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七年级数学下册专题07图形翻折模型(原卷版+解析)
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这是一份七年级数学下册专题07图形翻折模型(原卷版+解析)，共41页。
【模型解读】
1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。
2）如图，将△ABC沿DE翻折
（1）若A’落在线段BE上，如图1，则∠1= 2∠A；
（2）若A’落在△ABC内部，如图2，则∠1+∠2= 2∠A；
（3）若A’落在△ABC外部，如图3，则∠1-∠2= 2∠A。
例 1．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023下·广东惠州·八年级校联考期中）如图，矩形沿着EF进行折叠，已知使点B落在边上的点处，点A落在点处．，的度数是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，将长方形沿折叠，使点B落到点处，交于点E，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，将沿所在的直线翻折，点B在边上落点记为点E，已知，，那么的度数为 ．
例5．（2023下·广东八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
例6．（2023下·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，D、E分别是边AB和AC上的点，将纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么 度．
例7．（2023下·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图，一个三角形的纸片，其中，．
(1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点处，是折痕，说明；
(2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由；(3)当点A落在四边形外时（如图3），若，则______°．（直接写出结论）
例8．（2023下·湖北宜昌·七年级统考期末）如图1，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点，的落点分别是，，交于．（注：长方形对边平行，四个角都是直角）
(1)求证：；(2)如图2，再将图1中的四边形沿折叠，点，的落点分别是，，交于．①求证：；②若，求的度数．
课后专项训练
1．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，则必定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏·八年级课堂例题）如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023下·安徽六安·八年级校考期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023下·山东烟台·七年级统考期中）如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点C，D分别落在点，处，与交于点G．已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·江苏·八年级专题练习）将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开．如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．无法确定
6．（2023下·河北保定·七年级统考期中）将长方形纸片按图1中的虚线第一次折叠得图2，再按图2中的虚线进行第二次折叠得到图3．已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023下·吉林长春·七年级校考开学考试）如图，点E，点F在长方形的边，边上．将长方形沿折叠，使与重合，与相交于点G．若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
9．（2023下·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③； ④， ⑤．其中正确的结论有（ ）
A．①⑤B．②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤
10．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
11．（2023下·浙江温州·七年级校考期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为（ ）
A．或B．或C．或D．或
12．（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）如图1，在长方形纸带中，点E，F分别是，边上的点，，将纸带沿折叠如图2，再沿折叠如图3，则图3中的的度数是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为 用含的代数式表示)
14．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则 °．
15．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ， ．
16．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿、折叠，使点落在处，点落在处，若，，则的度数为 °．
17．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）将一张长方形纸片先沿着折叠后打开，为上一点（如图①），再沿折叠，交于点（如图②），已知，当 °时，才能使．
18．（2023上·重庆九龙坡·八年级校联考开学考试）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若，则 ．
19．（2023下·河南信阳·七年级统考期末）如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为 ．
20．（2023下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．
21．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落的位置，折痕为．若，，若点E是边上的固定点（），D是AC上一动点，将纸片沿折叠，使与三角形的其中一边平行，则 ．
22．（2023·福建宁德·七年级统考期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．
23．（2023下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）在中，，将折叠，使，两点重合，折痕所在直线与边所在直线的夹角为，则的度数为 ．
23．（2023上·福建莆田·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．
24．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到．
(1)如图1，当点E落在上时，求的度数；(2)当点E落在下方时，设与相交于点F．
①如图2，若，试说明：；②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
25．（2023下·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q．
(1)当时，求；(2)当时，求；(3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ．
26．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图1，将长方形纸片沿着翻折，使得点，分别落在点，位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着翻折，使得点恰好落在延长线上的点处．(1)若，求的度数；(2)若，试用含的式子表示，并说明理由．
27．（2023下·河南周口·七年级期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图，判断和的大小关系是______，直线，的位置关系是______ ．(2)深入探究：操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等，并说明理由．
(3)结论应用：如图，已知，，请直接写出的度数．
28．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图（1），已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图（2），若，求的度数．
（1） （2）
29．（2023·浙江绍兴·校联考三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出、的度数．
(1)若，则．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下小聪同学在边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接并折叠纸片使得射线与射线重合，折痕交于点E，过E作于点F，设，．
①当点D在点C、B之间时，若，求α的度数；②当点D在上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
