法公式先将求出来，再代入中所求面积即可求解．
本题考查列代数式，分式的加减法，解题的关键是根据所给条件，利用乘法公式将的值计算出来．
 

21.【答案】解：如图所示，正方形即为所求；

如图所示，菱形即为所求；

由勾股定理可得，，，而，
的周长为．

【解析】直接利用正方形的性质得出符合题意的图形；
直接利用菱形的性质结合正方形面积得出符合题意的图形；
直接利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图以及正方形、菱形的性质，正确应用正方形、菱形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
由折叠可知，，，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
；
：：，
设，则，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
在中，，
，
解得或舍去，
，，
矩形的周长为．

【解析】由勾股定理求出，的长，设，则，得出，解方程即可得解；
设，则，得出，设，则，在中，得出，则，得出，解出的值，求出和的长，则答案可求出．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
 

23.【答案】证明：过点作于点，连接．

四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；

，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
≌，
，
，
；

如图中，设交于点，过点作于点，于点，连接．

，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
．

【解析】利用全等三角形的性质，分别证明，，推出，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
证明四边形是正方形，推出，，再证明≌，推出，可得结论；
如图中，设交于点，过点作于点，于点，连接证明≌，推出，，证明≌，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

24.【答案】

【解析】解：在正方形中，，，
在和中，
，
≌，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
即，
是等腰直角三角形，
；
证明：在上截取，连接，

，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
即；

解：作关于的对称点，取的中点，连接与交于点，连接，，则，

四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
的最小值为，
此时，若与重合时，的值最小，
故答案为：．
首先证明是等边三角形，再证明是等腰直角三角形即可解决问题；
在上截取，连接，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，然后证明即可；
作关于的对称点，取的中点，连接与交于点，连接，，当、、、四点共线时，的值最小，根据勾股定理，再证明≌，进而得为直角三角形，由直角三角形的性质，求得，进而求得．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是确定取最小值时与的位置．