2024年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学二模试卷+

这是一份2024年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学二模试卷+，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）9的相反数是（ ）
A．B．9C．﹣9D．﹣
2．（3分）下面四个英文字母图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约0.000326毫米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.26×104毫米B．0.326×103毫米
C．3.26×10﹣4毫米D．32.6×10﹣5毫米
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（m﹣n）2＝m2﹣n2B．m﹣2＝（m≠0）
C．m2n2＝（mn）4D．（m2）4＝m6
5．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y＝ax在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第24秒时，点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（0，4）B．C．D．（0，﹣4）
9．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，设正方形ADOF的边长为x，则x2+10x＝（ ）
A．12B．16C．20D．24
10．（3分）下列命题中，真命题的个数有（ ）
①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行；
②函数y＝x2+图象上的点P（x，y）一定在第二象限；
③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按顺时针依次排列，若A点坐标为（1，），则D点坐标为（﹣，1）；
④当m＞0时，y＝﹣mx+1与y＝两个函数都是y随着x的增大而减小．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）把多项式mx2﹣my2分解因式的结果是 ．
12．（3分）已知扇形的半径为3cm，面积为3πcm2，则扇形的圆心角是 度，扇形的弧长是 cm（结果保留π）．
13．（3分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
14．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的点，OA⊥BC，点D在优弧上，连接BD，AD．若∠ADB＝30°，，则⊙O的半径为 ．
15．（3分）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度比第一档提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度比第一档提价0.3元，某居民家12月份用电165度，则该居民12月份需要交电费 元；如果该居民12月份交电费222元，则该居民家12月份用电 度．
16．（3分）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣（π﹣3）0﹣；
（2）化简：．
18．（7分）五一期间，刘老师带领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量．如图，他们先在地面上的A处测得桑树树顶C点的仰角为34°，然后向桑树的正下方前进6米后到达B处，测得桑树树顶C点的仰角为45°，已知测角仪AE和BF的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的高度．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
19．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类 人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，5，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，10，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值．
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）该校七八年级共960名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
20．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，连接BE，ED，DF，FB．
（1）小明添加了一个条件OE＝OD，则可证明四边形BEDF是矩形，请帮他完成证明．
（2）在（1）条件下，且∠AOD＝60°，AE＝2OE＝4，求▱ABCD的面积．
21．（7分）一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标是（1，6），点B的纵坐标是﹣2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．
22．（9分）“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》（四书）及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元．
（1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元．
（2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”，《论语》的单价打8折，《孟子》的单价优惠4元，如果此次学校购书的总费用不超过1500元，那么有几种购买方案？
23．（10分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，以CD为直径的⊙O交BC于点E，作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的长．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
2024年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）9的相反数是（ ）
A．B．9C．﹣9D．﹣
【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：根据相反数的定义，得9的相反数是﹣9．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
注意：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）下面四个英文字母图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
3．（3分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约0.000326毫米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.26×104毫米B．0.326×103毫米
C．3.26×10﹣4毫米D．32.6×10﹣5毫米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000326毫米＝3.26×10﹣4毫米．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（m﹣n）2＝m2﹣n2B．m﹣2＝（m≠0）
