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2021年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学二模试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（ ）
微信转账
﹣60.00
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﹣105.00
微信红包．
+88.00
便民菜站
﹣23.00
A．收入88元 B．支出100元 C．收入100元 D．支出188元
2．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2
4．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示（网格图中每个小正方形的边长均为1），则该“堑堵”的侧面积为（ ）
A．16+16 B．16+8 C．24+16 D．4+4
7．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
8．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线上y＝x2+bx+1的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A，下列叙述正确的是（ ）
①反比例函数的表达式是y＝﹣；
②一次函数y＝x+5与反比例函数y＝的图象的另一个交点B的坐标为（﹣8，2）；
③直线AB与y轴的交点为（5，0）；
④S△AOB＝15．
A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．②③
10．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．因式分解：﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4＝ ．
12．圆锥底面圆的半径为3，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 ，该圆锥体积为 ．
13．某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 ．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠OBC的度数为 ，∠P的度数为 ．
15．如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上A′点处，点D的对应点为点D′，若A′B＝3，则DM＝ ．
16．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为 个，第n层含有正三角形个数为 个．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：（﹣3）2﹣2÷（1﹣）﹣|﹣2|．
18．（5分）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，求a的取值范围．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．
20．（12分）为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在上述表格中：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握垃圾分类知识的情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率．
21．（6分）如图，一架飞机以每小时900千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔O（塔高300m）观测到飞机在A处的仰角为28°，5分钟后测得飞机在B处的仰角为45°，试确定飞机的飞行高度．（结果用含非特殊角的三角函数与根式表示即可）
22．（7分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
23．（7分）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成筑路任务，求y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为0.1万元，需付给乙队的筑路费用为0.2万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过24天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
24．（10分）如图，△ACE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，交AE于点F，过点E作EG∥AC，分别交CD、AB的延长线于点G、M．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）若tanG＝，AH＝3，求⊙O半径．
25．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
2021年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（ ）
微信转账
﹣60.00
扫二维码付款
﹣105.00
微信红包．
+88.00
便民菜站
﹣23.00
A．收入88元 B．支出100元 C．收入100元 D．支出188元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：﹣60﹣105+88﹣23＝﹣100，
所以元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是支出100元．
故选：B．
2．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据概率公式列出关于n的分式方程，解方程即可得．
【解答】解：根据题意可得＝，
解得：n＝3，
经检验n＝3是分式方程的解，
即放入口袋中的黄球总数n＝3，
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2
【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
【解答】解：A.，故A选项不合题意；
B．（﹣2a2b）3＝（﹣2）3（a2）3b3＝﹣8a6b3，故B选项不合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C选项不合题意；
D.，故D选项符合题意．
故选：D．
4．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：C．
5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【解答】解：
由①得x＜3，
由②得x≥﹣2，
故此不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
在数轴上的表示为：．
故选：A．
6．我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示（网格图中每个小正方形的边长均为1），则该“堑堵”的侧面积为（ ）
A．16+16 B．16+8 C．24+16 D．4+4
【分析】由三视图知该几何体是高为4、上底三角形的三边分别为2、2、4的三棱柱，据此可得．
【解答】解：由三视图知，该几何体是三棱柱，
其侧面积为2×2×4+4×4＝16+16，
故选：A．
7．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
8．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线上y＝x2+bx+1的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，可以得到b的值，然后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数n的最小值，本题得以解决．
【解答】解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴x＝−＝，
解得，b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∵将抛物线y＝x2+bx+1向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，
