80-2024年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷

这是一份80-2024年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．﹣
2．如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（ ）
A．75°B．105°C．115°D．130°
3．下列运算正确的是（ ）
A．（3x）3＝9x3B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4D．3a+4b＝7ab
4．如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．x•＝864B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864D．x（30﹣x）＝864
6．为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表：
根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是1500
B．这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是30%
C．在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是95°
D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12
7．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26°B．27°C．28°D．30°
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y＝（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（ ）
B．
C．D．
10．下列说法中，正确的个数有（ ）
①二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（2，1），（﹣4，1）两点，m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0（0＜k≤1）的两个实数根，且m＜n，则﹣4＜m＜n＜2恒成立．
②在半径为r的⊙O中，弦AB，CD互相垂直于点P，当OP＝m时，则AB2+CD2＝8r2﹣4m2．
③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，5），点C是反比例函数y＝（k≠0）的图象上一点，则k＝±30．
④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是4．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分。本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平，地区生产总值完成3802亿元，数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
12．如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
13．如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝ 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
14．关于x的不等式﹣1＞的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x﹣1≤x+m的解大，则m的取值范围是 ．
15．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
16．如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：tan30°+（3﹣π）0+|1﹣|﹣；（2）解方程：+5＝．
18．（7分）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状．
19．（10分）近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小．研究表明：这与学生长期不正确的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系．呼和浩特市某校为了解九年级学生右眼视力的情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级840名学生的右眼视力情况，制定以下两种抽样方案：
①从九年级的一个班级中随机抽取42名学生（九年级每个班级至少有50名学生）；
②从九年级中随机抽取42名学生．
你认为更合理的方案是 （填“①”或“②”）
该校用合理的方案抽取了42名学生进行右眼视力检查，检查结果如下：
4.5 4.8 4.9 4.4 4.5 4.2 5.0
4.0 4.2 4.3 5.0 4.2 4.4 4.9
4.2 4.4 4.5 4.6 4.8 4.9 4.1
5.0 4.9 4.8 4.7 4.5 4.8 5.0
4.9 4.5 4.3 4.9 4.3 5.0 4.9
4.8 4.9 5.0 4.1 4.9 4.3 4.2
整理上面的数据得到如下表格：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）计算该样本的平均数；（结果精确到0.1，参考数据：4.0×1+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3＝63.6）
（3）若该校九年级小明同学右眼视力为4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况；
（4）根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数．
20．（7分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BE＝AB，试管倾斜角∠ABG为12°．
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
21．（8分）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为（a﹣1）m的正方形试验田中．
（1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