30．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）综合与探究
一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．
(1)如图1，若，则______°，______°．(2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．(3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．
专题07 图形翻折模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是的考查热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，以这个性质为基础，结合相关角度来考查。（本学期受计算工具限制，本专题暂时主要对翻折中的角度问题作探究）本专题以常见图形为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。
2）如图，将△ABC沿DE翻折
（1）若A’落在线段BE上，如图1，则∠1= 2∠A；
（2）若A’落在△ABC内部，如图2，则∠1+∠2= 2∠A；
（3）若A’落在△ABC外部，如图3，则∠1-∠2= 2∠A。
例 1．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】折叠得到，平行得到，再利用平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：如图，∵折叠，∴，∵对边平行的纸带，∴，
∵，∴，∴，∴；故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
例2．（2023下·广东惠州·八年级校联考期中）如图，矩形沿着EF进行折叠，已知使点B落在边上的点处，点A落在点处．，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质即可求的度数．
【详解】解：由折叠可得：，，，
四边形是矩形，，．故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
例3．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，将长方形沿折叠，使点B落到点处，交于点E，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得的度数，再由矩形对边平行的性质即求得的度数，根据三角形内角和即可求得的度数．
【详解】解：由折叠的性质得：，∵∴，
∴，即，∴，故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是关键．
例4．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，将沿所在的直线翻折，点B在边上落点记为点E，已知，，那么的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】根据折叠的性质可得，，然后根据，，证得，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【详解】解：根据折叠的性质可得，，，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明是本题的关键．
例5．（2023下·广东八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=120°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数．
【详解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=120°，∠C=80°，∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，
∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，故选B．
【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．
例6．（2023下·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，D、E分别是边AB和AC上的点，将纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么 度．
【答案】50
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质求出，，然后结合已知得出，求出，再利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵，∴，
由折叠得：，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质以及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
例7．（2023下·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图，一个三角形的纸片，其中，．
(1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点处，是折痕，说明；
(2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由；(3)当点A落在四边形外时（如图3），若，则______°．（直接写出结论）
【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3)87
【分析】（1）由折叠的性质得，由已知，推出，即可得到结论；
（2）由四边形的内角和等于得到，由平角性质得到，推出，再由图形翻折的性质即可得出结果；
（3）由折叠的性质得（设为α），（设为β），则，，推出，再由三角形的内角和得到，证得，即可得出结果．
【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，∵，∴，∴；
（2）解：，理由如下：∵四边形的内角和等于，∴．
又∵，∴．
由折叠的性质得：，∴，∵，∴；
（3）由折叠的性质得：，，
设，，
∵，，
∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴．故答案为：87．
【点睛】本题主要考查了翻折，四边形，平行线，三角形外角，三角形内角和等知识，熟练掌握翻折的性质，四边形内角和定理，平行线的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理等，是解题的关键．
例8．（2023下·湖北宜昌·七年级统考期末）如图1，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点，的落点分别是，，交于．（注：长方形对边平行，四个角都是直角）
(1)求证：；(2)如图2，再将图1中的四边形沿折叠，点，的落点分别是，，交于．①求证：；②若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）首先根据折叠的性质得到，然后由平行线的性质得到即可证明出；（2）①，根据平行线的性质和折叠的性质得到，进而求出，然后利用，进而求解即可；②根据折叠的性质得到，然后由得到，然后列方程求解即可．
【详解】（1）解：由折叠可知，，
∵，∴，∴；
（2）①设，∵，∴，
由折叠可知，，∴，
由折叠可知，，∴，
∵，∴；
②∵，∴，
∵由折叠可知，，∴，
∵∴∴∴解得∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，则必定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到，由折叠的性质得到，再根据等量代换可得．
【详解】解：如图：，，
由折叠的性质得到，．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键．
2．（2023上·江苏·八年级课堂例题）如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，从而得到，由折叠的性质可得，从而得到，最后根据平行线的性质即可得到答案．
【详解】解：四边形为长方形，，，
，，
由折叠的性质可得：，
，
，，故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、轴对称的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
3．（2023下·安徽六安·八年级校考期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，得出，根据，求出，即可得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】解：根据折叠可知，，，
∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠性质，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，求出．
4．（2023下·山东烟台·七年级统考期中）如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点C，D分别落在点，处，与交于点G．已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出，求出，根据折叠得出，得出，求出结果即可．
【详解】解：∵矩形纸条中，∴，
∴，根据折叠可知，，
∴，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等．