∴n的最小值是4，
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A，下列叙述正确的是（ ）
①反比例函数的表达式是y＝﹣；
②一次函数y＝x+5与反比例函数y＝的图象的另一个交点B的坐标为（﹣8，2）；
③直线AB与y轴的交点为（5，0）；
④S△AOB＝15．
A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．②③
【分析】先求出点A的坐标，再根据A的坐标可得反比例函数表达式；
联立方程组可得一次函数与反比例函数的另一个交点；
利用待定系数法求出直线AB的解析式，可得与y轴的交点；
根据三角形的面积公式可得△AOB的面积．
【解答】解：当x+5＝﹣2x时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，4），
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，故①正确；
联立方程组，
解得或，
∴另一个交点的坐标为（﹣8，1），故②错误；
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A、B的坐标代入可得，
解得k＝，b＝5，
∴直线AB的解析式为y＝x+5，与y轴的交点为（0，5），故③错误；
设直线AB交y轴于点C，如图，
则C（0，5），
S△AOB＝5×8﹣＝15，故④正确．
故选：C．
10．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图1中，设AB＝a，则AC＝DE＝a，CE＝2a，求出h，l，可得结论．
【解答】解：如图1中，设AB＝a，则AC＝DE＝a，CE＝2a，
∴h＝a+2a，l＝2a，
∴＝＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．因式分解：﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4＝ ﹣3xy2（x﹣y）2 ．
【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4
＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2，
故答案为：﹣3xy2（x﹣y）2．
12．圆锥底面圆的半径为3，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 6 ，该圆锥体积为 9π ．
【分析】设圆锥母线长为l，根据弧长公式得到2π×3＝，解方程得到圆锥母线长为6，再利用勾股定理计算圆锥的高，然后利用圆锥的体积公式求解．
【解答】解：设圆锥母线长为l，
根据题意得2π×3＝，
解得l＝6，
即圆锥母线长为6，
所以圆锥的高＝＝3，
所以圆锥的体积＝×π×32×3＝9π．
故答案为：6，．
13．某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 1100人 ．
【分析】用该校的总人数乘以成绩为“良”和“优”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：根据题意得：
2000×＝1100（人），
答：其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．
故答案为：1100人．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠OBC的度数为 29° ，∠P的度数为 32° ．
【分析】设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，如图所示：
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠DOC＝29°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故答案为：29°，32°．
15．如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上A′点处，点D的对应点为点D′，若A′B＝3，则DM＝ 2 ．
【分析】连接AM，MA′，由于A′B＝3，则CA′＝6，在Rt△ADM和Rt△MCA′中由勾股定理求得DM的值．
【解答】解：如图所示：连接AM、A′M．
由翻折的性质可知：DM＝D′M，AM＝A′M．
设MD＝x，则MC＝9﹣x．
∵A′B＝3，BC＝9，
∴A′C＝6．
在Rt△MCA′中，MA′2＝A′C2+MC2＝36+（9﹣x）2，在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2＝81+x2．
∴36+（9﹣x）2＝81+x2，解得x＝2，
即DM＝2．
故答案为：2．
16．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为 114 个，第n层含有正三角形个数为 （12n﹣6） 个．
【分析】通过观察可得，第n层每两个正方形之间含有正三角形（2n﹣1）个，则该层共有正三角形为（12n﹣6）个．
【解答】解：由题意得，第1层每两个正方形之间有1个正三角形，该层共有6个正三角形，
第2层每两个正方形之间有3个正三角形，该层共有18个正三角形，
第3层每两个正方形之间有5个正三角形，该层共有30个正三角形，
…
第n层每两个正方形之间有（2n﹣1）个正三角形，该层共有6（2n﹣1）＝（12n﹣6）个正三角形，
∴第10层每两个正方形之间有12×10﹣6＝114个正三角形，该层共有6个正三角形，
故答案为：114，12n﹣6．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：（﹣3）2﹣2÷（1﹣）﹣|﹣2|．
【分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（﹣3）2﹣2÷（1﹣）﹣|﹣2|
＝9﹣2×﹣2
＝9+2（+1）﹣2
＝9+2+2﹣2
＝11．
18．（5分）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，求a的取值范围．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再判断即可．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
又∵不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，
∴，
解得：a≤﹣6，
故a的取值范围为a≤﹣6．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E为AD的中点，易证得△DEC≌△AEF（AAS），继而可证得DC＝AF，又由DC＝AB，证得结论；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，然后由∠BCD＝100°求得BE平分∠CBF，继而求得答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE．
在△DEC和△AEF中，
，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC＝AF．
∴AB＝AF；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，
∵∠BCD＝100°，
∴∠FBC＝180°﹣100°＝80°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE＝∠FBC＝×80°＝40°
20．（12分）为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在上述表格中：a＝ 7 ，b＝ 7.5 ，c＝ 50% ；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握垃圾分类知识的情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率．
【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据统计表中的数据，可以得到该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，理由只要合理即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴a＝7，
由条形统计图可得，b＝（7+8）÷2＝7.5，
c＝（5+2+3）÷20×100%＝50%，