（2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知变量x，y2的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
写出y2与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y2的大致图象；
（3）一次函数y1的图象与函数y1的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，CE．若△PCE的面积为15，求点P的坐标．
23．（10分）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CD＝CG，BE＝3CE＝3．①求DE的长；②求⊙O的半径．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，m）．
（1）若m＝1，则b＝ ，通过配方可以将其化成顶点式为 ；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0且2x1+2x2≤5，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若b＝0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y＝kx+交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接AF，CF．求证：CF2＝CE．
2024年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．﹣
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（ ）
A．75°B．105°C．115°D．130°
【分析】利用“同位角相等，两直线平行”得l1∥l2，再利用“两直线平行，同位角相等”得∠5＝∠3，最后由∠5和∠4互为补角，从而求出∠4得度数．
【解答】解：
∵∠1＝∠2＝130°，
∴l1∥l2，
∴∠5＝∠3＝75°，
∵∠5+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠5
＝180°﹣75°
＝105°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质、余角和补角，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（3x）3＝9x3B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4D．3a+4b＝7ab
【分析】根据积的乘方，完全平方公式以及合并同类项的方法逐个进行计算后即可选出正确答案．
【解答】解：（3x）3＝33x3＝27x3，故A不正确；
（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故B不正确；
（﹣2ab2）2＝（﹣2）2a2（b2）2＝4a2b4，故C正确；
3a+4b中3a和4b不能合并同类项，故D不正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方公式，积的乘方等知识点，熟练掌握完全平方公式和积的乘方的运算法则是解决问题的关键．
4．如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图的定义看几个选项中的图形哪个符合要求即可选出正确答案．
【解答】解：根据主视图的定义可以知道此几何体的主视图为：
故选：A．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握主视图的定义是解决问题的关键．
5．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．x•＝864B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864D．x（30﹣x）＝864
【分析】根据长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据面积得出x（60﹣x）＝864．
【解答】解：若设长为x步，则宽为（60﹣x）步，
∴x（60﹣x）＝864，
故选：C．
【点评】本题考查了有实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
6．为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表：
根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是1500
B．这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是30%
C．在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是95°
D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12
【分析】根据统计图表中的数据对选项中的每个结论进行判断即可找出正确答案．
【解答】解：本次调查的样本容量是150，故A不正确；
a＝150﹣15﹣32﹣40﹣33＝30，30÷150＝20%，故B不正确；
＝96°，故C不正确；
以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，11≤x＜13组的实际数据为12，这组的数量最多为40户，所以12是这组数据的众数，即这150户家庭月平均用水量的众数是12，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查统计的应用，熟练掌握利用统计图表进行数据分析的方法是解决问题的关键．
7．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26°B．27°C．28°D．30°
【分析】根据正五边形、正方形的性质以及圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OG，OF，OD，OE，DF，连接AC，则AC是正五边形CEFGH，正方形ABCD的对称轴，
∴∠AOD＝＝90°，∠FOG＝∠EOF＝＝72°，
∵AC是正五边形CEFGH的对称轴，
∴∠AOG＝∠AOF＝∠FOG＝36°，
∴∠DOF＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DOE＝72°﹣54°＝18°，
∴∠AMF＝∠MFD+∠MDF
＝∠DOE+∠AOF
＝×18°+×36°
＝9°+18°
＝27°．