5．（2023上·江苏·八年级专题练习）将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开．如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】据长方形两直线平行得到的同旁内角，再根据折叠的性质得到和相等的角，然后计算即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，
长方形的两条长边平行，，．故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质和长方形中的平行线，根据平行线得到同旁内角，利用两直线平行，同旁内角互补进行计算是关键．
6．（2023下·河北保定·七年级统考期中）将长方形纸片按图1中的虚线第一次折叠得图2，再按图2中的虚线进行第二次折叠得到图3．已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，得到，利用平角的定义和平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：如图，
由折叠的性质，得：，∴，
∵长方形纸片对边平行，∴的度数为．故选D．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质．
7．（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质有：，，根据三角形的内角和求出，再由，可得，即有，问题得解．
【详解】解：根据折叠的性质有：，，，，，
，，，
，故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
8．（2023下·吉林长春·七年级校考开学考试）如图，点E，点F在长方形的边，边上．将长方形沿折叠，使与重合，与相交于点G．若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据矩形性质得到，,得到，根据折叠的性质，利用等角的补角相等计算即可．
【详解】∵长方形沿折叠，使与重合，
∴，,∴，，
∴，，
∵，∴，故选C．
【点睛】本题考查了矩形的折叠，矩形的性质，平行线的性质，等角的补角相等，熟练掌握矩形的折叠与性质是解题的关键．
9．（2023下·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③； ④， ⑤．其中正确的结论有（ ）
A．①⑤B．②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，以及折叠的性质即可判断①，根据平行线的性质可得，，即可判断②，根据平行线的性质可得，根据对等角相等可得，即可判断③，根据平行线的性质得出，根据邻补角的定义，即可判断④，根据折叠的性质即可判断⑤
【详解】解：∵∴∵折叠，∴，∴，故①正确；
∵∴ 又∴∴，故②正确
∵∴又∴，故③正确
∵，,又∴∴
∵∴，故④正确；
根据折叠的性质可得，故⑤正确，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，邻补角的定义，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．
10．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得到，由折叠得：，，从而得到与的和．利用两个平角求出与的和，最后根据三角形内角和等于即可求出答案．
【详解】解：长方形，，
，，，
由折叠得：，，
，，
在中，，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
11．（2023下·浙江温州·七年级校考期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，先求出，再证明，得到，最后利用对顶角相等，即可求出的度数；当在下方时，延长，交于点，根据平行线的判定和性质，证明，得到，进而得到，即可求出的度数．
【详解】解：当在上方时，延长、交于点，
由折叠可知，，，，
，，，，
，，，
，，，；
当在下方时，延长，交于点，
由折叠可知，，，，
，，，，
，，，，，
；综上所述：或，故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，图形的折叠，熟练掌握图形折叠的性质，平行线的性质，能够画出图形是解题的关键．
12．（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）如图1，在长方形纸带中，点E，F分别是，边上的点，，将纸带沿折叠如图2，再沿折叠如图3，则图3中的的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质求出，可得图1中的度数，然后根据翻折的性质求出图2中以及图3中的度数即可．
【详解】解：∵在长方形纸带中，∴，
∴图1中，，∴图2中，，
∴图3中，，∴图3中，，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，正确寻找翻折后各角之间的关系是解题的关键．
13．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为 用含的代数式表示)
【答案】/
【分析】由题意得：，即可得、为直角三角形，然后可求得的度数，又由，即可求得的度数．
【详解】解：根据题意得：，为直角三角形，
，， ，
，
，，故答案为．
【点睛】此题考查了折叠的性质、平行线的性质，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
14．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则 °．
【答案】
【分析】先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得．
【详解】解：∵，∴，，
即，，∴．
∵，∴．
由折叠可得：，∴．故大为：72．
【点睛】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得到角相等是解题的关键．
15．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ， ．
【答案】 18
【分析】由折叠可知：，，，由平行线的性质可求解的度数，过点作，则，结合平行线的性质，易求的度数，即可得的度数，由直角三角形的性质可求解的度数，即可求得的度数．
【详解】解：由折叠可知：，，，
∵，，∴，
∵四边形是长方形，∴，∴，
∴，过点作，如图，
∴，∵，∴，
∵四边形是长方形，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴．故答案为：；18．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
16．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿、折叠，使点落在处，点落在处，若，，则的度数为 °．
【答案】35
【分析】先根据折叠性质和平角定义求得，再根据平行线的性质得到即可求解．
【详解】解：由折叠性质得，，
∵，，∴，
∴，∵，∴，故答案为：35．
【点睛】本题考查折叠性质、平行线的性质，熟知折叠性质是解答的关键．
17．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）将一张长方形纸片先沿着折叠后打开，为上一点（如图①），再沿折叠，交于点（如图②），已知，当 °时，才能使．
【答案】
【分析】根据平行线的性质可得，根据折叠的性质和矩形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵，，
∴，即，
∴；故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
18．（2023上·重庆九龙坡·八年级校联考开学考试）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若，则 ．
【答案】/115度
【分析】由折叠可知，，由平行线的性质可得，进而可得，，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：由折叠可知，，
∵，∴，∵，∴，
∴，则，故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
19．（2023下·河南信阳·七年级统考期末）如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为 ．
【答案】或
【分析】根据题意分两种情况讨论，当时，根据平行线的性质求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数，从而求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，最后在中根据三角形内角和定理即可求解；当时，根据平行线的性质求出的度数由折叠的性质可得，从而即可求解．
【详解】解：当时，如图，
由折叠的性质得，，
∵，∴，在中，，，
∴，∴，
∴，在中，，，
∴；
当时，如图，∵，∴，由折叠的性质得，
∴，综上所述，的度数是或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和三角形内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．
20．（2023下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，由，，推出，即可求出．
【详解】解：∵沿折叠得，∴，
∵，∴，∵，，∴，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，由折叠的性质得到，是解答本题的关键．
21．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落的位置，折痕为．若，，若点E是边上的固定点（），D是AC上一动点，将纸片沿折叠，使与三角形的其中一边平行，则 ．
