高中数学6.2 平面向量的运算达标测试

这是一份高中数学6.2 平面向量的运算达标测试，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a，b的夹角为150∘，且|a|=2|b|=2，则|a− 3b|=( )
A. 1B. 2− 3C. 2+ 3D. 13
2.已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则AB⋅CD=( )
A. 6B. 10C. 24D. 26
3.已知向量a，b满足|a|=1，a⋅b=−1，则a⋅(2a−b)=( )
A. 4B. 3C. 2D. 0
4.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则c⋅(b−a)=( )
A. 4
B. 1
C. −1
D. −4
5.已知向量a，b满足|a|=1，|b|= 3，且a与b的夹角为5π6，则|2a−b|=( )
A. 12B. 13C. 1D. 13
二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
6.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是( )
A. 若|a|=|b|=1,⟨a,b⟩=120∘，则(a+2b)⊥a
B. 点M(1,−1)，N(−3,2)，与向量MN同方向的单位向量为(−45,35)
C. 若|a+b|=|a−b|=2|a|≠0，则a+b与a−b的夹角为60∘
D. 若向量a=(−2,1),b=(6,2)，则向量b在向量a上的投影向量为−2a
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
7.已知|a|=3，|b|=5，且a⋅b=12，则向量a在向量b的方向上的投影为______.
8.已知向量a，b的夹角为2π3，若|b|=2，|2a−b|=2 13，则|a|=______.
9.已知a,b为单位向量，且满足|a− 5a|= 6，则|2a+b|=______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.(本小题12分)
(1)已知向量a=(2,4)，b=(−3,k).若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围；
(2)已知e1、e2是两个不共线的非零向量，如果AB=e1+e2，BC=2e1+8e2，CD=3(e1−e2)，证明：A、B、D三点共线．
11.(本小题12分)
已知向量a=(2,3),b=(1,x).
(1)若a//(a−b)，求|b|；
(2)若a⊥(a+b)，求a与b的夹角.
12.(本小题12分)
设a,b是不共线的两个非零向量.
(1)若OA=4a−2b,OB=6a+2b,OC=2a−6b，求证：A，B，C三点共线；
(2)已知|a|=5,|b|=4,a,b的夹角为π3，问当k为何值时，向量ka−b与a+3b垂直？
13.(本小题12分)
已知平面上三点A，B，C，且A(0,4)，B(k,−3)，C(2,0).
(1)若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为钝角三角形，求k的取值范围.
14.(本小题12分)
已知|a|=1,|b|= 2.
(1) 2a=b，求a⋅b
(2)若a与b的夹角为60∘，求|a+b|；
(3)若a−b与a垂直，求a与b的夹角．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由|a|=2,|b|=1，且a与b的夹角为150∘，
得a⋅b=|a||b|cs150∘=2×1×(− 32)=− 3，
所以|a− 3b|= a2+3b2−2 3a⋅b= 4+3+6= 13.
故选：D.
求出a⋅b，再利用数量积的运算律求解作答．
本题考查了平面向量数量积的运算律，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：设AD方向上的单位向量为a，图形中的另一个单位向量为b，所以a，b的夹角为60∘，
AB=2a+4b，CD=4a−2b，
AB⋅CD=(2a+4b)⋅(4a−2b)=8a2−8b2+12a⋅b=8−8+12×1×1×12=6.
故选：A.
画出图形，作出斜率的一组基底，然后求解所求向量，利用向量的数量积求解即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，作出基底是解题的关键，考查计算能力．
3.【答案】B
【解析】解：由已知得a⋅(2a−b)
=2a2−a⋅b
=2|a|2−a⋅b
=2+1=3.
故选：B.
直接利用向量的加减法和数量积的运算性质求解．
本题考查了向量的加、减法和数量积的运算性质．
4.【答案】A
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
可知a=(−1,−2),b=(−2,1),c=(2,2)，
则b−a=(−1,3)，
所以c⋅(b−a)=−2+6=4.
故选：A.
建立平面直角坐标系，可得a=(−1,−2),b=(−2,1),c=(2,2)，结合向量的坐标运算求解．
本题考查平面向量的坐标表示及数量积运算，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意可得a⋅b=|a||b|cs5π6=1× 3×(− 32)=−32，
所以|2a−b|= (2a−b)2= 4a2−4a⋅b+b2= 4+6+3= 13.
故选：B.
根据向量模的公式，可得|2a−b|= (2a−b)2，由此利用数量积的定义与运算性质，求出|2a−b|的值．
本题主要考平面数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，属于基础题．
6.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为(a+2b)⋅a=|a|2+2b⋅a=|a|2+2|b|⋅|a|cs⟨a,b⟩=0，所以(a+2b)⊥a，故正确；
对于B，因为MN=(−4,3)，且|MN|= (−4)2+32=5，所以与向量MN同方向的单位向量为MN|MN|=(−45,35)，故正确；
对于C，因为|a+b|=|a−b|，所以|a+b|2=|a−b|2即|a|2+|b|2+2a⋅b=|a|2+|b|2−2a⋅b化简得a⋅b=0，
因为|a+b|=2|a|，所以|a+b|2=4|a|2，即|a|2+|b|2+2a⋅b=4|a|2，化简得|b|2=3|a|2，
所以cs⟨a+b,a−b⟩=(a+b)⋅(a−b)|a+b|⋅|a−b|=|a|2−|b|24|a|2=−2|a|24|a|2=−12，
因为0∘≤⟨a+b,a−b⟩≤180∘，所以⟨a+b,a−b⟩=120∘，故错误；
对于D，因为|a|2=(−2)2+12=5a⋅b=−2×6+1×2=−10，所以向量b在向量a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=−10a5=−2a，故正确．
故答案为：ABD.