即a＝7，b＝7.5，c＝50%，
故答案为：7，7.5，50%；
（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由如下：
八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，
故八年级学生掌握垃圾分类知识较好；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加比赛的结果数为6种，
∴必有甲同学参加比赛的概率为＝．
21．（6分）如图，一架飞机以每小时900千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔O（塔高300m）观测到飞机在A处的仰角为28°，5分钟后测得飞机在B处的仰角为45°，试确定飞机的飞行高度．（结果用含非特殊角的三角函数与根式表示即可）
【分析】首先根据飞机的速度与时间算出AB的长度，再过点O作OD⊥AB，垂足为D，设OD＝x千米，由∠OBD＝45°，可得BD＝OD＝x千米，则AD＝（x+75）千米，再利用三角函数可算出x的值，进而可得到CD的长．
【解答】解：由题意得：AB＝＝75（千米），
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
设OD＝x千米，在Rt△OBD中，
∵∠OBD＝45°，
∴BD＝OD＝x千米，
在Rt△OAD中，AD＝AB+BD＝（x+75）千米，∠A＝28°，
∵tanA＝，
∴＝tan28°，
解得x＝，
∴CD＝OD+OC＝（+0.3）（km），
答：飞机的飞行高度为（）km．
22．（7分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE⊥x轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得D的坐标，然后根据S△COD＝S△BOC+S△BOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得k1x+b＜时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝2×4＝8，
∴y2＝；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（2，4），点B是线段AC的中点，
∴B（0，2），
∵B、C在y1＝k1x+b的图象上，
∴，
解得k1＝1，b＝2，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）由，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△COD＝S△BOC+S△BOD＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b＜．
23．（7分）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成筑路任务，求y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为0.1万元，需付给乙队的筑路费用为0.2万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过24天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
【分析】（1）设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务（x+10）天，然后根据甲队单独施工45天和队单独施工30天的工作量相同，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天；
（2）根据题意，可以得到y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的条件和题意，可以得到总费用与甲施工天数之间的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解答本题，
【解答】解：（1）设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务（x+10）天，
，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
∴x+10＝30，
答：甲、乙两队单独完成此项任务各需30天、20天；
（2）由题意可得，
＝1，
化简，得
y＝﹣x+20，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣x+20；
（3）设施工的总费用为w元，
w＝0.1x+0.2y＝0.1x+0.2×（﹣x+20）＝x+4，
∵甲、乙两队施工的总天数不超过24天，
∴x+y≤24，
即x+（﹣x+20）≤24，
解得，x≤12，
∴当x＝12时，w取得最小值，此时w＝3.6，y＝12，
答：安排甲施工12天、乙施工12天，使施工费用最少，最少费用是3.6万元．
24．（10分）如图，△ACE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，交AE于点F，过点E作EG∥AC，分别交CD、AB的延长线于点G、M．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）若tanG＝，AH＝3，求⊙O半径．
【分析】（1）根据题意易证∠ACD＝∠AEC，∠AEC＝∠G，然后根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
（2）连接OC，设OC＝r，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可列出方程求出r的值．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O直径，CD⊥AB
∴＝，
∴∠ACD＝∠AEC，
∵EG∥AC，
∴∠G＝∠ACD，
∴∠AEC＝∠G，
又∵∠ECF＝∠GCE
∴△ECF∽△GCE，
（2）连接OC，设OC＝r，
∵∠G＝∠ACH，
∴，
在Rt△AHC中，
∴，
在Rt△HOC中，OH2+HC2＝OC2
∴，
∴
25．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；
（Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；
②得出CN＝EF＝．求出MC＝﹣m，当MC≥，即m≤﹣1时，当MC＜，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．
∵抛物线经过点A（1，0），
∴0＝1+b﹣3，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，
∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．
∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．
根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），
过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．
在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，
∴AE＝＝﹣m，
∵AE＝EF＝2，
∴﹣m＝2，
解得m＝﹣2．
此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF＝＝．
∴点F的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．
②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CN＝EF＝．
根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，
由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
∴在Rt△MCO中，MC＝＝﹣m．
当MC≥，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为MC﹣NC＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；
当MC＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC＝﹣（﹣m）＝，
解得m＝﹣．