【答案】或或
【分析】分时和时，利用折叠性质和平行线的性质以及三角形的内角和求解即可．
【详解】解：根据折叠有：，
当时，如图，则，
由折叠性质得： ，，
当时，如图，则，
由折叠性质得： ，∴，
∴；
当时，如图，则，
由折叠性质得：，∵，
， ，
综上，的度数为或或．故答案为：或或．
【点睛】本题考查折叠性质、平行线性质，熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键．
22．（2023·福建宁德·七年级统考期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．
【答案】77
【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案．
【详解】解：如图：
∵折叠，∴，∴，∴，
∵彩带两边平行，∴，∵折叠，彩带两边平行，∴，
∴，∴．故答案为：77．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
23．（2023下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）在中，，将折叠，使，两点重合，折痕所在直线与边所在直线的夹角为，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】首先根据题意画出图形，分为两种情况：如图，由折叠的性质可知，再结合折痕所在直线与边所在直线的夹角为，由直角三角形特征即可求出的度数；如图，由折叠的性质可知，再结合折痕所在直线与边所在直线的夹角为，由直角三角形特征即可求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：如图1，
由折叠的性质可知，，
折痕所在直线与边所在直线的夹角为，，；
如图2，由折叠的性质可知，，
折痕所在直线与边所在直线的夹角为，，
，，故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折的性质，直角三角形特征，邻补角求角度，根据题意画出符合题意的图形是解答本题的关键．
23．（2023上·福建莆田·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，则，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵，∴，
由折叠的性质得，，
∵，∴，∴，
∵∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
24．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到．
(1)如图1，当点E落在上时，求的度数；(2)当点E落在下方时，设与相交于点F．
①如图2，若，试说明：；②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求出的度数；
（2）①根据翻折可得，再利用垂直可得，即可得到；
②设，根据角平分线和平行线可得，，可求得，再利用外角可得，即可得到．
【详解】（1）∵，，∴，
∵将沿翻折后得到，∴，∴；
（2）①根据翻折可得，
∵，∴，∴；
②，理由如下：设，
∵，∴，
∵平分，∴，，
∴，∴，
∴，∴，即．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系．
25．（2023下·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q．
(1)当时，求；(2)当时，求；(3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ．
【答案】(1)；(2)或；(3)．
【分析】（1）结合已知先证，利用平行线和平角的性质得到可求解；
（2）当点Q在边上时，利用（1）中关系可求解，当点Q在的延长线上时，如图，由（1）可知，可求得，结合已知利用同旁内角互补可求解；（3）由翻折和已知可求得，从而得到，再由翻折可求得，最后结合（1）中的关系可求解．
【详解】（1）
（2）当点Q在边上时，由（1）有，，
∵，∴，，；
当点Q在的延长线上时，如图，
由（1）可知，
，
∵，解得：
即为或．
（3）∵，，
∵，，由（1）可知，
由翻折可知
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明并灵活应用平行线的性质求解．
26．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图1，将长方形纸片沿着翻折，使得点，分别落在点，位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着翻折，使得点恰好落在延长线上的点处．
(1)若，求的度数；(2)若，试用含的式子表示，并说明理由．
【答案】(1)40°(2)，理由见解析
【分析】（1）根据翻折变换的性质可得：∠EMN=∠BMN=70°，再运用邻补角互补即可求得答案；
（2）由翻折可得：，∠BMN=∠QMN，再运用邻补角互补即可求得答案．
【详解】（1）解∶根据题意得：∠EMN=∠BMN=70°，
∴∠BME=140°，∴∠AME=180°-∠BME=40°；
（2）解：，理由如下：根据题意得：，∠BMN=∠QMN，
∴，∴∠AMQ=180°-∠QMN-∠BMN=．
【点睛】本题考查了几何变换——翻折的性质，邻补角互补等，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
27．（2023下·河南周口·七年级期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图，判断和的大小关系是______ ，直线，的位置关系是______ ．
(2)深入探究：操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，如图，判断和是否相等，并说明理由．
(3)结论应用：如图，已知，，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)相等，理由见解析(3)
【分析】（1）根据折叠的性质进行求解即可；（2）由折叠的性质可得，则有，从而可求解；（3）由三角形的内角和可求，再由折叠可求得，利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）解：和的大小关系是：，直线，的位置关系是：，
故答案为：，；
（2）解：，
理由如下：由（1）得：，，，
，，；
（3）解：，，，
，，．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为．
28．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图（1），已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图（2），若，求的度数．
（1） （2）
【答案】
【分析】先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得．
【详解】解：，，，
即，，．
，．
由折叠可得：，．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．
29．（2023·浙江绍兴·校联考三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出、的度数．
(1)若，则．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下小聪同学在边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接并折叠纸片使得射线与射线重合，折痕交于点E，过E作于点F，设，．
①当点D在点C、B之间时，若，求α的度数；
②当点D在上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)正确，见解析(2)①，②，见解析
【分析】（1）由翻折的性质可得，则，进而可得；
（2）①由折叠的性质可得，，推出，，然后即可求出α的值；
②分D在B左侧时，当D在B右侧两种情况求解即可．
【详解】（1）正确，理由如下： 由翻折的性质可得，
∵，∴，∴；
（2）①：由折叠的性质可得 ，，．
∵， ，∴
∵，∴，
即，∵，
得，∵，∴；
②：猜想； 证明：由题意知，分两种情况讨论，
（Ⅰ）D在B左侧时，，证明过程同（1）；
（Ⅱ）当D在B右侧，如下图，
由折叠的性质可得 ，，．
∵， ，∴
∵，∴，
即，∵，得，∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
30．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）综合与探究
一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．
(1)如图1，若，则______°，______°．
(2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．
【答案】(1)45，135(2)，理由见解析(3)不成立，
【分析】（1）如图1，记与的交点为，由折叠的性质可得，由，可得，，则，，计算求解即可；
（2）由折叠的性质可得，，，由题意知，，，由，可得，整理得，；（3）由折叠的性质可得，，，由题意知，，，由，可得，整理得，．
【详解】（1）解：如图1，记与的交点为，由折叠的性质可得，
∵，∴，，
∴，，故答案为：45，135；
（2）解：，理由如下：
由折叠的性质可得，，，
由题意知，，，
∵，
∴，整理得，，∴；
（3）解：不成立，；由折叠的性质可得，，，
由题意知，，，
∵，
∴，
整理得，，∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
【模型解读】