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正五边形、正方形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y＝（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数图象与系数关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝ax﹣b图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∵反比例函数y＝（c≠0）的图象在第二四象限，
∴c＞0，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交点在正半轴，选项D符合．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键．
9．如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先证明△ADE∽△ABD，得出∠ADE＝∠ABD＝30°，再证明△ADE≌△FDE（SAS），得出EF＝AE＝BE＝1，再根据三角形面积公式得出△BDE的面积．
【解答】解：过点A作AG⊥BD于点G，
∵∠ABD＝30°，∠A＝105°，
∴∠ADB＝45°，
设AE＝BE＝a，则AB＝2a，
∴，BG＝，
∴DG＝AG＝a，
∴AD＝，
∵，，
∴，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴∠ADE＝∠ABD＝30°，
∵∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°＝∠ADE+∠EDF+∠CDF，
∴90°＝30°+∠EDF+30°，
∴∠EDF＝30°＝∠ADE，
∵AD＝CD＝DF，DE＝DE，
∴△ADE≌△FDE（SAS），
∴EF＝AE＝BE＝1，
过点E作EH⊥BD于点H，
∴EH＝，BD＝，
∴△BED的面积＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，三角形的面积等，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10．下列说法中，正确的个数有（ ）
①二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（2，1），（﹣4，1）两点，m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0（0＜k≤1）的两个实数根，且m＜n，则﹣4＜m＜n＜2恒成立．
②在半径为r的⊙O中，弦AB，CD互相垂直于点P，当OP＝m时，则AB2+CD2＝8r2﹣4m2．
③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，5），点C是反比例函数y＝（k≠0）的图象上一点，则k＝±30．
④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是4．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据题意，画出函数图象，得出﹣4≤m＜n≤2；②根据题意，画图，利用勾股定理得出关系式；③在坐标系中画出图形，求出C坐标，得出k的值；④利用韦达定理得出长+宽＝2（a+1），长×宽＝a2﹣1，再根据题意求出a的值，从而得出对角线长度．
【解答】解：①
由图象得：∵0＜k≤1，
∴当k＝1时，m＝﹣4，n＝2，
∴①错误；
②
过点O作OM⊥AB于点M，过点O作ON⊥CD于点N，连接OA，OC，
∴四边形AMPN是矩形，
∵OA2＝AM2+OM2，OC2＝CN2+ON2，
∴，，
∴，
∵OP2＝OM2+ON2＝m2，
∴，
∴AB2+CD2＝8r2﹣4m2，
∴②正确；
③
∴C（5，6）或C（﹣5，4），
∴k＝30或﹣20，
∴③错误；
④∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根，
∴长+宽＝2（a+1），长×宽＝a2﹣1，
∵矩形的周长值与面积值相等，
∴4（a+1）＝a2﹣1，
∴（a﹣5）（a+1）＝0，
∴a＝5或a＝﹣1，
Δ＝[﹣2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）＝8a+8＞0，
∴a＞﹣1，
∵对角线2＝长2+宽2＝（长+宽）2﹣2×长×宽＝4（a+1）2﹣2（a2﹣1）＝2a2+8a+6，
当a＝5时，对角线2＝96，
∴对角线长是，
∴④正确；
综上所述：②④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的特征，根与系数的关系，圆的有关概念，等腰直角三角形，一元二次方程等，综合掌握知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分。本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平，地区生产总值完成3802亿元，数据“3802亿”用科学记数法表示为 3.802×1011 ．
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
【解答】解：3802亿＝3802×108＝3.802×1011，
故答案为：3.802×1011．
【点评】本题考查科学记数法，掌握其表示方法是解题的关键．
12．如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
【分析】将“唐僧”记为“A”，将“孙悟空”记为“B”，将“猪八戒”记为“C”，将“沙悟净”记为“D”，根据题意列出树状图，用两次取到相同图案的卡片结果除以等可能结果的总数即可解答．
【解答】解：将“唐僧”记为“A”，将“孙悟空”记为“B”，将“猪八戒”记为“C”，将“沙悟净”记为“D”，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次取到相同图案的卡片结果有（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）4种，
所以两次取到相同图案的卡片的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是列表法与树状图法求概率，解决本题的关键是正确列出树状图．
13．如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝ 40 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 2 cm．
【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理计算∠NMC，再根据“弧CN的长度等于圆锥底的周长”及弧长公式和圆的周长公式计算这个圆锥的底面圆半径即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝70°，