对于A，算出(a+2b)⋅a=0即可判断；对于B，与向量MN同方向的单位向量为MN|MN|，通过向量坐标运算即可判断；对于C，通过|a+b|=|a−b|能得到a⋅b=0，通过|a+b|=2|a|能得到|b|2=3|a|2，再利用cs⟨a+b,a−b⟩=(a+b)⋅(a−b)|a+b|⋅|a−b|计算即可判断；对于D，向量b在向量a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|，通过向量坐标运算即可判断．
本题考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题．
7.【答案】125
【解析】解：由题可得向量a在向量b的方向上的投影为a⋅b|b|=125，
故答案为：125.
根据向量投影的定义代入即可求解．
本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量投影的求法，属于基础题．
8.【答案】3
【解析】解：因为a，b的夹角为2π3，且|b|=2，
所以a⋅b=|a||b|cs2π3=−|a|，
因为|b|=2，|2a−b|=2 13，
所以|2a−b|2=4a2−4a⋅b+b2=52，
所以|a|2+|a|−12=0，解得|a|=3.
故答案为：3.
由平面向量的数量积运算计算即可得解．
本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
9.【答案】 5
【解析】解：a,b为单位向量，且满足|a− 5b|= 6，
所以a2−2 5a⋅b+5b2=6，1−2 5a⋅b+5=6，
解得a⋅b=0，所以|2a+b|= 4a2+4a⋅b+b2= 5.
故答案为： 5.
将已知等式和所求等式都平方处理即可．
本题考查数量积公式，属于基础题．
10.【答案】解：(1)因为a与b的夹角是钝角，则a⋅b=4k−6<0，可得k<32，
且a与b不共线，则2k≠−12，解得k≠−6，
综上所述，实数k的取值范围是(−∞,−6)∪(−6,32)；
证明：(2)由已知BD=5e1+5e2=5AB，
因为AB、BD共点B，所以，A、B、D三点共线．
【解析】(1)由已知可得出a⋅b<0且a与b不共线，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数k的取值范围；
(2)证明出AB//BD，即可证得结论成立．
本题考查了平面向量数量积的应用以及三点共线的证明，属于基础题．
11.【答案】解：(1)向量a=(2,3),b=(1,x)，则a−b=(1,3−x)，
由a//(a−b)，得2(3−x)=3，
解得x=32，即b=(1,32)，
所以|b|= 12+(32)2= 132.
(2)向量a=(2,3),b=(1,x)，则a+b=(3,3+x)，由a⊥(a+b)，得2×3+3(3+x)=0，
解得x=−5，则b=(1,−5)，a⋅b=2×1+3×(−5)=−13，而|a|= 13,|b|= 26，
因此cs⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=−13 13× 26=− 22，而0≤⟨a,b⟩≤π，
所以a与b的夹角⟨a,b⟩=3π4.
【解析】(1)利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出x，再求出向量的模．
(2)利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出x，再求出向量夹角．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】解：(1)证明：由OA=4a−2b,OB=6a+2b,OC=2a−6b，
得AB=OB−OA=6a+2b−(4a−2b)=2a+4b，
BC=OC−OB=2a−6b−(6a+2b)=−4a−8b=−2(2a+4b)=−2AB，
所以AB//BC，
且有公共点B，所以A，B，C三点共线．
(2)由题意可知，(ka−b)⋅(a+3b)=0，
所以(ka−b)⋅(a+3b)=ka2−a⋅b+3ka⋅b−3b2=0，
所以25k−10+3k×10−3×42=0，
所以k=5855.
【解析】(1)根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解；
(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．
13.【答案】解：(1)由题可知，BC=(2−k,3)，AC=(2,−4)，
由A，B，C不构成三角形，可得A，B，C三点共线，
则有−4(2−k)−2×3=0，解得k=72；
(2)当C为钝角时，有AC⋅BC<0，
即2×(2−k)+3×(−4)<0，解得k>−4且k≠72；
当A为钝角时，AB=(k,−7)，AC=(2,−4)，
则有AB⋅AC<0，即2k+28<0，解得k<−14；
当B为钝角时，BA=(−k,7)，BC=(2−k,3)，
则有BA⋅BC=(−k,7)⋅(2−k,3)<0，即k2−2k+21<0，此不等式无解；
综上，k的取值范围是(−∞,−14)∪(−4,72)∪(72,+∞).
【解析】(1)由题意知，A，B，C三点共线，利用向量共线的坐标关系即可求得k值；
(2)分别根据角A，B，C为钝角，由相应向量的数量积小于零且向量不共线，列不等式即可解得k的范围．
本题考查向量共线的坐标关系，考查数量积的性质及运算，属中档题．
14.【答案】解：(1)∵ 2a=b，∴a//b且方向相同，
因此a⋅b=|a||b|⋅cs0∘= 2；
(2)∵a与b的夹角为60∘，∴a⋅b=1× 2×cs60∘= 22，
|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=1+ 2+2=3+ 2，
因此|a+b|= 3+ 2；
(3)∵a−b与a垂直，∴(a−b)⋅a=0，整理得a2=a⋅b=1，
令a与b的夹角为θ，因此csθ=a⋅b|a|⋅|b|=11⋅ 2= 22，
∴a与b的夹角θ=π4.
【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积求向量的夹角，是中档题．
(1)由已知可得a//b且方向相同，然后直接由数量积公式求值；
(2)由已知求出|a+b|2，开方得答案；
(3)a−b与a垂直，可得a2=a⋅b=1，再由数量积求夹角公式求得a与b的夹角．