1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。
2）如图，将△ABC沿DE翻折
（1）若A’落在线段BE上，如图1，则∠1= 2∠A；
（2）若A’落在△ABC内部，如图2，则∠1+∠2= 2∠A；
（3）若A’落在△ABC外部，如图3，则∠1-∠2= 2∠A。
例 1．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023下·广东惠州·八年级校联考期中）如图，矩形沿着EF进行折叠，已知使点B落在边上的点处，点A落在点处．，的度数是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，将长方形沿折叠，使点B落到点处，交于点E，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，将沿所在的直线翻折，点B在边上落点记为点E，已知，，那么的度数为 ．
例5．（2023下·广东八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
例6．（2023下·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，D、E分别是边AB和AC上的点，将纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么 度．
例7．（2023下·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图，一个三角形的纸片，其中，．
(1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点处，是折痕，说明；
(2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由；(3)当点A落在四边形外时（如图3），若，则______°．（直接写出结论）
例8．（2023下·湖北宜昌·七年级统考期末）如图1，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点，的落点分别是，，交于．（注：长方形对边平行，四个角都是直角）
(1)求证：；(2)如图2，再将图1中的四边形沿折叠，点，的落点分别是，，交于．①求证：；②若，求的度数．
课后专项训练
1．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，则必定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏·八年级课堂例题）如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023下·安徽六安·八年级校考期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023下·山东烟台·七年级统考期中）如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点C，D分别落在点，处，与交于点G．已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·江苏·八年级专题练习）将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开．如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．无法确定
6．（2023下·河北保定·七年级统考期中）将长方形纸片按图1中的虚线第一次折叠得图2，再按图2中的虚线进行第二次折叠得到图3．已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023下·吉林长春·七年级校考开学考试）如图，点E，点F在长方形的边，边上．将长方形沿折叠，使与重合，与相交于点G．若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
9．（2023下·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③； ④， ⑤．其中正确的结论有（ ）
A．①⑤B．②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤
10．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
11．（2023下·浙江温州·七年级校考期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为（ ）
A．或B．或C．或D．或
12．（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）如图1，在长方形纸带中，点E，F分别是，边上的点，，将纸带沿折叠如图2，再沿折叠如图3，则图3中的的度数是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为 用含的代数式表示)
14．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则 °．
15．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ， ．
16．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿、折叠，使点落在处，点落在处，若，，则的度数为 °．
17．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）将一张长方形纸片先沿着折叠后打开，为上一点（如图①），再沿折叠，交于点（如图②），已知，当 °时，才能使．
18．（2023上·重庆九龙坡·八年级校联考开学考试）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若，则 ．
19．（2023下·河南信阳·七年级统考期末）如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为 ．
20．（2023下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．
21．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落的位置，折痕为．若，，若点E是边上的固定点（），D是AC上一动点，将纸片沿折叠，使与三角形的其中一边平行，则 ．
22．（2023·福建宁德·七年级统考期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．
23．（2023下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）在中，，将折叠，使，两点重合，折痕所在直线与边所在直线的夹角为，则的度数为 ．
23．（2023上·福建莆田·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．
24．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到．
(1)如图1，当点E落在上时，求的度数；(2)当点E落在下方时，设与相交于点F．
①如图2，若，试说明：；②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
25．（2023下·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q．
(1)当时，求；(2)当时，求；(3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ．
26．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图1，将长方形纸片沿着翻折，使得点，分别落在点，位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着翻折，使得点恰好落在延长线上的点处．(1)若，求的度数；(2)若，试用含的式子表示，并说明理由．
27．（2023下·河南周口·七年级期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图，判断和的大小关系是______，直线，的位置关系是______ ．(2)深入探究：操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等，并说明理由．
(3)结论应用：如图，已知，，请直接写出的度数．
28．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图（1），已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图（2），若，求的度数．
（1） （2）
29．（2023·浙江绍兴·校联考三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出、的度数．
(1)若，则．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下小聪同学在边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接并折叠纸片使得射线与射线重合，折痕交于点E，过E作于点F，设，．
①当点D在点C、B之间时，若，求α的度数；②当点D在上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
30．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）综合与探究
一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．