∵∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝20°，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝20°，
∵点M为BC的中点，
∴BM＝MC，
∵以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，
∴MN＝MC，
∴BM＝MC＝MN，
∴点B、C、N在以点M为圆心的圆上，
∴∠NMC＝2∠DBC＝40°，
∵MC＝BC＝18cm，
∴弧CN的长度为2π•MC•＝4π，
设这个圆锥的底面圆半径为r cm，
则2πr＝4π，
解得r＝2，
∴这个圆锥的底面圆半径为2cm．
故答案为：40，2．
【点评】本题考查圆锥的计算、展开图折叠成几何体、等腰三角形的性质、圆周角定理，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理及弧长公式、圆的周长公式是解题的关键．
14．关于x的不等式﹣1＞的解集是 x＞8 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x﹣1≤x+m的解大，则m的取值范围是 m≤7 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
2（2x﹣1）﹣6＞3x，
4x﹣2﹣6＞3x，
x＞8；
2x﹣1≤x+m，
x≤m+1，
∴m+1≤8，
∴m≤7，
故答案为：x＞8；m≤7．
【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式的解集，一元一次不等式的整数解等知识点，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．
15．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 55 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 1260 元．
【分析】根据题意建立关于大号“龙辰辰”和小号“龙辰辰”单价的方程即可求出大号“龙辰辰”的单价，再设大号“龙辰辰”的个数为m，建立关于m的不等式即可解决问题．
【解答】解：设小号“龙辰辰”的单价为x元，则大号“龙辰辰”的单价为（x+15）元，
根据题意得，
，
解得x＝40，
经检验x＝40是原方程的解，且符合题意，
所以x+15＝55，
即大号“龙辰辰”的单价为55元．
设该网店购进大号“龙辰辰”m个，则购进小号“龙辰辰”（60﹣m）个，
由题知，
m≤，
解得m≤20．
因为小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%，
所以大号“龙辰辰”的售价为60×（1+30%）＝78（元）．
令该网店获得的利润记为w，
则w＝（78﹣55）m+（60﹣40）（60﹣m）＝3m+1200，
又因为m≤20，
所以当m＝20时，w取得最大值为1260，
所以该网店所获最大利润为1260元．
故答案为：55，1260．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，能根据题意建立分式方程是解题的关键．
16．如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝ ．
【分析】先证明△AEF≌△AED（SAS），再通过角度计算得出∠AEM是等腰直角三角形，求出EF的长度，最后利用勾股定理和射影定理，得出DG的长度．
【解答】解：设∠CBE＝x，则∠ABF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠AFE＝90°+x，∠BAF＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，
∵AF＝AB＝AD，AE＝AE，∠EAF＝∠EAD＝45°﹣x，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴∠ADE＝∠AFE＝90°+x，
∴∠CDE＝x，
∴∠DEB＝90°，
∴∠AED＝∠AEB＝45°，
过点A作AM⊥BE于点M，过点D作DN⊥AE于点N，
∴∠EAM＝45°﹣x+x＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∵AM＝，
∴EM＝AM＝7，
∴EF＝6，
∴DE＝EF＝6，
∴DN＝，
∴AN＝，
由射影定理得：NG＝，
∴DG＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：tan30°+（3﹣π）0+|1﹣|﹣；
（2）解方程：+5＝．
【分析】（1）先化简三角函数，零指数幂，绝对值，二次根式，再根据实数的运算法则计算；
（2）按照分式方程的计算方法进行计算．
【解答】解：（1）tan30°+（3﹣π）0+|1﹣|﹣
＝+1+（）﹣
＝1+1+
＝1﹣；
（2）+5＝，
3+5（2x﹣2）＝2x，
3+10x﹣10＝2x，
10x﹣2x＝10﹣3，
8x＝7，
x＝，
经检验，x＝是原方程的解．
【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，掌握三角函数，零指数幂，绝对值，二次根式是解题的关键．
18．（7分）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状．
【分析】（1）利用全等三角形可证AB＝FD，根据一组对边平行且相等可得四边形ABDF是平行四边形；
（2）先证明四边形BGED是平行四边形，根据邻边相等得到四边形BGED是菱形，再利用直角可得四边形BGED是正方形．
【解答】（1）证明：∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB＝∠BAE，
∵AB∥DF．
∴∠BAE＝∠DFE，
∴∠CAB＝∠EFD，
在△CAB和△EFD中，
，
∴△CAB≌△EFD（ASA），
∴AB＝FD，又AB∥FD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）解：四边形BGED是正方形，理由如下：
由（1）可知，BC＝DE，四边形ABDF是平行四边形，
∴BD＝AF，
∵AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE，
∴BC＝BG，
∵BC＝AF，
∴BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90°
∵BG∥DE，BG＝DE，
∴四边形BGED是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形BGED是菱形，
∵∠BGE＝∠GED＝90°，
∴四边形BGED是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定是关键．
