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八年级数学下册专题02勾股定理中的翻折模型(原卷版+解析)
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这是一份八年级数学下册专题02勾股定理中的翻折模型(原卷版+解析)，共62页。
【知识储备】
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
模型1.折痕过对角线模型
【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。
例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A．B．3C．D．6
例2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积．
例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为 .
模型2.折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期末）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使的对应点落在对角线上，折痕为，则的长为______．
例2．（2022·山东德州·八年级统考期末）如图将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则______．
例3．（2023春·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______．
例4．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？
模型3.折痕任意两点模型
【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。
例1．（2022春·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是 ．
例2．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
例3．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点，若，，则的面积为_________．
例4．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______
例5．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．
模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例1．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，．
(1)的长为 ．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．
例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ．
模型5.过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A．B．3C．D．
例2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．
例3．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______
模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例1．（2022·河南·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ）
A．3B．C．3或D．3或
例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．
模型7其他三角形翻折模型
例1．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．
例2．（2022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
例3．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）
A．B．3C．2D．
例4．（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ．
例5．（2023秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则 ．
例6．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的长为 ．
课后专项训练
1．（2023·河北保定·八年级校考期末）如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为（ ）
A．4.8B．4.6C．5D．4.5
4．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为（ ）
A．4B．5C．D．
5．（2023·广东·八年级期末）如图，在矩形中，，，先将矩形沿着直线翻折，使点落在边上的点处，再将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，则线段的长为( )
A．B．C．D．
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC的处，若，，，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·山东济南·七年级期末）如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．
9．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接．将沿翻折后得到，若，则线段的长为______．
10．（2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．
11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为 ．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为 ；
（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为 ．
13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为 ．
14．（2022·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E是AB边上的动点（不与点A，B重合），连接CE，将沿直线CE翻折得到，连接．当点落在边AD上，且点恰好是AD的三等分点时，的周长为 ．
15．（2023春·重庆南岸·九年级校联考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为 ．
16．（2023·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．
17．（2023·四川达州·八年级校考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为
18．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 ．
19．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求图中的面积．
21．（2022秋·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．
(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．
22．（2023秋·山东济南·九年级统考开学考试）在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同学们的发现解决下列问题．(1)如图1，矩形，，，将延对角线翻折得到，点的对应点为点，与交于点，则有______，，且，易得______；(2)在（1）的条件下，若要求线段的长度，令，则______ (用x表示)，在中利用勾股定理列出方程______（不用化简）；
(3)如图2，对矩形进行如下操作：①分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．若，，求线段CQ的长．
23．（2023秋·四川成都·九年级校考开学考试）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
观察发现：（1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°，_____；
问题探究：（2）如图2，若，，，求的长；
拓展延伸：（3），，若F为的三等分点，请求出的长．
24．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．
(1)若直线与线段交于点．①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______；②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长．
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEC是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEF是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：GC’F是直角三角形。
专题02.勾股定理中的翻折模型
翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。
【知识储备】
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
模型1.折痕过对角线模型
【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。
例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．
【详解】解：∵，，∴AD=，，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，
∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，
∴在Rt中，由勾股定理得：，
∴，解得：EF=，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．
例2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积．
【答案】(1)5(2)10
【分析】（1）矩形沿对角线AC对折后，所以，，，可得，再设AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案；
（2）直接根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：
以，，，∴（AAS），∴CF＝AF.
设AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，，即，解得x＝5．所以CF=5；
（2）由（1）得AF=CF=5，根据题意，得．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等，根据全等三角形的性质得出AF=CF是解题的关键．
例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为 .
【答案】（0，）．
【分析】先证明EA=EC（设为x）；根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解决问题．
【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，
∴EA=EC（设为x）；由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，
解得：x=，∴OE=3-=，∴E点的坐标为（0，）．故答案为（0，）．
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
模型2.折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期末）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使的对应点落在对角线上，折痕为，则的长为______．
【答案】.
【分析】先利用勾股定理求出BD，设AF=EF=x，则由折叠的性质有BF=4-x，BE=2，在Rt△BEF中，由FB2=EF2+BE2，列出方程即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
∵AB=4，AD=3，∴BD=，
∵△DFE是由△DFA翻折得到，∴DE=AD=3，BE=2，设AF=EF=x，
在Rt△BEF中，∵FB2=EF2+BE2，∴（4-x）2=x2+22，∴x=，∴AF=，故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，利用法则不变性，设未知数列方程是解题的关键，是中考常考题型．
例2．（2022·山东德州·八年级统考期末）如图将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质，，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据折叠的性质，，
在中，由勾股定理得：，故答案是：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．
例3．（2023春·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，根据翻折的性质，矩形的性质和是的中点，可得：，，，，可证，得；再根据，，可得，，可求出，再根据勾股定理可求出的长．
【详解】解：连接，
则在矩形中，根据翻折的性质和是的中点，可得：
，，，，
在与中， ∴；∴，
∵，，∴，∴∴，
在中，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键．
例4．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据翻折变换的性质得出△BCF≌△BEF和△ADG≌△AEG，从而证出A、E、F以及B、E、G共线，设CF=x，再根据勾股定理得出FG，继而得出的值．
【详解】解：矩形中，由翻折变换的性质得，∴△BCF≌△BEF，△ADG≌△AEG，
∴∠C=∠BEF=∠D=∠AEG=90°，CF=EF，DG=EG；
在四边形BCFE中，∠CBE+∠CFE=180°，∵∠GFE+∠CFE=180°，∴∠CBE=∠GFE，
∵∠CBE+∠EGF=90°，∴∠GFE +∠EGF=90°，∴∠FEG=90°，
∴∠AEG+∠FEG=180°，∠BEF+∠FEG=180°，
∴A、E、F三点共线，B、E、G三点共线，∴翻折变换的性质得CF=EF=EG=DG=x
∴∴∴；故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，四边形的内角和，得到∠FEG=90°是解题的关键
例5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？
【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时.
【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;
（2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;
【详解】解：（1）由题意可得,∴
设,则在中,
∴重叠的面积
（2）由题意可得∴
在中∵∴∴
在中解得： 此时
∴当时，点恰好落在边上 这时.