(1)如图1，若，则______°，______°．(2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．(3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．
专题07 图形翻折模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是的考查热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，以这个性质为基础，结合相关角度来考查。（本学期受计算工具限制，本专题暂时主要对翻折中的角度问题作探究）本专题以常见图形为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。
2）如图，将△ABC沿DE翻折
（1）若A’落在线段BE上，如图1，则∠1= 2∠A；
（2）若A’落在△ABC内部，如图2，则∠1+∠2= 2∠A；
（3）若A’落在△ABC外部，如图3，则∠1-∠2= 2∠A。
例 1．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】折叠得到，平行得到，再利用平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：如图，∵折叠，∴，∵对边平行的纸带，∴，
∵，∴，∴，∴；故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
例2．（2023下·广东惠州·八年级校联考期中）如图，矩形沿着EF进行折叠，已知使点B落在边上的点处，点A落在点处．，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质即可求的度数．
【详解】解：由折叠可得：，，，
四边形是矩形，，．故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
例3．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，将长方形沿折叠，使点B落到点处，交于点E，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得的度数，再由矩形对边平行的性质即求得的度数，根据三角形内角和即可求得的度数．
【详解】解：由折叠的性质得：，∵∴，
∴，即，∴，故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是关键．
例4．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，将沿所在的直线翻折，点B在边上落点记为点E，已知，，那么的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】根据折叠的性质可得，，然后根据，，证得，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【详解】解：根据折叠的性质可得，，，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明是本题的关键．
例5．（2023下·广东八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=120°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数．
【详解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=120°，∠C=80°，∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，
∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，故选B．
【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．
例6．（2023下·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，D、E分别是边AB和AC上的点，将纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么 度．
【答案】50
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质求出，，然后结合已知得出，求出，再利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵，∴，
由折叠得：，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质以及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
例7．（2023下·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图，一个三角形的纸片，其中，．
(1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点处，是折痕，说明；
(2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由；(3)当点A落在四边形外时（如图3），若，则______°．（直接写出结论）
【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3)87
【分析】（1）由折叠的性质得，由已知，推出，即可得到结论；
（2）由四边形的内角和等于得到，由平角性质得到，推出，再由图形翻折的性质即可得出结果；
（3）由折叠的性质得（设为α），（设为β），则，，推出，再由三角形的内角和得到，证得，即可得出结果．
【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，∵，∴，∴；
（2）解：，理由如下：∵四边形的内角和等于，∴．
又∵，∴．
由折叠的性质得：，∴，∵，∴；
（3）由折叠的性质得：，，
设，，
∵，，
∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴．故答案为：87．
【点睛】本题主要考查了翻折，四边形，平行线，三角形外角，三角形内角和等知识，熟练掌握翻折的性质，四边形内角和定理，平行线的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理等，是解题的关键．
例8．（2023下·湖北宜昌·七年级统考期末）如图1，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点，的落点分别是，，交于．（注：长方形对边平行，四个角都是直角）
(1)求证：；(2)如图2，再将图1中的四边形沿折叠，点，的落点分别是，，交于．①求证：；②若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）首先根据折叠的性质得到，然后由平行线的性质得到即可证明出；（2）①，根据平行线的性质和折叠的性质得到，进而求出，然后利用，进而求解即可；②根据折叠的性质得到，然后由得到，然后列方程求解即可．
【详解】（1）解：由折叠可知，，
∵，∴，∴；
（2）①设，∵，∴，
由折叠可知，，∴，
由折叠可知，，∴，
∵，∴；
②∵，∴，
∵由折叠可知，，∴，
∵∴∴∴解得∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，则必定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到，由折叠的性质得到，再根据等量代换可得．
【详解】解：如图：，，
由折叠的性质得到，．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键．
2．（2023上·江苏·八年级课堂例题）如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，从而得到，由折叠的性质可得，从而得到，最后根据平行线的性质即可得到答案．
【详解】解：四边形为长方形，，，
，，
由折叠的性质可得：，
，
，，故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、轴对称的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
3．（2023下·安徽六安·八年级校考期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，得出，根据，求出，即可得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】解：根据折叠可知，，，
∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠性质，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，求出．
4．（2023下·山东烟台·七年级统考期中）如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点C，D分别落在点，处，与交于点G．已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出，求出，根据折叠得出，得出，求出结果即可．
【详解】解：∵矩形纸条中，∴，
∴，根据折叠可知，，
∴，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等．
5．（2023上·江苏·八年级专题练习）将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开．如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】据长方形两直线平行得到的同旁内角，再根据折叠的性质得到和相等的角，然后计算即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，