∴当m的值为﹣或﹣时，MN的最小值是．
2021年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（ ）
微信转账
﹣60.00
扫二维码付款
﹣105.00
微信红包．
+88.00
便民菜站
﹣23.00
A．收入88元 B．支出100元 C．收入100元 D．支出188元
2．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2
4．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示（网格图中每个小正方形的边长均为1），则该“堑堵”的侧面积为（ ）
A．16+16 B．16+8 C．24+16 D．4+4
7．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
8．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线上y＝x2+bx+1的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A，下列叙述正确的是（ ）
①反比例函数的表达式是y＝﹣；
②一次函数y＝x+5与反比例函数y＝的图象的另一个交点B的坐标为（﹣8，2）；
③直线AB与y轴的交点为（5，0）；
④S△AOB＝15．
A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．②③
10．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．因式分解：﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4＝ ．
12．圆锥底面圆的半径为3，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 ，该圆锥体积为 ．
13．某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 ．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠OBC的度数为 ，∠P的度数为 ．
15．如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上A′点处，点D的对应点为点D′，若A′B＝3，则DM＝ ．
16．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为 个，第n层含有正三角形个数为 个．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：（﹣3）2﹣2÷（1﹣）﹣|﹣2|．
18．（5分）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，求a的取值范围．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．
20．（12分）为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在上述表格中：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握垃圾分类知识的情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率．
21．（6分）如图，一架飞机以每小时900千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔O（塔高300m）观测到飞机在A处的仰角为28°，5分钟后测得飞机在B处的仰角为45°，试确定飞机的飞行高度．（结果用含非特殊角的三角函数与根式表示即可）
22．（7分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
23．（7分）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成筑路任务，求y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为0.1万元，需付给乙队的筑路费用为0.2万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过24天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
24．（10分）如图，△ACE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，交AE于点F，过点E作EG∥AC，分别交CD、AB的延长线于点G、M．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）若tanG＝，AH＝3，求⊙O半径．
25．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
2021年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（ ）
微信转账
﹣60.00
扫二维码付款
﹣105.00
微信红包．
+88.00
便民菜站
﹣23.00
A．收入88元 B．支出100元 C．收入100元 D．支出188元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：﹣60﹣105+88﹣23＝﹣100，
所以元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是支出100元．
故选：B．
2．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据概率公式列出关于n的分式方程，解方程即可得．
【解答】解：根据题意可得＝，
解得：n＝3，
经检验n＝3是分式方程的解，
即放入口袋中的黄球总数n＝3，
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．5+＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．＝a﹣2
【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
【解答】解：A.，故A选项不合题意；
B．（﹣2a2b）3＝（﹣2）3（a2）3b3＝﹣8a6b3，故B选项不合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C选项不合题意；
D.，故D选项符合题意．
故选：D．
4．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：C．
5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【解答】解：
由①得x＜3，
由②得x≥﹣2，
故此不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
在数轴上的表示为：．
故选：A．
6．我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示（网格图中每个小正方形的边长均为1），则该“堑堵”的侧面积为（ ）
A．16+16 B．16+8 C．24+16 D．4+4
【分析】由三视图知该几何体是高为4、上底三角形的三边分别为2、2、4的三棱柱，据此可得．
【解答】解：由三视图知，该几何体是三棱柱，
其侧面积为2×2×4+4×4＝16+16，
故选：A．
7．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
8．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线上y＝x2+bx+1的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，可以得到b的值，然后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数n的最小值，本题得以解决．
【解答】解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴x＝−＝，
解得，b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∵将抛物线y＝x2+bx+1向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，
∴n的最小值是4，
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A，下列叙述正确的是（ ）