【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答.
模型3.折痕任意两点模型
【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。
例1．（2022春·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是 ．
【答案】或7
【分析】根据题意，分及两种情况进行讨论求解．其中，当时，，，三点共线，由矩形性质及已知条件，有，，在中，运用勾股定理求得的长，再根据翻折性质，在中，运用勾股定理求得FD的长；当，运用翻折性质，证得是等腰直角三角形，再运用矩形性质，求得FD的长．
【详解】解：分两种情况进行讨论，
①当时，∵矩形中，沿所在直线翻折，得到，
∴，∴，，三点共线．
∵矩形，，∴．∵，点E是的中点，∴．
∴在中，．∵沿所在直线翻折，得到，，
∴，∴．
设，则，∵，∴，∵，∴在中，
，即，解得，∴．
②当时，∵， ∴．
∴沿所在直线翻折，得到，∴．
∵矩形， ∴．∵，∴是等腰直角三角形．
∵，点E是的中点，∴，
∵矩形，，∴，∴．
综上所述，的长为或7．
【点睛】本题考查了矩形的翻折问题，熟练运用翻折性质、勾股定理，是解题的关键．
例2．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
【答案】
【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．
【详解】解：∵是的中点，，，∴，
由折叠的性质知：，设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即：，解得，∴．故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．
例3．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点，若，，则的面积为_________．
【答案】
【分析】根据长方形得到，，根据折叠的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴，,如图所示：
∵将该纸片沿着EF翻折，顶点B与顶点D重合，∴A'D，，
∴，，，∴，∴，
，∴，解得，
∴，∴过作于H，∴，
∴AA'E的面积为，故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
例4．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______
【答案】4
【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F的长，即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°；
∵点C′为AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3；由题意得：C′F＝CF（设为x），则BF＝9−x，
由勾股定理得：x2＝32＋(9−x)2，解得：x＝5，∴BF＝9−5＝4．故答案为4．
【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键．
例5．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．
【答案】
【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，
连接 ，则有四边形 ，四边形相当于四边形沿 边对折得到．
已知，，则 ， ，在 中，
，则 ，
设 ，则 ， ，在 中， ，
即 ，解得 ，故答案为：．
【点睛】考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点．
模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例1．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，．
(1)的长为 ．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．
【答案】(1)20(2)6
【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的长；
（2）首先根据折叠的性质可得，，则，设，则，根据勾股定理得出即可求出．
【详解】（1）解：∵ ∴
∵，∴ 故答案为：；
（2）根据折叠可得：， 则，
设，则，
∵ ∴ 解得：， ∴
【点睛】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质可得，可得，设，表示出，进而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，∴，
∵将沿向上翻折得到，使点在射线上，∴，
设，则，，
在中，，即，解得：即的长为，故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ．
【答案】/
【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出．
【详解】解：如图，∵，∴，∴，∵折叠，∴，∴，
∵中，，∴，∴，
∵，∴，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出是解题的关键．
模型5.过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．
【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，∴，∴，
设，则，，
在中，∵，∴，解得，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
例2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．
【答案】．
【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可．
【详解】如图所示，∵，∴BC==8，
∵CD是上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y，
根据题意，得，，解得x=，y=,∴,故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键．
例3．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______
【答案】
【分析】连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且G为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长．
【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，
由折叠的性质可得：，则为的中垂线，∴，
∵D为中点，∴，∴，
∵，即，∴，即，
在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长．
模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例1．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ）
A．3B．C．3或D．3或
【答案】D
【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x，
则和，，在中，，
当时，，解得：，
当时，，解得：，故选D．
【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键．
例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可求得，由折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得，，即可求得AB．
【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE，
∵，∴，∴，
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，
∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题．
模型7其他三角形翻折模型
例1．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．
【答案】2
【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，
∴S△ABC=，即，∴CH=，由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，
在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=-x，
在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
例2．（2022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
【答案】17或
【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，
由折叠得：，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
例3．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】C
【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积法即可得出答案．
【详解】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
∵AB＝BC＝5，∴，
在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，BH2+()2＝52，解得BH＝，
解得：AG＝3，
在中，CG2+AG2＝AC2，CG2+33＝，解得：CG＝1，
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，∵DE⊥AB，∴∠AGD＝∠AFD＝90°，
∴△AGD≌△AFD(AAS)，∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，
设GD＝x，则DF＝x，BD＝4﹣x，在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2，
x2+22＝（4﹣x）2，解得，∴DE＝CD＝，BD＝BC﹣CD＝，
设点E到BC的距离为d，
解得d＝2．所以点E到BC的距离为2．故选：C．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
例4．（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ．
【答案】/1.75
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，在中，勾股定理列出方程即可求得的长，进而求得BD的长．
【详解】把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，
, 设，则，
在中， 即 解得故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
例5．（2023秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则 ．
【答案】1
【分析】连接BE， 由将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，可得BE= 4-AE，然后利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如下图，连接BE，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴BE=EG，
∵，，∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，∵在Rt△ABC中，，，
∴AE2+AB2=BE2即，∴AE=1，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理构造方程求解是解题的关键．
例6．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的长为 ．
【答案】
【分析】首先证明是等腰直角三角形，利用面积法求出，可得，由勾股定理求出，即可求得的长．