C．m2n2＝（mn）4D．（m2）4＝m6
【分析】分别根据完全平方公式、负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方逐一进行计算即可．
【解答】解：A、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，错误；
B、正确；
C、m2•n2＝（mn）2，错误；
D、（m2）4＝m8，错误；
故选：B．
【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方等考点的运算．
5．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上面看到的图形是几何体的俯视图即可解答．
【解答】解：从上面看，底层是一行三个相邻的正方形，上层的右边是一个正方形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了组合体的三视图，掌握从上面看到的图形是几何体的俯视图成为解题的关键．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y＝ax在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据二次函数图象确定a，b，c的符号，再分别确定该反比例函数和正比例函数图象所在的位置．
【解答】解：由二次函数的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0．
∴bc＜0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，正比例函数y＝ax的图象过一、三象限，
故选：B．
【点评】此题考查了各种函数的系数对函数图象影响问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
7．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，树状图如下，
由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是＝，
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
8．（3分）将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第24秒时，点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（0，4）B．C．D．（0，﹣4）
【分析】根据题意可得出每旋转六次点A的对应点循环出现，再结合图形旋转的性质即可解决问题．
【解答】解：因为360°÷60°＝6，
所以每旋转六次，点A的对应点循环出现．
又因为24÷6＝4，
所以第24秒，点A的对应点与点A重合．
过点A作x轴的垂线，垂足为M，
在Rt△OAM中，
sin∠AOM＝，
所以AM＝，
同理可得，OM＝，
所以点A的坐标为（），
即第24秒时，点A的对应点A′的坐标为（）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转、含30度角的直角三角形及勾股定理，熟知图形旋转的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键．
9．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，设正方形ADOF的边长为x，则x2+10x＝（ ）
A．12B．16C．20D．24
【分析】由全等三角形的性质得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，即可解决问题．
【解答】解：由全等三角形的性质得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得：x2+10x＝24，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10．（3分）下列命题中，真命题的个数有（ ）
①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行；
②函数y＝x2+图象上的点P（x，y）一定在第二象限；
③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按顺时针依次排列，若A点坐标为（1，），则D点坐标为（﹣，1）；
④当m＞0时，y＝﹣mx+1与y＝两个函数都是y随着x的增大而减小．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平移，旋转的性质，二次根式有意义的条件，坐标与图形性质，一次函数，反比例函数的性质等逐项判断即可．
【解答】解：一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定相等，但不一定平行，故①是假命题；
函数y＝x2+中，x＜0，y＞0，若点P（x，y）在函数y＝x2+图象上，则P一定在第二象限；故②是真命题；
已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按顺时针依次排列，若A点坐标为（1，），则D点坐标为（﹣1，），故③是假命题；
当m＞0时，y＝﹣mx+1是y随着x的增大而减小，y＝在每个象限内y随着x的增大而减小，故④是假命题；
∴真命题有1个；
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，涉及平移，旋转的性质，二次根式有意义的条件，坐标与图形性质，一次函数，反比例函数的性质等，解题的关键是掌握相关的概念及性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）把多项式mx2﹣my2分解因式的结果是 m（x+y）（x﹣y） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（x2﹣y2）
＝m（x+y）（x﹣y）．
故答案为：m（x+y）（x﹣y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）已知扇形的半径为3cm，面积为3πcm2，则扇形的圆心角是 120 度，扇形的弧长是 2π cm（结果保留π）．
【分析】根据扇形的面积公式可得扇形的圆心角，进而利用弧长公式即可求得扇形的弧长．
【解答】解：设扇形的圆心角为n．
＝3π，
解得n＝120；
扇形的弧长＝＝2πcm．
【点评】考查了扇形的弧长公式和面积公式．
13．（3分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 460 只．
【分析】用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可．
【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×＝460（只）．
故答案为：460．
【点评】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．
14．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的点，OA⊥BC，点D在优弧上，连接BD，AD．若∠ADB＝30°，，则⊙O的半径为 2 ．
【分析】根据垂径定理求出BE，根据正弦的定义求出OB．
【解答】解：连接OB，
∵OA⊥BC，
∴BE＝BC＝，
∵∠ADB＝30°，
∴由圆周角定理得∠AOB＝60°，
∴OB＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理，关键是圆周角定理的应用．