①反比例函数的表达式是y＝﹣；
②一次函数y＝x+5与反比例函数y＝的图象的另一个交点B的坐标为（﹣8，2）；
③直线AB与y轴的交点为（5，0）；
④S△AOB＝15．
A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．②③
【分析】先求出点A的坐标，再根据A的坐标可得反比例函数表达式；
联立方程组可得一次函数与反比例函数的另一个交点；
利用待定系数法求出直线AB的解析式，可得与y轴的交点；
根据三角形的面积公式可得△AOB的面积．
【解答】解：当x+5＝﹣2x时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，4），
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，故①正确；
联立方程组，
解得或，
∴另一个交点的坐标为（﹣8，1），故②错误；
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A、B的坐标代入可得，
解得k＝，b＝5，
∴直线AB的解析式为y＝x+5，与y轴的交点为（0，5），故③错误；
设直线AB交y轴于点C，如图，
则C（0，5），
S△AOB＝5×8﹣＝15，故④正确．
故选：C．
10．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图1中，设AB＝a，则AC＝DE＝a，CE＝2a，求出h，l，可得结论．
【解答】解：如图1中，设AB＝a，则AC＝DE＝a，CE＝2a，
∴h＝a+2a，l＝2a，
∴＝＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．因式分解：﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4＝ ﹣3xy2（x﹣y）2 ．
【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4
＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2，
故答案为：﹣3xy2（x﹣y）2．
12．圆锥底面圆的半径为3，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 6 ，该圆锥体积为 9π ．
【分析】设圆锥母线长为l，根据弧长公式得到2π×3＝，解方程得到圆锥母线长为6，再利用勾股定理计算圆锥的高，然后利用圆锥的体积公式求解．
【解答】解：设圆锥母线长为l，
根据题意得2π×3＝，
解得l＝6，
即圆锥母线长为6，
所以圆锥的高＝＝3，
所以圆锥的体积＝×π×32×3＝9π．
故答案为：6，．
13．某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 1100人 ．
【分析】用该校的总人数乘以成绩为“良”和“优”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：根据题意得：
2000×＝1100（人），
答：其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．
故答案为：1100人．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠OBC的度数为 29° ，∠P的度数为 32° ．
【分析】设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，如图所示：
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠DOC＝29°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故答案为：29°，32°．
15．如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上A′点处，点D的对应点为点D′，若A′B＝3，则DM＝ 2 ．
【分析】连接AM，MA′，由于A′B＝3，则CA′＝6，在Rt△ADM和Rt△MCA′中由勾股定理求得DM的值．
【解答】解：如图所示：连接AM、A′M．
由翻折的性质可知：DM＝D′M，AM＝A′M．
设MD＝x，则MC＝9﹣x．
∵A′B＝3，BC＝9，
∴A′C＝6．
在Rt△MCA′中，MA′2＝A′C2+MC2＝36+（9﹣x）2，在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2＝81+x2．
∴36+（9﹣x）2＝81+x2，解得x＝2，
即DM＝2．
故答案为：2．
16．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为 114 个，第n层含有正三角形个数为 （12n﹣6） 个．
【分析】通过观察可得，第n层每两个正方形之间含有正三角形（2n﹣1）个，则该层共有正三角形为（12n﹣6）个．
【解答】解：由题意得，第1层每两个正方形之间有1个正三角形，该层共有6个正三角形，
第2层每两个正方形之间有3个正三角形，该层共有18个正三角形，
第3层每两个正方形之间有5个正三角形，该层共有30个正三角形，
…
第n层每两个正方形之间有（2n﹣1）个正三角形，该层共有6（2n﹣1）＝（12n﹣6）个正三角形，
∴第10层每两个正方形之间有12×10﹣6＝114个正三角形，该层共有6个正三角形，
故答案为：114，12n﹣6．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：（﹣3）2﹣2÷（1﹣）﹣|﹣2|．
【分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（﹣3）2﹣2÷（1﹣）﹣|﹣2|
＝9﹣2×﹣2
＝9+2（+1）﹣2
＝9+2+2﹣2
＝11．
18．（5分）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，求a的取值范围．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再判断即可．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
又∵不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，
∴，
解得：a≤﹣6，
故a的取值范围为a≤﹣6．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E为AD的中点，易证得△DEC≌△AEF（AAS），继而可证得DC＝AF，又由DC＝AB，证得结论；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，然后由∠BCD＝100°求得BE平分∠CBF，继而求得答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE．
在△DEC和△AEF中，
，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC＝AF．
∴AB＝AF；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，
∵∠BCD＝100°，
∴∠FBC＝180°﹣100°＝80°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE＝∠FBC＝×80°＝40°
20．（12分）为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在上述表格中：a＝ 7 ，b＝ 7.5 ，c＝ 50% ；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握垃圾分类知识的情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率．
【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据统计表中的数据，可以得到该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，理由只要合理即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴a＝7，
由条形统计图可得，b＝（7+8）÷2＝7.5，
c＝（5+2+3）÷20×100%＝50%，
即a＝7，b＝7.5，c＝50%，
故答案为：7，7.5，50%；
（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由如下：