长方形的两条长边平行，，．故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质和长方形中的平行线，根据平行线得到同旁内角，利用两直线平行，同旁内角互补进行计算是关键．
6．（2023下·河北保定·七年级统考期中）将长方形纸片按图1中的虚线第一次折叠得图2，再按图2中的虚线进行第二次折叠得到图3．已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，得到，利用平角的定义和平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：如图，
由折叠的性质，得：，∴，
∵长方形纸片对边平行，∴的度数为．故选D．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质．
7．（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质有：，，根据三角形的内角和求出，再由，可得，即有，问题得解．
【详解】解：根据折叠的性质有：，，，，，
，，，
，故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
8．（2023下·吉林长春·七年级校考开学考试）如图，点E，点F在长方形的边，边上．将长方形沿折叠，使与重合，与相交于点G．若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据矩形性质得到，,得到，根据折叠的性质，利用等角的补角相等计算即可．
【详解】∵长方形沿折叠，使与重合，
∴，,∴，，
∴，，
∵，∴，故选C．
【点睛】本题考查了矩形的折叠，矩形的性质，平行线的性质，等角的补角相等，熟练掌握矩形的折叠与性质是解题的关键．
9．（2023下·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③； ④， ⑤．其中正确的结论有（ ）
A．①⑤B．②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，以及折叠的性质即可判断①，根据平行线的性质可得，，即可判断②，根据平行线的性质可得，根据对等角相等可得，即可判断③，根据平行线的性质得出，根据邻补角的定义，即可判断④，根据折叠的性质即可判断⑤
【详解】解：∵∴∵折叠，∴，∴，故①正确；
∵∴ 又∴∴，故②正确
∵∴又∴，故③正确
∵，,又∴∴
∵∴，故④正确；
根据折叠的性质可得，故⑤正确，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，邻补角的定义，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．
10．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得到，由折叠得：，，从而得到与的和．利用两个平角求出与的和，最后根据三角形内角和等于即可求出答案．
【详解】解：长方形，，
，，，
由折叠得：，，
，，
在中，，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
11．（2023下·浙江温州·七年级校考期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，先求出，再证明，得到，最后利用对顶角相等，即可求出的度数；当在下方时，延长，交于点，根据平行线的判定和性质，证明，得到，进而得到，即可求出的度数．
【详解】解：当在上方时，延长、交于点，
由折叠可知，，，，
，，，，
，，，
，，，；
当在下方时，延长，交于点，
由折叠可知，，，，
，，，，
，，，，，
；综上所述：或，故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，图形的折叠，熟练掌握图形折叠的性质，平行线的性质，能够画出图形是解题的关键．
12．（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）如图1，在长方形纸带中，点E，F分别是，边上的点，，将纸带沿折叠如图2，再沿折叠如图3，则图3中的的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质求出，可得图1中的度数，然后根据翻折的性质求出图2中以及图3中的度数即可．
【详解】解：∵在长方形纸带中，∴，
∴图1中，，∴图2中，，
∴图3中，，∴图3中，，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，正确寻找翻折后各角之间的关系是解题的关键．
13．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为 用含的代数式表示)
【答案】/
【分析】由题意得：，即可得、为直角三角形，然后可求得的度数，又由，即可求得的度数．
【详解】解：根据题意得：，为直角三角形，
，， ，
，
，，故答案为．
【点睛】此题考查了折叠的性质、平行线的性质，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
14．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则 °．
【答案】
【分析】先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得．
【详解】解：∵，∴，，
即，，∴．
∵，∴．
由折叠可得：，∴．故大为：72．
【点睛】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得到角相等是解题的关键．
15．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ， ．
【答案】 18
【分析】由折叠可知：，，，由平行线的性质可求解的度数，过点作，则，结合平行线的性质，易求的度数，即可得的度数，由直角三角形的性质可求解的度数，即可求得的度数．
【详解】解：由折叠可知：，，，
∵，，∴，
∵四边形是长方形，∴，∴，
∴，过点作，如图，
∴，∵，∴，
∵四边形是长方形，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴．故答案为：；18．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
16．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿、折叠，使点落在处，点落在处，若，，则的度数为 °．
【答案】35
【分析】先根据折叠性质和平角定义求得，再根据平行线的性质得到即可求解．
【详解】解：由折叠性质得，，
∵，，∴，
∴，∵，∴，故答案为：35．
【点睛】本题考查折叠性质、平行线的性质，熟知折叠性质是解答的关键．
17．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）将一张长方形纸片先沿着折叠后打开，为上一点（如图①），再沿折叠，交于点（如图②），已知，当 °时，才能使．
【答案】
【分析】根据平行线的性质可得，根据折叠的性质和矩形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵，，
∴，即，
∴；故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
18．（2023上·重庆九龙坡·八年级校联考开学考试）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若，则 ．
【答案】/115度
【分析】由折叠可知，，由平行线的性质可得，进而可得，，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：由折叠可知，，
∵，∴，∵，∴，
∴，则，故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
19．（2023下·河南信阳·七年级统考期末）如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为 ．
【答案】或
【分析】根据题意分两种情况讨论，当时，根据平行线的性质求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数，从而求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，最后在中根据三角形内角和定理即可求解；当时，根据平行线的性质求出的度数由折叠的性质可得，从而即可求解．
【详解】解：当时，如图，
由折叠的性质得，，
∵，∴，在中，，，
∴，∴，
∴，在中，，，
∴；
当时，如图，∵，∴，由折叠的性质得，
∴，综上所述，的度数是或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和三角形内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．
20．（2023下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，由，，推出，即可求出．
【详解】解：∵沿折叠得，∴，
∵，∴，∵，，∴，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，由折叠的性质得到，是解答本题的关键．
21．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落的位置，折痕为．若，，若点E是边上的固定点（），D是AC上一动点，将纸片沿折叠，使与三角形的其中一边平行，则 ．
【答案】或或
【分析】分时和时，利用折叠性质和平行线的性质以及三角形的内角和求解即可．
【详解】解：根据折叠有：，
当时，如图，则，
由折叠性质得： ，，
当时，如图，则，
由折叠性质得： ，∴，
∴；
当时，如图，则，
由折叠性质得：，∵，