15．（3分）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度比第一档提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度比第一档提价0.3元，某居民家12月份用电165度，则该居民12月份需要交电费 99 元；如果该居民12月份交电费222元，则该居民家12月份用电 360 度．
【分析】由165＜240，利用该居民12月份需要交电费的金额＝0.6×该居民12月份的用电量，可求出该居民12月份需要交电费的金额；设该居民家12月份用电x度，求出用电量为240度及400度时需交电费金额，由144＜222＜248，可得出240＜x＜400，再根据该居民12月份交电费222元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵165＜240，
∴该居民12月份需要交电费0.6×165＝99（元）；
设该居民家12月份用电x度，
∵0.6×240＝144（元），144+（0.6+0.05）×（400﹣240）＝248（元），144＜222＜248，
∴240＜x＜400．
根据题意得：144+（0.6+0.05）（x﹣240）＝222，
解得：x＝360，
∴该居民家12月份用电360度．
故答案为：99，360．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16．（3分）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝ 10 ．
【分析】作EH⊥y轴于点F，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，利用折叠的性质得∠DCH＝∠BCE，再证明△BCE≌△OCD，则面积相等，根据反比例函数系数k的几何意义得k1﹣k2的值．
【解答】解：作EH⊥y轴于点H，
则四边形BCHE、AEHO都为矩形，
∵∠ECF＝45°，
∴∠OCD+∠OCF＝45°，
∵∠DOC+∠OCF＝45°，
∴∠BCE＝∠OCD，
∵BC＝OC，∠B＝∠COD，
∴△BCE≌△OCD（ASA），
∴S△BCE＝S△COD＝5，
∴S△CEH＝5，
S矩形BCHE＝10，
∴根据反比例函数系数k的几何意义得：
k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，正方形的性质和全等三角形的判定和性质，利用折叠和全等进行转化是关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣（π﹣3）0﹣；
（2）化简：．
【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣1﹣1﹣2＝﹣2；
（2）原式＝••（a+1）（a﹣1）＝（a﹣2）（a+1）＝a2﹣a﹣2．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（7分）五一期间，刘老师带领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量．如图，他们先在地面上的A处测得桑树树顶C点的仰角为34°，然后向桑树的正下方前进6米后到达B处，测得桑树树顶C点的仰角为45°，已知测角仪AE和BF的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的高度．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【分析】根据题意可得：EM⊥CD，DM＝BF＝AE＝1米，AB＝EF＝6米，然后设FM＝x米，则EM＝（x+6）米，分别在Rt△CME和Rt△CMF中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：EM⊥CD，DM＝BF＝AE＝1米，AB＝EF＝6米，
设FM＝x米，
∴EM＝EF+FM＝（x+6）米，
在Rt△CME中，∠CEM＝34°，
∴CM＝EM•tan34°＝（x+6）tan34°（米），
在Rt△CMF中，∠CFM＝45°，
∴CM＝MF•tan45°＝x米，
∴x＝（x+6）tan34°，
解得：x＝，
∴CM＝米，
∴CD＝CM+DM＝+1＝米，
∴桑树的高度为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类 人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，5，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，10，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值．
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）该校七八年级共960名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据统计表中的数据，可以得到该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，理由只要合理即可；
（3）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少，求出占比即可估算．
【解答】解：八年级的平均数为：a＝（2×5+4×6+4×7+5×8+2×9+3×10）÷20＝7.5，
七年级分数7出现的次数最多，故b＝7，
八年级的中位数为：c＝＝7.5．
（2）八年级掌握垃圾分类知识较好，理由如下：
从表格来看平均数一样，通过分析数据的众数和中位数，八年级的数据均大于七年级的数据，故八年级掌握知识较好．
（3）由数据可知，七年级有17人及格，八年级有18人及格，
960×＝840（名）．
答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是840名．
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，连接BE，ED，DF，FB．
（1）小明添加了一个条件OE＝OD，则可证明四边形BEDF是矩形，请帮他完成证明．
（2）在（1）条件下，且∠AOD＝60°，AE＝2OE＝4，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）证四边形BEDF为平行四边形，再证EF＝BD，即可得出结论；
（2）过点D作DH⊥AC于点H，由含30°角的直角三角形的性质得OH＝OD＝1，再由勾股定理得DH＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CE，
即EO＝FO，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵OE＝OD，
∴EF＝BD，
∴平行四边形BEDF是矩形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
则∠DHO＝90°，
∵AE＝2OE＝4，
∴OE＝2，
∴AO＝AE+OE＝4+2＝6，OD＝OE＝2，
∵∠AOD＝60°，
∴∠ODH＝90°﹣∠AOD＝30°，
∴OH＝OD＝1，
∴DH＝＝＝，
∴S平行四边形ABCD＝4S△AOD＝4××6×＝12．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（7分）一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标是（1，6），点B的纵坐标是﹣2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象直接写出不等式解集即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵点B的纵坐标是﹣2，且点在反比例函数图象上，
∴﹣2＝，解得x＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣2），