19．（10分）近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小．研究表明：这与学生长期不正确的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系．呼和浩特市某校为了解九年级学生右眼视力的情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级840名学生的右眼视力情况，制定以下两种抽样方案：
①从九年级的一个班级中随机抽取42名学生（九年级每个班级至少有50名学生）；
②从九年级中随机抽取42名学生．
你认为更合理的方案是 ② （填“①”或“②”）
该校用合理的方案抽取了42名学生进行右眼视力检查，检查结果如下：
4.5 4.8 4.9 4.4 4.5 4.2 5.0
4.0 4.2 4.3 5.0 4.2 4.4 4.9
4.2 4.4 4.5 4.6 4.8 4.9 4.1
5.0 4.9 4.8 4.7 4.5 4.8 5.0
4.9 4.5 4.3 4.9 4.3 5.0 4.9
4.8 4.9 5.0 4.1 4.9 4.3 4.2
整理上面的数据得到如下表格：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ 5 ，n＝ 9 ；
（2）计算该样本的平均数；（结果精确到0.1，参考数据：4.0×1+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3＝63.6）
（3）若该校九年级小明同学右眼视力为4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况；
（4）根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数．
【分析】根据两种方案进行判断即可；
（1）根据抽取的42名学生进行右眼视力检查结果进行计算即可；
（2）利用加权平均数公式进行计算即可；
（3）求出中位数，再根据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况；
（4）根据表格数据，即可估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数．
【解答】解：更合理的方案是②，
故答案为：②；
（1）根据抽取的42名学生进行右眼视力检查结果可得：m＝5，n＝9，
故答案为：5，9；
（2）该样本的平均数＝×（4.0×1+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3+4.5×5+4.6×1+4.7×1+4.8×5+4.9×9+5.0×6）
＝×（63.6+129.9）
＝×193.5
≈4.6，
答：该样本的平均数约为4.6；
（3）∵这42个数据从小到大的顺序排列后，其中第21个数是4.6，第22个数是4.7，
∴这组数据的中位数是4.65，
∵小明同学右眼视力为4.5，
∴根据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况偏低；
（4）该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数＝840×＝420（人），
答：该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数为420人．
【点评】本题考查了中位数，加权平均数，用样本估计总体，近似数和有效数字，全面调查与抽样调查，解决本题的关键是掌握中位数，加权平均数的计算方法．
20．（7分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BE＝AB，试管倾斜角∠ABG为12°．
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【分析】（1）根据cs12°，得出BG的长度；
（2）延长GB，NM交于点H，得出四边形DNHG是矩形，通过计算得出GH的长度，从而得出DN的长度．
【解答】解：（1）∵AB＝24cm，BE＝AB，
∴BE＝＝8，
∵，
∴BG＝8cs12°（cm）；
（2）∵sin12°＝，
∴EG＝8sin12°（cm），
延长GB，NM交于点H，
∴四边形DNHG是矩形，
∴NH＝DG＝DE﹣EG＝28﹣8sin12°（cm），
∴HM＝NH﹣MN＝20﹣8sin12°（cm），
∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°，
∴∠FBG＝135°，
∴∠MBH＝45°，
∴BH＝HM＝20﹣8sin12°（cm），
∴DN＝GH＝BG+BH＝8cs12°+20﹣8sin12°（cm）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握三角函数是解题的关键．
21．（8分）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为（a﹣1）m的正方形试验田中．
（1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
（2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【分析】（1）设种植“丰收2号”小麦的产粮量为x kg，根据题意列出方程解答即可；
（2）先比较出，再计算倍数即可．
【解答】解：（1）设种植“丰收2号”小麦的产粮量为x kg，则“丰收1号”小麦的产粮量为（1.2x﹣100）kg，根据题意得：
x+1.2x﹣100＝1000，
解得：x＝500，
∴“丰收1号”的产粮量：1000﹣500＝500（kg）．
答：种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量都为500kg；
（2）“丰收1号”的单位面积产量为：，
“丰收2号”的单位面积产量为：，
∵（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2＞0，
∴，
∴“丰收2号”小麦单位面积产量高，
∴
＝
＝，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
答：“丰收2号”小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
【点评】本题考查了分式的混合运算、一元一次方程的应用，熟练掌握分式的运算法则是关键．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知变量x，y2的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
写出y2与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y2的大致图象；