， ，
综上，的度数为或或．故答案为：或或．
【点睛】本题考查折叠性质、平行线性质，熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键．
22．（2023·福建宁德·七年级统考期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．
【答案】77
【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案．
【详解】解：如图：
∵折叠，∴，∴，∴，
∵彩带两边平行，∴，∵折叠，彩带两边平行，∴，
∴，∴．故答案为：77．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
23．（2023下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）在中，，将折叠，使，两点重合，折痕所在直线与边所在直线的夹角为，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】首先根据题意画出图形，分为两种情况：如图，由折叠的性质可知，再结合折痕所在直线与边所在直线的夹角为，由直角三角形特征即可求出的度数；如图，由折叠的性质可知，再结合折痕所在直线与边所在直线的夹角为，由直角三角形特征即可求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：如图1，
由折叠的性质可知，，
折痕所在直线与边所在直线的夹角为，，；
如图2，由折叠的性质可知，，
折痕所在直线与边所在直线的夹角为，，
，，故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折的性质，直角三角形特征，邻补角求角度，根据题意画出符合题意的图形是解答本题的关键．
23．（2023上·福建莆田·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，则，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵，∴，
由折叠的性质得，，
∵，∴，∴，
∵∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
24．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到．
(1)如图1，当点E落在上时，求的度数；(2)当点E落在下方时，设与相交于点F．
①如图2，若，试说明：；②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求出的度数；
（2）①根据翻折可得，再利用垂直可得，即可得到；
②设，根据角平分线和平行线可得，，可求得，再利用外角可得，即可得到．
【详解】（1）∵，，∴，
∵将沿翻折后得到，∴，∴；
（2）①根据翻折可得，
∵，∴，∴；
②，理由如下：设，
∵，∴，
∵平分，∴，，
∴，∴，
∴，∴，即．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系．
25．（2023下·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q．
(1)当时，求；(2)当时，求；(3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ．
【答案】(1)；(2)或；(3)．
【分析】（1）结合已知先证，利用平行线和平角的性质得到可求解；
（2）当点Q在边上时，利用（1）中关系可求解，当点Q在的延长线上时，如图，由（1）可知，可求得，结合已知利用同旁内角互补可求解；（3）由翻折和已知可求得，从而得到，再由翻折可求得，最后结合（1）中的关系可求解．
【详解】（1）
（2）当点Q在边上时，由（1）有，，
∵，∴，，；
当点Q在的延长线上时，如图，
由（1）可知，
，
∵，解得：
即为或．
（3）∵，，
∵，，由（1）可知，
由翻折可知
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明并灵活应用平行线的性质求解．
26．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图1，将长方形纸片沿着翻折，使得点，分别落在点，位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着翻折，使得点恰好落在延长线上的点处．
(1)若，求的度数；(2)若，试用含的式子表示，并说明理由．
【答案】(1)40°(2)，理由见解析
【分析】（1）根据翻折变换的性质可得：∠EMN=∠BMN=70°，再运用邻补角互补即可求得答案；
（2）由翻折可得：，∠BMN=∠QMN，再运用邻补角互补即可求得答案．
【详解】（1）解∶根据题意得：∠EMN=∠BMN=70°，
∴∠BME=140°，∴∠AME=180°-∠BME=40°；
（2）解：，理由如下：根据题意得：，∠BMN=∠QMN，
∴，∴∠AMQ=180°-∠QMN-∠BMN=．
【点睛】本题考查了几何变换——翻折的性质，邻补角互补等，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
27．（2023下·河南周口·七年级期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：操作一：折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕，使，，三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图，判断和的大小关系是______ ，直线，的位置关系是______ ．
(2)深入探究：操作三：折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．
根据以上操作，如图，判断和是否相等，并说明理由．
(3)结论应用：如图，已知，，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)相等，理由见解析(3)
【分析】（1）根据折叠的性质进行求解即可；（2）由折叠的性质可得，则有，从而可求解；（3）由三角形的内角和可求，再由折叠可求得，利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）解：和的大小关系是：，直线，的位置关系是：，
故答案为：，；
（2）解：，
理由如下：由（1）得：，，，
，，；
（3）解：，，，
，，．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为．
28．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图（1），已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图（2），若，求的度数．
（1） （2）
【答案】
【分析】先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得．
【详解】解：，，，
即，，．
，．
由折叠可得：，．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．
29．（2023·浙江绍兴·校联考三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出、的度数．
(1)若，则．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下小聪同学在边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接并折叠纸片使得射线与射线重合，折痕交于点E，过E作于点F，设，．
①当点D在点C、B之间时，若，求α的度数；
②当点D在上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)正确，见解析(2)①，②，见解析
【分析】（1）由翻折的性质可得，则，进而可得；
（2）①由折叠的性质可得，，推出，，然后即可求出α的值；
②分D在B左侧时，当D在B右侧两种情况求解即可．
【详解】（1）正确，理由如下： 由翻折的性质可得，
∵，∴，∴；
（2）①：由折叠的性质可得 ，，．
∵， ，∴
∵，∴，
即，∵，
得，∵，∴；
②：猜想； 证明：由题意知，分两种情况讨论，
（Ⅰ）D在B左侧时，，证明过程同（1）；
（Ⅱ）当D在B右侧，如下图，
由折叠的性质可得 ，，．
∵， ，∴
∵，∴，
即，∵，得，∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
30．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）综合与探究
一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．
(1)如图1，若，则______°，______°．
(2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．
【答案】(1)45，135(2)，理由见解析(3)不成立，
【分析】（1）如图1，记与的交点为，由折叠的性质可得，由，可得，，则，，计算求解即可；
（2）由折叠的性质可得，，，由题意知，，，由，可得，整理得，；（3）由折叠的性质可得，，，由题意知，，，由，可得，整理得，．
【详解】（1）解：如图1，记与的交点为，由折叠的性质可得，
∵，∴，，
∴，，故答案为：45，135；
（2）解：，理由如下：
由折叠的性质可得，，，
由题意知，，，
∵，
∴，整理得，，∴；
（3）解：不成立，；由折叠的性质可得，，，
由题意知，，，
∵，
∴，
整理得，，∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
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