【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，，
，，，是等腰直角三角形，
，，
根据勾股定理得：，，
，，，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出、是解决问题的关键．
课后专项训练
1．（2023·河北保定·八年级校考期末）如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点为边的中点，可求CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．
【详解】解：∵将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，∴△AEF≌△DEF，∴AE=DE，∵点为边的中点，∴CD=，设DE=x，CE=6-x，
在Rt△CDE中由勾股定理，即，解得．故选择：C．
【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．
2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点E作于点M，先根据勾股定理求出的长度，再根据翻折的性质得出，继而利用三角形的面积公式求出，再求出,，利用三角形的面积求解即可．
【详解】过点E作于点M，
∴，在直角三角形，，，，∴，
∵把沿着翻折，得到，∴，
∴，∴，即，
解得，∴,，
∵，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键．
3．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为（ ）
A．4.8B．4.6C．5D．4.5
【答案】A
【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，
，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，
根据勾股定理得：，即，解得：x=4.8，∴AP=4.8，故选A．
【点睛】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和长方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
4．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【分析】作于，则，由四边形为矩形，得，由折叠的性质及等量代换得，设，则，由勾股定理解得，所以，，根据矩形的判定可证四边形是矩形，可得出，在由勾股定理得即可计算出．
【详解】解：如图，作于，则，四边形为矩形，
，，，，，
矩形沿折叠，使点与点重合，，，，
，，设，则，
在中，，，解得：，，，，
，四边形是矩形，，，
，在中，，故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化．
5．（2023·广东·八年级期末）如图，在矩形中，，，先将矩形沿着直线翻折，使点落在边上的点处，再将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，则线段的长为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，设，，由勾股定理计算出，进而得到， 在中，根据勾股定理得，故可求解．
【详解】解：由翻折得，．
∵ 四边形是矩形，∴ ，．
在中，根据勾股定理，得，
∴ ．设，则，
由翻折得，，，
在中，由勾股定理，得．∴．解得．故选A．
【点睛】此题主要考查矩形与折叠，解题的关键是熟知折叠的性质、勾股定理的应用．
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题；
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∠BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO，
∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°，
∴BE=2CE根据勾股定理得：EC==，故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．
7．（2023·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC的处，若，，，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质结合矩形的性质得到，，，利用勾股定理求得，过作⊥于，设，在中，再利用勾股定理列式求得，根据梯形面积公式即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴，根据折叠的性质，得：，
，，，，，
在中，，，∴，
∴，过作⊥于，则，
设，则，，在中，，
即，解得：，即，
∴四边形的面积是，故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，梯形的面积公式，解本题的关键是利用勾股定理分别求出，的长．
8．（2023·山东济南·七年级期末）如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使得点与点重合， ∴，
又∵，，，∴，
∵在中，，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理．理解和掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接．将沿翻折后得到，若，则线段的长为______．
【答案】
【分析】与交于点F，设，则，据勾股定理得出，，再由翻折的性质得出，，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：与交于点F，设，则，
∵，，，，
∴即，解得：，
∴，∴，
∵将沿翻折后得到，∴，，
∴，设，则，
∴即，解得： 线段的长为 故答案为：
【点睛】本题考翻折变换，勾股定理知识，解题关键是熟练掌握运用勾股定理进行求解，属中考常考题型．
10．（2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．
【答案】5
【分析】设，由，利用勾股定理可得的长，在中，利用勾股定理列式，即可解得，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，∴，
设，则，∵，
∴，∴，
在中，，∴，解得：，
∴，∴，故答案为：5．
【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理及应用等知识，熟练掌握翻折的性质和矩形性质是解题的关键．
11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为 ．
【答案】6
【分析】由翻折得到，，利用长方形的性质得到，推出，证明，得到，求出，由此求出，继而得到答案．
【详解】解：由翻折得，，
在长方形中，，，，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：6．
【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为 ；
（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为 ．
【答案】 8
【分析】（1）过F点作FM⊥AB于M点，易证明四边形AMFD是矩形，即有AD=FM，DF=AM，根据∠CAB=30°，AB=12，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，即，则，根据翻折的性质有，即可得∠MFE=∠CAB=30°，则在Rt△MFE中，得，问题得解；
（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，根据折叠的性质，可求出AM=AE-ME=5-4=1，即DF=AM=1，，在和中，利用勾股定理有，，即有，可得到，进而可得，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）过F点作FM⊥AB于M点，如图，
在长方形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠DAB=∠D=90°，
∵FM⊥AB，∴∠FMA=∠FME=90°，∴四边形AMFD是矩形，∴AD=FM，DF=AM，
∵∠CAB=30°，AB=12，∴在Rt△ABC中，有2BC=AC，
即，得，解得，，即，
∴，根据翻折的性质有，
∴∠MFE+∠FEM=90°，∠CAB+∠AEF=90°， ∴∠MFE=∠CAB=30°，
∴在Rt△MFE中，有2ME=EF，即，得，
解得EF=8，即ME=4，故答案为：8．
（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，如图，
根据翻折的性质有，，，，，，
∵ME=4，AE=5，∴AM=AE-ME=5-4=1，∴DF=AM=1，
∴，，，∴，
根据折叠的性质有：GH垂直平分EF， ∴FG=GE=EF=4，∵在和中，
利用勾股定理有，，
∴，解得，∴，
∵在中，，故答案为：．
【点睛】本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理以及含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理，学会利用参数构建方程解决问题．
13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为 ．
【答案】
【分析】过点C'作C'H⊥AD于点H，由折叠的性质可得CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，由勾股定理可求C'F＝1，由三角形面积公式可求C'H的长，再由勾股定理可求AC'的长．
【详解】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H，
∵点F为AD的中点，AD＝BC＝ ，∴AF＝DF＝，
∵将△DEC沿DE翻折，∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，
在Rt△DC'F中，C'F＝＝1，∵S△C'DF＝×DF×C'H＝×C'F×C'D，
∴×C'H＝1×3，∴C'H＝，∴FH＝，
∴AH＝AF+FH＝，在Rt△AC'H中，AC'＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求C'H的长是本题的关键．
14．（2022·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E是AB边上的动点（不与点A，B重合），连接CE，将沿直线CE翻折得到，连接．当点落在边AD上，且点恰好是AD的三等分点时，的周长为 ．
【答案】或
【分析】分以下两种情况进行讨论．①当点恰好是AD的三等分点且靠近A点时；②当点恰好是AD的三等分点且靠近D点时，根据折叠性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，．
由题意，可知需分以下两种情况进行讨论．
①当点恰好是AD的三等分点且靠近A点时，如图1所示．
又∵，∴，．由折叠的性质，可知，，
∴．∴．∴．
②当点恰好是AD的三等分点且靠近D点时，如图2所示．
又∵，∴，．由折叠的性质，可知，，
∴．∴．∴．
综上所述，当点落在边AD上，且点恰好是AD的三等分点时，的周长为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查矩形及其折叠问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形性质和折叠的性质，对点位置进行分情况讨论．
15．（2023春·重庆南岸·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为 ．
【答案】
【分析】过点作的垂线段，交于点，根据题意，可得为等腰直角三角形，再根据翻折可得，，，求出，再设，根据勾股定理求出的长，即可得到的长．
【详解】解：如图，过点作的垂线段，交于点，
，，为等腰直角三角形，,
，，设，则根据翻折，，
在中，，可得方程，解得：，
将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，，，
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，根据勾股定理列方程求解问题，翻折问题，正确的作出辅助线，一步一步推论是解题的关键．
16．（2023·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．
【答案】
【分析】由对折先证明再利用勾股定理求解 再证明 从而求解 于是可得答案.