（3）一次函数y1的图象与函数y1的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，CE．若△PCE的面积为15，求点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据表格数据可知是反比例函数，求出反比例函数解析式画出图象即可；
（3）先求出点E坐标，根据反比例函数k值意义得到S△POE＝S梯形PMNE＝，设点P（m，），根据面积列出方程求出m值即可得到点P坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，
，解得，
∴一次函数解析式为：y1＝；
（2）根据表格数据可知y2是反比例函数，k＝4，
∴y2＝，
函数图象如下：
（3）联立方程组，解得，，
∴C（﹣4，﹣1），
∵点C关于坐标原点的对称点为点E，
∴E（4，1），
如图，连接OP，作PM⊥x轴，EN⊥x轴，
∵△PCE的面积为15，
∴S△POE＝，
∵点P、E在反比例函数图象上，
∴S△POE＝S梯形PMNE＝，
设点P（m，），
∴＝．
解得m＝1或﹣16（舍去），
∴P（1，4）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、关于原点对称的点的坐标，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是关键．
23．（10分）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CD＝CG，BE＝3CE＝3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，证明∠ADF＝90°，即可得出DF是⊙O的切线；
（2）①连接BD，证明△BCE∽△DBE，得出DE的长；②通过勾股定理得出BG的长，再利用△ADG∽△CBG，得出AG的长，从而得出直径AB的长度，由此得出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ADF＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，
∴2∠ADF＝∠AOD，
设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝，
∴∠ODF＝∠ODA+∠ADF＝90°﹣x+x＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①连接BD，
∵BE＝3CE＝3，
∴CE＝1，
∵BE是切线，
∴∠ABE＝90°＝∠CBE+∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBE＝∠BDC，
∵∠E＝∠E，
∴△BCE∽△DBE，
∴，
∴，
∴DE＝9；
②∵DE＝9，
∵CD＝DE﹣CE＝8，
∵CD＝CG，
∴CG＝3，DG＝5，
∴GE＝CG+CE＝4，
在Rt△BGE中，BG＝，
∵∠BCG＝∠DAG，∠BGC＝∠DGA，
∴△ADG∽△CBG，
∴，
∴，
∴AG＝，
∴AB＝AG+BG＝，
∴⊙O的半径＝．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，m）．
（1）若m＝1，则b＝ 2 ，通过配方可以将其化成顶点式为 y＝（x﹣2）2﹣8 ；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0且2x1+2x2≤5，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若b＝0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y＝kx+交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接AF，CF．求证：CF2＝CE．
【分析】（1）将（﹣1，1）代入抛物线解析式求解，即可得出b的值，再化为顶点式即可；
（2）由m＞0，抛物线经过（﹣1，m）可得b的取值范围，从而可得抛物线对称轴，由2x1+2x2≤5可得点（x1，y1），（x2，y2）到对称轴距离的大小关系，进而求解；
（3）先求得平移后的抛物线解析式，与直线联立求得点A、B的坐标，根据中点得出点E及F的坐标，运用两点间距离公式即可证得结论．
【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，1），
∴1＝（﹣1）2﹣2b×（﹣1）﹣4，
解得：b＝2，
∴y＝x2﹣4x﹣4，
化成顶点式为y＝（x﹣2）2﹣8，
故答案为：2，y＝（x﹣2）2﹣8；
（2）解：将（﹣1，m）代入y＝x2﹣2bx﹣4得m＝1+2b﹣4＝2b﹣3，
∵m＝2b﹣3＞0，
∴b＞，
∵y＝x2﹣2bx﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝b＞，
∵2x1+2x2≤5，
∴≤＜，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2；
（3）证明：如图，
∵直线y＝kx+与y轴交于点C，
∴C（0，），
当b＝0时，原抛物线解析式为y＝x2﹣4，向上平移4个单位得到的新抛物线解析式为y＝x2，
与直线y＝kx+联立得，
解得：，，
当A（，+） 时，
∵点E为AC中点，
∴E（，），
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2＝，
CE＝＝，
∴CF2＝CE；
当A（，+）时，
∵点E为AC中点，∴E（，），F（，0），
根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2＝，
CE＝＝，
∴CF2＝CE．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/21 12:52:11；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433右眼视力
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
1
2
5
4
3
m
1
1
5
n
6
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y2
…
﹣1
﹣2
﹣4
﹣8
8
4
2
1
…
月平均用水量x（吨）
频数
5≤x＜7
15
7≤x＜9
a
9≤x＜11
32
11≤x＜13
40
13≤x＜15
33
总计
150
右眼视力
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
1
2
5
4
3
m
1
1
5
n
6
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y2
…
﹣1
﹣2
﹣4
﹣8
8
4
2
1
…