∵点A（1，6）、B（﹣3，﹣2）在一次函数图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4．
（2）根据函数图象及交点坐标，y1＞y2时，x的取值范围为：x＞1或﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22．（9分）“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》（四书）及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元．
（1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元．
（2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”，《论语》的单价打8折，《孟子》的单价优惠4元，如果此次学校购书的总费用不超过1500元，那么有几种购买方案？
【分析】（1）设《论语》的单价是x元，《孟子》的单价是y元，根据“购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m本《论语》，则购进（50﹣m）本《孟子》，根据“购买《论语》不少于38本，且此次学校购书的总费用不超过1500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有3种购买方案．
【解答】解：（1）设《论语》的单价是x元，《孟子》的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：《论语》的单价是40元，《孟子》的单价是25元；
（2）设购进m本《论语》，则购进（50﹣m）本《孟子》，
根据题意得：，
解得：38≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以为38，39，40，
∴共有3种购买方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（10分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，以CD为直径的⊙O交BC于点E，作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的长．
【分析】（1）连接OE，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半的性质，平行线的判定与性质得到OE∥BD，则OE⊥EF，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理求得DE，利用勾股定理求得CE，利用等腰三角形的三线合一的性质得到BE，利用三角形的面积公式得到DE•BE＝BD•EF，将已知条件代入运算即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，
∴CD＝BD＝AB，
∴∠DCB＝∠B．
∵OC＝OE，
∴∠DCB＝∠OEC，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥BD．
∵EF⊥AB，
∴OE⊥EF，
∵OE为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°．
在Rt△CDE中，
∵sin∠DCB＝，
∴DE＝CD＝3．
∴CE＝．
∵DC＝DB，DE⊥BC，
∴BE＝CE＝6．
∵DE•BE＝BD•EF，
∴DE•BE＝BD•EF，
∴3×6＝9EF，
∴EF＝2．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的斜边上的直线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；
（2）先求出点B坐标，可得OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB＝45°，再分点D在点C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解；
（3）在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，由“SAS”可证△OCE≌△OCA，可得∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，由面积法可求EF的长，由勾股定理可求CF的长，可求tan∠ECA＝tan∠PAB＝，分点P在AB上方和下方两种情况讨论，求出AP解析式，联立方程组可求点P坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，
∴点B（﹣3，0），
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图1，当点D在点C上方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝30°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝×3＝，
∴CD＝3﹣；
若点D在点C下方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝60°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝3，
∴DC＝3﹣3，
综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；
（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，
∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝＝，
∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCE≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，
∴∠ECA＝2∠ACO，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠PAB＝∠ECA，
∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，
∴EF＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴tan∠ECA＝＝，
如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，
∵∠PAB＝∠ECA，
∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，
∴ON＝，
∴点N（0，﹣），
又∵点A（1，0），
∴直线AP解析式为：y＝x﹣，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，﹣），
当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，），
综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，求出tan∠ECA＝tan∠PAB＝是本题的关键．使用寿命
x＜1000
1000≤x＜1600
1600≤x＜2200
2200≤x＜2800
x≥2800
灯泡只数
5
10
12
17
6
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
b
7
1.64
八年级
a
8
c
1.57
使用寿命
x＜1000
1000≤x＜1600
1600≤x＜2200
2200≤x＜2800
x≥2800
灯泡只数
5
10
12
17
6
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
b
7
1.64
八年级
a
8
c
1.57