【详解】解： 长方形ABCD中，BC=5，AB=3，
由折叠可得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解是解本题的关键.
17．（2023·四川达州·八年级校考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为
【答案】4cm
【分析】根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到的长．
【详解】解：∵，，
∴，由题意得，，
∴．设，则，
在中，根据勾股定理得，
即，解得，即长为．
【点睛】本题考查的是翻折变换，理解翻折变换的性质是解题的关键，翻折后的图形与原图形是全等的．
18．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 ．
【答案】3.4
【分析】由折叠的性质得，设，后在中，由勾股定理得出方程，求出x即可．
【详解】解：由折叠的性质得：，设，
在中，由勾股定理得：，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键．
19．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．
(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求图中的面积．
【答案】(1)见解析(2)40
【分析】（1）根据矩形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，进而得到可得到结论；（2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形即矩形，∴， ∴，
∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，
∴，∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，∴，，
设，则：，
在中，即，解得：，
∴，∴．∴图中的面积为．
【点睛】本题考查翻折变换—折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形面积的计算．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
21．（2022秋·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．
(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意可得，再利用勾股定理，即可求解；
（2）过点作于点M，延长交BC于点N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再设，则，，在和中，根据勾股定理可得，，从而得到，，进而得到，再由勾股定理，即可求解．
(1)解：根据题意得：，∴ ；
(2)解：如图，过点作于点M，延长交BC于点N，
根据题意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，∴DP=4，
∵，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，设，则，，
在中，由勾股定理得，即，
在中，由勾股定理得，即，
由①②联立得：，把代入②得：或（舍去），
∴，，∴，
∴．
【点睛】本题考查图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．
22．（2023秋·山东济南·九年级统考开学考试）在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同学们的发现解决下列问题．(1)如图1，矩形，，，将延对角线翻折得到，点的对应点为点，与交于点，则有______，，且，易得______；(2)在（1）的条件下，若要求线段的长度，令，则______ (用x表示)，在中利用勾股定理列出方程______（不用化简）；
(3)如图2，对矩形进行如下操作：①分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．若，，求线段CQ的长．
【答案】(1)，，(2)，(3)
【分析】（1）由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，，证出，则可得出结论；（2）由勾股定理可得出答案；
（3）连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，
∵将延对角线翻折得到，∴，，
∵，∴；故答案为：，，；
（2）∵，∴，设，则，
在中，，∴．故答案为：，；
（3）连接，如图，
∵四边形是矩形，∴，，由作图知，
由翻折的不变性，知，，，∴，，
又∵，∴，∴，设，则，，
在中，，即，解得，∴线段的长为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，作线段的垂直平分线，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．（2023秋·四川成都·九年级校考开学考试）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
观察发现：（1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°，_____；
问题探究：（2）如图2，若，，，求的长；
拓展延伸：（3），，若F为的三等分点，请求出的长．
【答案】（1）45，（2）（3）9或
【分析】（1）根据折叠重合部分全等得到角度关系求出即可；设长度利用直角三角形勾股定理列方程即可．
（2）由特殊角得到等腰直角三角形，利用其边长特点进行计算即可；
（3）构造矩形，根据两个共边直角三角形设元列方程进行计算即可，但要区分三等分点的位置分别计算．
【详解】由折叠可知，，
，
矩形，，，设，
则，，
，中，
，解得，故；故答案为：；
（2）延长交于K，
由折叠可知，，，，
又，，为等腰直角三角形，
，，
由得为等腰直角三角形，
，，；
（3）过F做的垂线交于点I，连接，
由得四边形为矩形，
中，，中，，，
当点F是靠近D的三等分点时，，，
设，则，，
由得，解得，
当点F是靠近A的三等分点时，，，
设，则，，
由得，解得，．
综上，的长为9或．
【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，包含角度和边长计算，需要根据实际情况寻找直角三角形，利用设元列方程进行求解．通常遇到两个点有垂直折线进行矩形构造来求两点间距离．实际问题中如果遇到特殊角度可利用特殊三角形进行快速求解．
24．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．
(1)若直线与线段交于点．①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______；②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)①；②，理由见解析；(2)或
【分析】（1）①：先据已知条件判断是等边三角形，得到，即可计算的度数；②：连接，根据已知条件证是含角的直角三角形，即可得到，之间的数量关系；（2）分情况讨论，当点在线段上，时，根据已知条件证，得到，再根据勾股定理计算的长，最后根据计算即可；当当点在线段上，时，据已知条件证，得到，再据勾股定理计算的长，后据计算即可．
【详解】（1）①：点正好落在对角线和的交点处，四边形为矩形，
，，是等边三角形，
，，故答案为：
②：如下图，连接 四边形为矩形，点是的中点，点落在矩形内部，延长交边于点，，
，，,，
，，
，即，
∵，，，，即
（2）情况一：如下图，当点在线段上，时．
四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，，
，，，，，
点、、三点共线，，
在和中，，，
，，
情况二：如下图，当点在延长线上，时，此时点、、三点共线．
四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，，
，，，，，
在和中，，，，
， 综上所述，的长为或
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠问题，综合运用知识点、画出图象分析、分类讨论是解题的关键．
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEC是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEF是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：GC’F是直角三角形。
【知识储备】
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
模型1.折痕过对角线模型
【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。
例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A．B．3C．D．6
例2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积．
例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为 .