八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，
故八年级学生掌握垃圾分类知识较好；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加比赛的结果数为6种，
∴必有甲同学参加比赛的概率为＝．
21．（6分）如图，一架飞机以每小时900千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔O（塔高300m）观测到飞机在A处的仰角为28°，5分钟后测得飞机在B处的仰角为45°，试确定飞机的飞行高度．（结果用含非特殊角的三角函数与根式表示即可）
【分析】首先根据飞机的速度与时间算出AB的长度，再过点O作OD⊥AB，垂足为D，设OD＝x千米，由∠OBD＝45°，可得BD＝OD＝x千米，则AD＝（x+75）千米，再利用三角函数可算出x的值，进而可得到CD的长．
【解答】解：由题意得：AB＝＝75（千米），
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
设OD＝x千米，在Rt△OBD中，
∵∠OBD＝45°，
∴BD＝OD＝x千米，
在Rt△OAD中，AD＝AB+BD＝（x+75）千米，∠A＝28°，
∵tanA＝，
∴＝tan28°，
解得x＝，
∴CD＝OD+OC＝（+0.3）（km），
答：飞机的飞行高度为（）km．
22．（7分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE⊥x轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得D的坐标，然后根据S△COD＝S△BOC+S△BOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得k1x+b＜时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝2×4＝8，
∴y2＝；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（2，4），点B是线段AC的中点，
∴B（0，2），
∵B、C在y1＝k1x+b的图象上，
∴，
解得k1＝1，b＝2，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）由，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△COD＝S△BOC+S△BOD＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b＜．
23．（7分）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成筑路任务，求y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为0.1万元，需付给乙队的筑路费用为0.2万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过24天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
【分析】（1）设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务（x+10）天，然后根据甲队单独施工45天和队单独施工30天的工作量相同，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天；
（2）根据题意，可以得到y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的条件和题意，可以得到总费用与甲施工天数之间的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解答本题，
【解答】解：（1）设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务（x+10）天，
，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
∴x+10＝30，
答：甲、乙两队单独完成此项任务各需30天、20天；
（2）由题意可得，
＝1，
化简，得
y＝﹣x+20，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣x+20；
（3）设施工的总费用为w元，
w＝0.1x+0.2y＝0.1x+0.2×（﹣x+20）＝x+4，
∵甲、乙两队施工的总天数不超过24天，
∴x+y≤24，
即x+（﹣x+20）≤24，
解得，x≤12，
∴当x＝12时，w取得最小值，此时w＝3.6，y＝12，
答：安排甲施工12天、乙施工12天，使施工费用最少，最少费用是3.6万元．
24．（10分）如图，△ACE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，交AE于点F，过点E作EG∥AC，分别交CD、AB的延长线于点G、M．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）若tanG＝，AH＝3，求⊙O半径．
【分析】（1）根据题意易证∠ACD＝∠AEC，∠AEC＝∠G，然后根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
（2）连接OC，设OC＝r，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可列出方程求出r的值．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O直径，CD⊥AB
∴＝，
∴∠ACD＝∠AEC，
∵EG∥AC，
∴∠G＝∠ACD，
∴∠AEC＝∠G，
又∵∠ECF＝∠GCE
∴△ECF∽△GCE，
（2）连接OC，设OC＝r，
∵∠G＝∠ACH，
∴，
在Rt△AHC中，
∴，
在Rt△HOC中，OH2+HC2＝OC2
∴，
∴
25．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；
（Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；
②得出CN＝EF＝．求出MC＝﹣m，当MC≥，即m≤﹣1时，当MC＜，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．
∵抛物线经过点A（1，0），
∴0＝1+b﹣3，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，
∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．
∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．
根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），
过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．
在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，
∴AE＝＝﹣m，
∵AE＝EF＝2，
∴﹣m＝2，
解得m＝﹣2．
此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF＝＝．
∴点F的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．
②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CN＝EF＝．
根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，
由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
∴在Rt△MCO中，MC＝＝﹣m．
当MC≥，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为MC﹣NC＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；
当MC＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC＝﹣（﹣m）＝，
解得m＝﹣．
∴当m的值为﹣或﹣时，MN的最小值是．
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