模型2.折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期末）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使的对应点落在对角线上，折痕为，则的长为______．
例2．（2022·山东德州·八年级统考期末）如图将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则______．
例3．（2023春·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______．
例4．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？
模型3.折痕任意两点模型
【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。
例1．（2022春·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是 ．
例2．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
例3．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点，若，，则的面积为_________．
例4．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______
例5．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．
模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例1．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，．
(1)的长为 ．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．
例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ．
模型5.过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A．B．3C．D．
例2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．
例3．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______
模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例1．（2022·河南·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ）
A．3B．C．3或D．3或
例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．
模型7其他三角形翻折模型
例1．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．
例2．（2022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
例3．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）
A．B．3C．2D．
例4．（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ．
例5．（2023秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则 ．
例6．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的长为 ．
课后专项训练
1．（2023·河北保定·八年级校考期末）如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为（ ）
A．4.8B．4.6C．5D．4.5
4．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为（ ）
A．4B．5C．D．
5．（2023·广东·八年级期末）如图，在矩形中，，，先将矩形沿着直线翻折，使点落在边上的点处，再将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，则线段的长为( )
A．B．C．D．
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC的处，若，，，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·山东济南·七年级期末）如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．
9．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接．将沿翻折后得到，若，则线段的长为______．
10．（2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．
11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为 ．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为 ；
（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为 ．
13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为 ．
14．（2022·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E是AB边上的动点（不与点A，B重合），连接CE，将沿直线CE翻折得到，连接．当点落在边AD上，且点恰好是AD的三等分点时，的周长为 ．
15．（2023春·重庆南岸·九年级校联考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为 ．
16．（2023·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．
17．（2023·四川达州·八年级校考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为
18．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 ．
19．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求图中的面积．
21．（2022秋·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．
(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．
22．（2023秋·山东济南·九年级统考开学考试）在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同学们的发现解决下列问题．(1)如图1，矩形，，，将延对角线翻折得到，点的对应点为点，与交于点，则有______，，且，易得______；(2)在（1）的条件下，若要求线段的长度，令，则______ (用x表示)，在中利用勾股定理列出方程______（不用化简）；
(3)如图2，对矩形进行如下操作：①分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．若，，求线段CQ的长．
23．（2023秋·四川成都·九年级校考开学考试）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
观察发现：（1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°，_____；
问题探究：（2）如图2，若，，，求的长；
拓展延伸：（3），，若F为的三等分点，请求出的长．
24．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．
(1)若直线与线段交于点．①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______；②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长．
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEC是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEF是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：GC’F是直角三角形。
专题02.勾股定理中的翻折模型
翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。
【知识储备】
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
模型1.折痕过对角线模型
【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。
例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．
【详解】解：∵，，∴AD=，，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，
∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，
∴在Rt中，由勾股定理得：，
∴，解得：EF=，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．
例2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积．
【答案】(1)5(2)10
【分析】（1）矩形沿对角线AC对折后，所以，，，可得，再设AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案；
（2）直接根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：
以，，，∴（AAS），∴CF＝AF.
设AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，，即，解得x＝5．所以CF=5；
（2）由（1）得AF=CF=5，根据题意，得．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等，根据全等三角形的性质得出AF=CF是解题的关键．
例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为 .
【答案】（0，）．
【分析】先证明EA=EC（设为x）；根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解决问题．
【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，
∴EA=EC（设为x）；由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，
解得：x=，∴OE=3-=，∴E点的坐标为（0，）．故答案为（0，）．
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
模型2.折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期末）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使的对应点落在对角线上，折痕为，则的长为______．
【答案】.
【分析】先利用勾股定理求出BD，设AF=EF=x，则由折叠的性质有BF=4-x，BE=2，在Rt△BEF中，由FB2=EF2+BE2，列出方程即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
∵AB=4，AD=3，∴BD=，
∵△DFE是由△DFA翻折得到，∴DE=AD=3，BE=2，设AF=EF=x，
在Rt△BEF中，∵FB2=EF2+BE2，∴（4-x）2=x2+22，∴x=，∴AF=，故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，利用法则不变性，设未知数列方程是解题的关键，是中考常考题型．
例2．（2022·山东德州·八年级统考期末）如图将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质，，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据折叠的性质，，
在中，由勾股定理得：，故答案是：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．
例3．（2023春·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，根据翻折的性质，矩形的性质和是的中点，可得：，，，，可证，得；再根据，，可得，，可求出，再根据勾股定理可求出的长．
【详解】解：连接，
则在矩形中，根据翻折的性质和是的中点，可得：
，，，，
在与中， ∴；∴，
∵，，∴，∴∴，
在中，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键．
例4．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据翻折变换的性质得出△BCF≌△BEF和△ADG≌△AEG，从而证出A、E、F以及B、E、G共线，设CF=x，再根据勾股定理得出FG，继而得出的值．
【详解】解：矩形中，由翻折变换的性质得，∴△BCF≌△BEF，△ADG≌△AEG，
∴∠C=∠BEF=∠D=∠AEG=90°，CF=EF，DG=EG；
在四边形BCFE中，∠CBE+∠CFE=180°，∵∠GFE+∠CFE=180°，∴∠CBE=∠GFE，
∵∠CBE+∠EGF=90°，∴∠GFE +∠EGF=90°，∴∠FEG=90°，
∴∠AEG+∠FEG=180°，∠BEF+∠FEG=180°，
∴A、E、F三点共线，B、E、G三点共线，∴翻折变换的性质得CF=EF=EG=DG=x
∴∴∴；故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，四边形的内角和，得到∠FEG=90°是解题的关键
例5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？
【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时.
【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;
（2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;
【详解】解：（1）由题意可得,∴
设,则在中,
∴重叠的面积
（2）由题意可得∴
在中∵∴∴
在中解得： 此时
∴当时，点恰好落在边上 这时.
【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答.
模型3.折痕任意两点模型
【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。
例1．（2022春·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是 ．
【答案】或7
【分析】根据题意，分及两种情况进行讨论求解．其中，当时，，，三点共线，由矩形性质及已知条件，有，，在中，运用勾股定理求得的长，再根据翻折性质，在中，运用勾股定理求得FD的长；当，运用翻折性质，证得是等腰直角三角形，再运用矩形性质，求得FD的长．
【详解】解：分两种情况进行讨论，
①当时，∵矩形中，沿所在直线翻折，得到，
∴，∴，，三点共线．
∵矩形，，∴．∵，点E是的中点，∴．
∴在中，．∵沿所在直线翻折，得到，，
∴，∴．
设，则，∵，∴，∵，∴在中，
，即，解得，∴．
②当时，∵， ∴．
∴沿所在直线翻折，得到，∴．
∵矩形， ∴．∵，∴是等腰直角三角形．
∵，点E是的中点，∴，
∵矩形，，∴，∴．
综上所述，的长为或7．
【点睛】本题考查了矩形的翻折问题，熟练运用翻折性质、勾股定理，是解题的关键．
例2．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
【答案】
【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．
【详解】解：∵是的中点，，，∴，
由折叠的性质知：，设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即：，解得，∴．故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．
例3．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点，若，，则的面积为_________．
【答案】
【分析】根据长方形得到，，根据折叠的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴，,如图所示：
∵将该纸片沿着EF翻折，顶点B与顶点D重合，∴A'D，，
∴，，，∴，∴，
，∴，解得，
∴，∴过作于H，∴，
∴AA'E的面积为，故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
例4．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______
【答案】4
【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F的长，即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°；
∵点C′为AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3；由题意得：C′F＝CF（设为x），则BF＝9−x，
由勾股定理得：x2＝32＋(9−x)2，解得：x＝5，∴BF＝9−5＝4．故答案为4．
【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键．
例5．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．
【答案】
【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，
连接 ，则有四边形 ，四边形相当于四边形沿 边对折得到．
已知，，则 ， ，在 中，
，则 ，
设 ，则 ， ，在 中， ，
即 ，解得 ，故答案为：．
【点睛】考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点．
模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例1．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，．
(1)的长为 ．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．
【答案】(1)20(2)6
【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的长；
（2）首先根据折叠的性质可得，，则，设，则，根据勾股定理得出即可求出．
【详解】（1）解：∵ ∴
∵，∴ 故答案为：；
（2）根据折叠可得：， 则，
设，则，
∵ ∴ 解得：， ∴
【点睛】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质可得，可得，设，表示出，进而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，∴，
∵将沿向上翻折得到，使点在射线上，∴，
设，则，，
在中，，即，解得：即的长为，故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ．
【答案】/
【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出．
【详解】解：如图，∵，∴，∴，∵折叠，∴，∴，
∵中，，∴，∴，
∵，∴，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出是解题的关键．
模型5.过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．
【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，∴，∴，
设，则，，
在中，∵，∴，解得，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
例2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．
【答案】．
【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可．
【详解】如图所示，∵，∴BC==8，
∵CD是上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y，
根据题意，得，，解得x=，y=,∴,故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键．
例3．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______
【答案】
【分析】连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且G为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长．
【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，
由折叠的性质可得：，则为的中垂线，∴，
∵D为中点，∴，∴，
∵，即，∴，即，
在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长．
模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例1．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ）
A．3B．C．3或D．3或
【答案】D
【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x，
则和，，在中，，
当时，，解得：，
当时，，解得：，故选D．
【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键．
例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可求得，由折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得，，即可求得AB．
【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE，
∵，∴，∴，
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，
∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题．
模型7其他三角形翻折模型
例1．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．
【答案】2
【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，
∴S△ABC=，即，∴CH=，由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，
在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=-x，
在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
例2．（2022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
【答案】17或
【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，
由折叠得：，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
例3．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】C
【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积法即可得出答案．
【详解】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
∵AB＝BC＝5，∴，
在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，BH2+()2＝52，解得BH＝，
解得：AG＝3，
在中，CG2+AG2＝AC2，CG2+33＝，解得：CG＝1，
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，∵DE⊥AB，∴∠AGD＝∠AFD＝90°，
∴△AGD≌△AFD(AAS)，∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，
设GD＝x，则DF＝x，BD＝4﹣x，在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2，
x2+22＝（4﹣x）2，解得，∴DE＝CD＝，BD＝BC﹣CD＝，
设点E到BC的距离为d，
解得d＝2．所以点E到BC的距离为2．故选：C．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
例4．（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是 ．
【答案】/1.75
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，在中，勾股定理列出方程即可求得的长，进而求得BD的长．
【详解】把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，
, 设，则，
在中， 即 解得故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
例5．（2023秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则 ．
【答案】1
【分析】连接BE， 由将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，可得BE= 4-AE，然后利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如下图，连接BE，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴BE=EG，
∵，，∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，∵在Rt△ABC中，，，
∴AE2+AB2=BE2即，∴AE=1，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理构造方程求解是解题的关键．
例6．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的长为 ．
【答案】
【分析】首先证明是等腰直角三角形，利用面积法求出，可得，由勾股定理求出，即可求得的长．
【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，，
，，，是等腰直角三角形，
，，
根据勾股定理得：，，
，，，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出、是解决问题的关键．
课后专项训练
1．（2023·河北保定·八年级校考期末）如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点为边的中点，可求CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．
【详解】解：∵将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，∴△AEF≌△DEF，∴AE=DE，∵点为边的中点，∴CD=，设DE=x，CE=6-x，
在Rt△CDE中由勾股定理，即，解得．故选择：C．
【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．
2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点E作于点M，先根据勾股定理求出的长度，再根据翻折的性质得出，继而利用三角形的面积公式求出，再求出,，利用三角形的面积求解即可．
【详解】过点E作于点M，
∴，在直角三角形，，，，∴，
∵把沿着翻折，得到，∴，
∴，∴，即，
解得，∴,，
∵，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键．
3．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为（ ）
A．4.8B．4.6C．5D．4.5
【答案】A
【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，
，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，
根据勾股定理得：，即，解得：x=4.8，∴AP=4.8，故选A．
【点睛】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和长方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
4．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【分析】作于，则，由四边形为矩形，得，由折叠的性质及等量代换得，设，则，由勾股定理解得，所以，，根据矩形的判定可证四边形是矩形，可得出，在由勾股定理得即可计算出．
【详解】解：如图，作于，则，四边形为矩形，
，，，，，
矩形沿折叠，使点与点重合，，，，
，，设，则，
在中，，，解得：，，，，
，四边形是矩形，，，
，在中，，故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化．
5．（2023·广东·八年级期末）如图，在矩形中，，，先将矩形沿着直线翻折，使点落在边上的点处，再将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，则线段的长为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，设，，由勾股定理计算出，进而得到， 在中，根据勾股定理得，故可求解．
【详解】解：由翻折得，．
∵ 四边形是矩形，∴ ，．
在中，根据勾股定理，得，
∴ ．设，则，
由翻折得，，，
在中，由勾股定理，得．∴．解得．故选A．
【点睛】此题主要考查矩形与折叠，解题的关键是熟知折叠的性质、勾股定理的应用．
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题；
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∠BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO，
∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°，
∴BE=2CE根据勾股定理得：EC==，故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．
7．（2023·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC的处，若，，，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质结合矩形的性质得到，，，利用勾股定理求得，过作⊥于，设，在中，再利用勾股定理列式求得，根据梯形面积公式即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴，根据折叠的性质，得：，
，，，，，
在中，，，∴，
∴，过作⊥于，则，
设，则，，在中，，
即，解得：，即，
∴四边形的面积是，故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，梯形的面积公式，解本题的关键是利用勾股定理分别求出，的长．
8．（2023·山东济南·七年级期末）如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使得点与点重合， ∴，
又∵，，，∴，
∵在中，，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理．理解和掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接．将沿翻折后得到，若，则线段的长为______．
【答案】
【分析】与交于点F，设，则，据勾股定理得出，，再由翻折的性质得出，，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：与交于点F，设，则，
∵，，，，
∴即，解得：，
∴，∴，
∵将沿翻折后得到，∴，，
∴，设，则，
∴即，解得： 线段的长为 故答案为：
【点睛】本题考翻折变换，勾股定理知识，解题关键是熟练掌握运用勾股定理进行求解，属中考常考题型．
10．（2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．
【答案】5
【分析】设，由，利用勾股定理可得的长，在中，利用勾股定理列式，即可解得，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，∴，
设，则，∵，
∴，∴，
在中，，∴，解得：，
∴，∴，故答案为：5．
【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理及应用等知识，熟练掌握翻折的性质和矩形性质是解题的关键．
11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为 ．
【答案】6
【分析】由翻折得到，，利用长方形的性质得到，推出，证明，得到，求出，由此求出，继而得到答案．
【详解】解：由翻折得，，
在长方形中，，，，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：6．
【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为 ；
（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为 ．
【答案】 8
【分析】（1）过F点作FM⊥AB于M点，易证明四边形AMFD是矩形，即有AD=FM，DF=AM，根据∠CAB=30°，AB=12，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，即，则，根据翻折的性质有，即可得∠MFE=∠CAB=30°，则在Rt△MFE中，得，问题得解；
（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，根据折叠的性质，可求出AM=AE-ME=5-4=1，即DF=AM=1，，在和中，利用勾股定理有，，即有，可得到，进而可得，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）过F点作FM⊥AB于M点，如图，
在长方形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠DAB=∠D=90°，
∵FM⊥AB，∴∠FMA=∠FME=90°，∴四边形AMFD是矩形，∴AD=FM，DF=AM，
∵∠CAB=30°，AB=12，∴在Rt△ABC中，有2BC=AC，
即，得，解得，，即，
∴，根据翻折的性质有，
∴∠MFE+∠FEM=90°，∠CAB+∠AEF=90°， ∴∠MFE=∠CAB=30°，
∴在Rt△MFE中，有2ME=EF，即，得，
解得EF=8，即ME=4，故答案为：8．
（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，如图，
根据翻折的性质有，，，，，，
∵ME=4，AE=5，∴AM=AE-ME=5-4=1，∴DF=AM=1，
∴，，，∴，
根据折叠的性质有：GH垂直平分EF， ∴FG=GE=EF=4，∵在和中，
利用勾股定理有，，
∴，解得，∴，
∵在中，，故答案为：．
【点睛】本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理以及含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理，学会利用参数构建方程解决问题．
13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为 ．
【答案】
【分析】过点C'作C'H⊥AD于点H，由折叠的性质可得CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，由勾股定理可求C'F＝1，由三角形面积公式可求C'H的长，再由勾股定理可求AC'的长．
【详解】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H，
∵点F为AD的中点，AD＝BC＝ ，∴AF＝DF＝，
∵将△DEC沿DE翻折，∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，
在Rt△DC'F中，C'F＝＝1，∵S△C'DF＝×DF×C'H＝×C'F×C'D，
∴×C'H＝1×3，∴C'H＝，∴FH＝，
∴AH＝AF+FH＝，在Rt△AC'H中，AC'＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求C'H的长是本题的关键．
14．（2022·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E是AB边上的动点（不与点A，B重合），连接CE，将沿直线CE翻折得到，连接．当点落在边AD上，且点恰好是AD的三等分点时，的周长为 ．
【答案】或
【分析】分以下两种情况进行讨论．①当点恰好是AD的三等分点且靠近A点时；②当点恰好是AD的三等分点且靠近D点时，根据折叠性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，．
由题意，可知需分以下两种情况进行讨论．
①当点恰好是AD的三等分点且靠近A点时，如图1所示．
又∵，∴，．由折叠的性质，可知，，
∴．∴．∴．
②当点恰好是AD的三等分点且靠近D点时，如图2所示．
又∵，∴，．由折叠的性质，可知，，
∴．∴．∴．
综上所述，当点落在边AD上，且点恰好是AD的三等分点时，的周长为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查矩形及其折叠问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形性质和折叠的性质，对点位置进行分情况讨论．
15．（2023春·重庆南岸·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为 ．
【答案】
【分析】过点作的垂线段，交于点，根据题意，可得为等腰直角三角形，再根据翻折可得，，，求出，再设，根据勾股定理求出的长，即可得到的长．
【详解】解：如图，过点作的垂线段，交于点，
，，为等腰直角三角形，,
，，设，则根据翻折，，
在中，，可得方程，解得：，
将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，，，
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，根据勾股定理列方程求解问题，翻折问题，正确的作出辅助线，一步一步推论是解题的关键．
16．（2023·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．
【答案】
【分析】由对折先证明再利用勾股定理求解 再证明 从而求解 于是可得答案.
【详解】解： 长方形ABCD中，BC=5，AB=3，
由折叠可得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解是解本题的关键.
17．（2023·四川达州·八年级校考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为
【答案】4cm
【分析】根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到的长．
【详解】解：∵，，
∴，由题意得，，
∴．设，则，
在中，根据勾股定理得，
即，解得，即长为．
【点睛】本题考查的是翻折变换，理解翻折变换的性质是解题的关键，翻折后的图形与原图形是全等的．
18．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为 ．
【答案】3.4
【分析】由折叠的性质得，设，后在中，由勾股定理得出方程，求出x即可．
【详解】解：由折叠的性质得：，设，
在中，由勾股定理得：，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键．
19．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．
(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求图中的面积．
【答案】(1)见解析(2)40
【分析】（1）根据矩形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，进而得到可得到结论；（2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形即矩形，∴， ∴，
∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，
∴，∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，∴，，
设，则：，
在中，即，解得：，
∴，∴．∴图中的面积为．
【点睛】本题考查翻折变换—折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形面积的计算．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
21．（2022秋·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．
(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意可得，再利用勾股定理，即可求解；
（2）过点作于点M，延长交BC于点N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再设，则，，在和中，根据勾股定理可得，，从而得到，，进而得到，再由勾股定理，即可求解．
(1)解：根据题意得：，∴ ；
(2)解：如图，过点作于点M，延长交BC于点N，
根据题意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，∴DP=4，
∵，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，设，则，，
在中，由勾股定理得，即，
在中，由勾股定理得，即，
由①②联立得：，把代入②得：或（舍去），
∴，，∴，
∴．
【点睛】本题考查图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．
22．（2023秋·山东济南·九年级统考开学考试）在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同学们的发现解决下列问题．(1)如图1，矩形，，，将延对角线翻折得到，点的对应点为点，与交于点，则有______，，且，易得______；(2)在（1）的条件下，若要求线段的长度，令，则______ (用x表示)，在中利用勾股定理列出方程______（不用化简）；
(3)如图2，对矩形进行如下操作：①分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．若，，求线段CQ的长．
【答案】(1)，，(2)，(3)
【分析】（1）由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，，证出，则可得出结论；（2）由勾股定理可得出答案；
（3）连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，
∵将延对角线翻折得到，∴，，
∵，∴；故答案为：，，；
（2）∵，∴，设，则，
在中，，∴．故答案为：，；
（3）连接，如图，
∵四边形是矩形，∴，，由作图知，
由翻折的不变性，知，，，∴，，
又∵，∴，∴，设，则，，
在中，，即，解得，∴线段的长为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，作线段的垂直平分线，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．（2023秋·四川成都·九年级校考开学考试）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
观察发现：（1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°，_____；
问题探究：（2）如图2，若，，，求的长；
拓展延伸：（3），，若F为的三等分点，请求出的长．
【答案】（1）45，（2）（3）9或
【分析】（1）根据折叠重合部分全等得到角度关系求出即可；设长度利用直角三角形勾股定理列方程即可．
（2）由特殊角得到等腰直角三角形，利用其边长特点进行计算即可；
（3）构造矩形，根据两个共边直角三角形设元列方程进行计算即可，但要区分三等分点的位置分别计算．
【详解】由折叠可知，，
，
矩形，，，设，
则，，
，中，
，解得，故；故答案为：；
（2）延长交于K，
由折叠可知，，，，
又，，为等腰直角三角形，
，，
由得为等腰直角三角形，
，，；
（3）过F做的垂线交于点I，连接，
由得四边形为矩形，
中，，中，，，
当点F是靠近D的三等分点时，，，
设，则，，
由得，解得，
当点F是靠近A的三等分点时，，，
设，则，，
由得，解得，．
综上，的长为9或．
【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，包含角度和边长计算，需要根据实际情况寻找直角三角形，利用设元列方程进行求解．通常遇到两个点有垂直折线进行矩形构造来求两点间距离．实际问题中如果遇到特殊角度可利用特殊三角形进行快速求解．
24．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．
(1)若直线与线段交于点．①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______；②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)①；②，理由见解析；(2)或
【分析】（1）①：先据已知条件判断是等边三角形，得到，即可计算的度数；②：连接，根据已知条件证是含角的直角三角形，即可得到，之间的数量关系；（2）分情况讨论，当点在线段上，时，根据已知条件证，得到，再根据勾股定理计算的长，最后根据计算即可；当当点在线段上，时，据已知条件证，得到，再据勾股定理计算的长，后据计算即可．
【详解】（1）①：点正好落在对角线和的交点处，四边形为矩形，
，，是等边三角形，
，，故答案为：
②：如下图，连接 四边形为矩形，点是的中点，点落在矩形内部，延长交边于点，，
，，,，
，，
，即，
∵，，，，即
（2）情况一：如下图，当点在线段上，时．
四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，，
，，，，，
点、、三点共线，，
在和中，，，
，，
情况二：如下图，当点在延长线上，时，此时点、、三点共线．
四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，，
，，，，，
在和中，，，，
， 综上所述，的长为或
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠问题，综合运用知识点、画出图象分析、分类讨论是解题的关键．
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEC是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEF是等腰三角形。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
折在矩形内
结论1：≌；
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
折在矩形边上
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外
结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：GC’F是直角三角形。
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